مساحت نواحی و حجم اجسام دورانی: روش‌های دکارتی، پارامتری و قطبی

مساحت، اندازهٔ ناحیه است نه حاصل حذف علامت‌ها

مساحت هندسی (geometric area) نامنفی است. انتگرال معینِ ارتفاعِ علامت‌دار، انباشت علامت‌دار را اندازه می‌گیرد؛ پس پیش از انتخاب تابع زیر انتگرال، ناحیه و مرزش را تعیین کنید. برای مرزهای نموداریِ انتگرال‌پذیر، برش قائم و افقی می‌دهند:

روش: همهٔ تقاطع‌های مربوط را حل کنید، خط‌ها و محورهای داده‌شده را لحاظ کنید، ترتیب منحنی‌ها را در هر بازه بیابید و در هر تغییر ترتیب یا فرمول مرز، بازه را بشکنید. جهت برشی را برگزینید که قطعات کمتری می‌خواهد. اگر تفاضل ارتفاع در بخشی منفی است، محاسبه هنوز مساحت هندسی را نمی‌دهد.

برای $0<a<b$ و $c_2>c_1$، مساحت بین $c_2/x$ و $c_1/x$ برابر $(c_2-c_1)\ln(b/a)$ است. معادلهٔ پارامتر را پس از بررسی ترتیب منحنی‌ها و دامنهٔ مجاز پارامتر حل کنید.

تفاضل مجموعه‌ها و شمول

همواره $B\setminus(A\cap B)=B\setminus A$، اما کم‌کردن تمام مساحت $A$ از مساحت $B$ فقط وقتی درست است که $A\subseteq B$، با صرف‌نظر از مرزهای با مساحت صفر. در حالت کلی:

لوزیِ $\lvert x\rvert+\lvert y\rvert\le h$، با $h>0$، قطرهای $2h$ و مساحت $2h^2$ دارد و فاصلهٔ مرکز آن تا هر ضلع $h/\sqrt2$ است. قرص هم‌مرکز با شعاع $R\le h/\sqrt2$ در آن قرار دارد؛ پس مساحت باقی‌مانده $2h^2-\pi R^2$ است. برای قرص بزرگ‌تر باید اشتراک واقعی را محاسبه کرد.

مرزهای پارامتری و جهت پیمایش

روی شاخهٔ نموداری که یک بار پیموده می‌شود و $x=x(t)$ یکنواست، جایگذاریِ $dx=x\prime(t)dt$ انتگرال علامت‌دار زیر را می‌دهد:

اگر $y\ge0$ باشد و $x$ افزایش یابد، این همان مساحت زیر شاخه است. اگر $x$ کاهش یابد، حدود را معکوس یا علامت را اصلاح کنید. شاخه‌های غیریکنوا را جدا کنید؛ جایگزینی $x\prime$ با قدرمطلق آن روی مسیرِ چندبارپیموده می‌تواند یک ناحیه را چند بار بشمارد. برای مرز بستهٔ ساده با جهت مثبت، $A=\frac12\oint(x\,dy-y\,dx)=-\oint y\,dx$؛ در مسیر خودمتقاطع، بدون جداسازی لوب‌ها، چندگانگی علامت‌دار حاصل می‌شود.

مثال کوتاه. برای $x=t^2$، $y=1/(1+t)$ و $0\le t\le1$، بالای محورهای مختصات:

وترهای قائم بر منحنی و بهینه‌سازی مساحت قطعه

در $(a,f(a))$ با شیب متناهی و ناصفرِ $f\prime(a)$، شیب خط قائم بر منحنی برابر $-1/f\prime(a)$ است. مماس افقی، خط قائمِ عمودی دارد. «قائم بر منحنی» به‌طور کلی به معنای خط عمودی نیست. تقاطع دوم را بیابید، مختصات دو تقاطع را مرتب کنید، تفاضل وتر و منحنی را انتگرال بگیرید و سپس روی پارامترهایی بهینه کنید که واقعاً ناحیهٔ محصورِ محدود می‌سازند.

مثال کوتاه. روی $y=x^2$، خط قائم در $x=a\ne0$ معادلهٔ $y-a^2=-(x-a)/(2a)$ را دارد. تقاطع دیگر $b=-a-1/(2a)$ است؛ پس:

برابری در $\lvert a\rvert=1/2$ برقرار است و $S_{\min}=4/3$ و اندازهٔ شیب قائم برابر $1$ می‌شود. طول وتر $d\sqrt{1+m^2}=2\sqrt2$ است، نه پهنای افقیِ $2$. خط قائمِ رأس قطعهٔ محصورِ محدود نمی‌سازد و رقیب مجاز با مساحت صفر نیست.

مساحت قطبی: ابتدا ناحیهٔ شعاعی را تعیین کنید

مساحت قطاع باریک برابر نصف مربع شعاع ضرب در زاویه است. برای ناحیهٔ شعاعی که هر بخش آن یک بار شمرده شود و شعاع‌های داخلی و خارجی نامنفی باشند:

برای دو ناحیهٔ ستاره‌ای نسبت به یک قطب که هرکدام تمام پاره‌خط شعاعی از صفر تا شعاع خود را دارند، اشتراک از $\min(r_1,r_2)$ و اجتماع از $\max(r_1,r_2)$ استفاده می‌کند. زاویه‌های تغییر مرز را بیابید و فقط از تقارنِ اثبات‌شده بهره ببرید. کنترل‌های $0\le A_{\cap}\le\min(A_1,A_2)$ و $A_{\cup}=A_1+A_2-A_{\cap}$ تعیین‌کننده‌اند.

