بردارها و هندسهٔ فضایی: ضرب‌ها، تصویرها، صفحه‌ها و کره‌ها

بردارها، جهت‌ها و بردارهای یکه

بردار (vector) در $\mathbb R^3$ جابه‌جایی یا جهتی مستقل از نقطهٔ آغاز را نمایش می‌دهد. نقطه یک مکان را تعیین می‌کند. برای $\mathbf a=(a_1,a_2,a_3)$، اندازه (norm) و بردار یکهٔ هم‌جهت عبارت‌اند از:

بردارهای پایهٔ استاندارد یکه‌اند، اما مجموع آن‌ها لزوماً یکه نیست: $\lVert\mathbf i+\mathbf j\rVert=\sqrt2$. طول داده‌شده مقیاس بردار جهت را تعیین می‌کند؛ اگر جهت‌گیری مشخص نشده باشد، معمولاً دو جهت قرینه ممکن می‌ماند.

ضرب‌ها و معنای هندسی آن‌ها

ضرب داخلی (dot product) کمیتی نرده‌ای برای سنجش هم‌راستایی است. ضرب برداری (cross product) برداری عمود بر هر دو ورودی است که جهت آن با قاعدهٔ دست راست تعیین می‌شود. اندازهٔ آن مساحت متوازی‌الاضلاع و نصف آن مساحت مثلث است. برای بردارهای ناصفر، صفرشدن ضرب داخلی یعنی عمودبودن و صفرشدن ضرب برداری یعنی موازی‌بودن.

این اتحادِ مربع اندازه، وقتی فقط مساحت یا اندازه خواسته شده باشد، محاسبهٔ دترمینان را حذف می‌کند. جابه‌جاکردن دو ورودی، ضرب برداری را قرینه می‌کند ولی اندازهٔ آن را تغییر نمی‌دهد. ضرب مختلط $\mathbf a\cdot(\mathbf b\times\mathbf c)$ حجم جهت‌دار است؛ قدرمطلق آن حجم متوازی‌السطوح و صفرشدن آن نشانهٔ هم‌صفحه‌بودن سه بردار است.

تصویرهای عمودی: طول و مساحت

برای جهت ناصفر $\mathbf u$، تصویر نرده‌ای (scalar projection) علامت‌دار است؛ تصویر برداری (vector projection) جهت را نیز در بر دارد:

طول بردار تصویر برابر قدرمطلق تصویر نرده‌ای است. تصویر یک جابه‌جایی روی صفحه‌ای با بردار عمود $\mathbf n\ne\mathbf0$ با حذف مؤلفهٔ عمود به دست می‌آید:

عبارت دوم، نقطه را روی $\Pi:\mathbf n\cdot\mathbf r=d$ تصویر می‌کند؛ بنابراین ثابت مکان صفحه را نگه می‌دارد. برای متوازی‌الاضلاعِ ساخته‌شده با $\mathbf a,\mathbf b$، بردار مساحت را روی راستای عمود تصویر کنید، نه طول یکی از ضلع‌ها را:

برای متوازی‌الاضلاع غیرمنحط، $\phi$ زاویهٔ بین بردار عمودِ مساحت و بردار عمودِ صفحهٔ تصویر است؛ به‌طور معادل می‌توان زاویهٔ حادهٔ بین دو صفحه را گرفت. برای مثلث ضریب $1/2$ لازم است. تصویر با ترکیب خطی سازگار است؛ پس ضرب برداری دو ضلعِ تصویرشده نیز همین نتیجه را می‌دهد. ثابت صفحه مکان تصویر را تغییر می‌دهد، اما بر مساحت آن اثر ندارد. اگر بردار مساحت بر $\mathbf n$ عمود باشد، تصویر به پاره‌خط فرو می‌ریزد و مساحتش صفر است؛ صفحه‌های موازی مساحت را حفظ می‌کنند.

مثال کوتاه. برای $\mathbf a=(2,0,0)$، $\mathbf b=(0,3,0)$ و $\mathbf n=(0,1,1)$، مساحت اصلی $6$ است، اما مساحت تصویر برابر است با:

خط، صفحه و قیود همگنِ بردار جهت

صفحه‌ای با بردار عمودِ ناصفر $\mathbf n$ که از نقطهٔ $\mathbf r_0$ می‌گذرد، معادلهٔ زیر را دارد:

بردار جابه‌جایی $\mathbf v$ موازی با این صفحه شرط $\mathbf n\cdot\mathbf v=0$ را دارد و این شرط مستقل از ثابت $d$ است. در واقع با تفریق معادلهٔ صفحه برای دو نقطه، ثابت حذف می‌شود. نقاط از معادلهٔ آفین پیروی می‌کنند؛ جهت‌ها از نسخهٔ همگن آن. بردار عمود بر صفحه مضربی از بردار عمودِ صفحه است.

معادلهٔ نخست یک خط را توصیف می‌کند. خط وقتی با صفحه موازی است که بردار جهت آن بر بردار عمودِ صفحه عمود باشد؛ خط ممکن است در صفحه قرار گیرد یا از آن جدا باشد. دو صفحه وقتی موازی‌اند که بردارهای عمودشان موازی باشند و وقتی عمودند که ضرب داخلی بردارهای عمودشان صفر باشد. اگر این بردارهای عمود مستقل باشند، محل تقاطع دو صفحه خطی است که جهت آن از ضرب برداری آن‌ها به دست می‌آید.

روش: نخست اشتراک قیود جهت، سپس اعمال اندازه

اگر $\mathbf a$ باید بر دو بردار مستقل $\mathbf n,\mathbf m$ عمود باشد، در زیرفضای یک‌بعدیِ ساخته‌شده از ضرب برداری آن‌ها قرار می‌گیرد. برای طول داده‌شدهٔ $L>0$ داریم:

روش معادل این است که سه مؤلفهٔ مجهول بنویسید، دو معادلهٔ خطی همگن را حل کنید و معادلهٔ اندازه را در پایان به کار ببرید. اگر دو قید وابسته باشند، ضرب برداری صفر است و جهت‌های پاسخ یک صفحه تشکیل می‌دهند، نه یک خط. اگر سه قید عمودبودنِ مستقل اعمال شود، فقط بردار صفر باقی می‌ماند که با هر اندازهٔ مثبتِ داده‌شده ناسازگار است.

مثال حل‌شده همراه با وارسی

اندازهٔ $\mathbf a\times\mathbf b$ را بیابید، اگر طول $\mathbf a$ برابر $2$ باشد، با $x+y+z=7$ موازی و بر $\mathbf m=(1,-1,0)$ عمود باشد و $\mathbf b=(1,0,0)$ داده شده باشد. قرار دهید $\mathbf a=(a,b,c)$.

هر دو قید ضرب داخلی برقرارند و مربع اندازه برابر $6t^2=4$ است. چون $\mathbf a\cdot\mathbf b=t$، اندازهٔ خواسته‌شده برابر است با:

محاسبهٔ مستقیم می‌دهد $\mathbf a\times\mathbf b=(0,-2t,-t)$ که مربع اندازهٔ آن $5t^2=10/3$ است و روش سریع را تأیید می‌کند. علامت نامشخصِ $t$ جهت‌گیری را عوض می‌کند، اما اندازه را تغییر نمی‌دهد.

کره‌ها: پیش از محاسبهٔ فاصله، مجموعه را شناسایی کنید

در معادلهٔ درجهٔ دوم با ضرایب مثبت و برابرِ مربع مختصات، همهٔ مربع‌ها را کامل کنید. پس از یکه‌کردن آن ضریب، فرم استاندارد چنین است:

اگر $R^2>0$ باشد، مجموعه سطح کره است؛ اگر $R^2=0$ باشد، تنها نقطهٔ $C$ را داریم؛ اگر $R^2<0$ باشد، مجموعهٔ حقیقی تهی است و نزدیک‌ترین نقطهٔ حقیقی ندارد. برای $R\ge0$ قرار دهید $\rho=\lVert P-C\rVert$. سطح کره را از گوی توپر متمایز کنید:

نامساوی معکوس مثلث کران پایین فاصله تا سطح را می‌دهد و یک نقطهٔ شعاعی آن را محقق می‌کند. اگر $P\ne C$ باشد، نزدیک‌ترین نقطهٔ سطح چنین است:

برای $P=C$ و $R>0$، همهٔ نقاط سطح به یک اندازه، با فاصلهٔ $R$، نزدیک‌اند؛ تقسیم بر صفر مجاز نیست. اگر $R=0$ باشد، نزدیک‌ترین نقطه همواره $C$ است. نقطهٔ داخل گوی توپر از خود گوی فاصلهٔ صفر دارد، هرچند معمولاً فاصله‌اش تا مرز مثبت است.

مثال کوتاه. معادلهٔ $x^2+y^2+z^2-2x+4y-4=0$ به $(x-1)^2+(y+2)^2+z^2=9$ تبدیل می‌شود. برای $P=(1,-2,1)$، فاصله تا مرکز $1$، فاصله تا سطح $2$، فاصله تا گوی $0$ و نزدیک‌ترین نقطهٔ سطح $Q=(1,-2,3)$ است.

وارسی زاویه و فاصله

برای زاویه‌ای با رأس مشترک، ابتدا دو بردار جابه‌جایی را از آن رأس تشکیل دهید؛ ترکیب‌های خطیِ داده‌شده را نیز پیش از اندازه‌گیری بسازید. زاویهٔ بردارها در $[0,\pi]$ است و علامت ضرب داخلی را حفظ می‌کند. زاویهٔ کوچک‌ترِ دو خطِ بدون جهت از قدرمطلق ضرب داخلی استفاده می‌کند. برای فاصلهٔ معلومِ نقطه از صفحه، هر دو علامتِ معادلهٔ قدرمطلق را حل کنید. صفحهٔ مماس بر سطح با گرادیان ساخته می‌شود؛ خط مماس و صفحهٔ بوسانِ منحنی در کارت‌های مرتبط بررسی می‌شوند.

انتخاب آزمون هندسی مناسب

نکتهٔ کنکوری: «موازی صفحه» را به «عمود بر بردار عمود صفحه» تبدیل کنید، قیود همگن را حل کنید و رادیکال‌گیری را تا اندازهٔ نهایی عقب بیندازید.

تلهٔ رایج: ثابت صفحه مکان را تعیین می‌کند، نه جهت را. برای ضرب‌کردن معادلهٔ صفحه در یک ضریب، هر دو طرف را ضرب کنید؛ قرینه‌کردن بردار، جهت ضرب برداری را عوض می‌کند ولی اندازه را نگه می‌دارد.