مثال کوتاه. برای $r_1=1+\cos\theta$ و $r_2=1-\cos\theta$، شعاع کوچک‌تر در ربع اول $1-\cos\theta$ است. تقارن نسبت به دو محور می‌دهد:

شعاع قطبیِ منفی نقطه‌ای روی نیم‌خط مقابل را نشان می‌دهد؛ $(-r,\theta)$ و $(r,\theta+\pi)$ یک نقطه را توصیف می‌کنند. حلقه‌ها، پیمایش تکراری و نواحی غیرستاره‌ای به تحلیل جداگانهٔ مسیر و بازه‌ها نیاز دارند. مربع‌کردن بی‌تأملِ شعاع منفی، قاعدهٔ شعاع کوچک‌تر را توجیه نمی‌کند.

حجم‌ها: واشر، پوسته و محور جابه‌جاشده

در جسم دورانی (solid of revolution)، شعاع فاصلهٔ واقعی تا محور است. واشر بر محور عمود است؛ پوسته از نواری موازی محور به دست می‌آید. فرمول‌های پایه، با شعاع‌های نامنفی و بدون هم‌پوشانیِ حجم‌های جاروب‌شده، چنین‌اند:

ارتفاع پوسته طولی موازی محور است. شعاع خارجی و داخلیِ واشر، دورترین و نزدیک‌ترین فاصله‌های آن برش‌اند و لزوماً مختصات بالایی و پایینی نیستند. اگر برش پیوسته محور را قطع کند، حاصل دورانش قرصی با شعاع داخلی صفر است. اگر دو سوی محور شعاع‌های یکسان را جاروب کنند، اجتماع بازه‌های جاروب‌شده را بگیرید؛ جمع‌کردن هر دو ممکن است حجم را دوباره بشمارد. شکستن بازه در محور به‌تنهایی این هم‌پوشانی را رفع نمی‌کند.

کنترل با واشر و پوسته. ناحیهٔ $0\le y\le x\le1$ را حول محور قائم دوران دهید. شعاع‌های واشر افقی از $y$ تا $1$ هستند؛ شعاع و ارتفاع پوستهٔ قائم هر دو $x$ هستند:

برای مرزهای با توان کسری، تغییر متغیر را در کل دیفرانسیل اعمال کنید. مثلاً دورانِ $x=(1-y^{1/3})^3$ با $0\le y\le1$ حول محور قائم می‌دهد:

در اینجا جزءبه‌جزءِ تکراری یا بسط چندجمله‌ای، اتحاد مفیدِ توان‌های صحیح را می‌دهد:

پاپوس: مساحت ضرب در مسیر مرکز سطح

برای ناحیهٔ مسطحِ محدود با مساحت و مرکز سطح، که یک بار حول محوری هم‌صفحه دوران می‌کند و محور از درونش نمی‌گذرد و ناحیه در یک سوی آن است، قضیهٔ حجم پاپوس (Pappus) می‌گوید:

در اینجا $d$ فاصلهٔ عمودیِ مرکز سطح تا محور است. توجیه آن $V=2\pi\iint_R\rho\,dA=2\pi d A$ است: در یک سوی محور، فاصله یک مختصهٔ آفین است و میانگینش فاصلهٔ مرکز سطح می‌شود. تماس با مرز مجاز است؛ عبور از درون ناحیه این فرمول مستقیم را برای حجم اجتماع نامعتبر می‌کند.

قرص شعاع $a$ در دوران حول خط مماس، $A=\pi a^2$ و $d=a$ دارد؛ پس $V=2\pi^2a^3$. دوران حول قطر، کره‌ای با حجم $4\pi a^3/3$ می‌دهد؛ در آن حالت نمی‌توان پاپوس را با فاصلهٔ صفرِ مرکز سطح به کار برد.

پیش از محاسبهٔ فاصله، علامت مختصات را حفظ کنید. مثلث $-1\le x\le0$ و $0\le y\le3x+3$ مساحت $3/2$ و $\bar x=-1/3$ دارد. حول $x=c\le-1$، فاصلهٔ مرکز سطح $-1/3-c$ است؛ پس $V=\pi(-1-3c)$. جایگزین‌کردن مختصهٔ مرکز سطح با قدرمطلق آن، فاصلهٔ جابه‌جایی را نادرست می‌کند.

کمیت خواسته‌شده را تشخیص دهید

فرمول‌های طول قوس در کارت انتگرال و عناصر عمومیِ سطح در کارت انتگرال‌های چندگانه آمده‌اند.

نکتهٔ کنکوری: برشی نمونه رسم کنید و فاصله‌های واقعی تا محور را بنویسید. برای اشتراک قطبی، پیش از بسط مربع‌ها «شعاع کوچک‌تر» را مشخص کنید.

تلهٔ رایج: اشتراک را با اجتماع اشتباه نگیرید، شعاع‌ها را به‌جای مربعشان تفریق نکنید، دیفرانسیل پارامتری را حذف نکنید و پاپوس را برای محوری که از درون ناحیه می‌گذرد به کار نبرید.