اجسام دَوّار: مساحت رویه و حجم

۱. دو شیء: خم $\to$ رویه، ناحیه $\to$ جسم

خط $\ell$ در صفحه را ثابت بگیرید (محور) و یک دور کامل $2\pi$ بچرخانید.

• دوران یک خم $\mathcal{C}$ یک رویهٔ دَوّار می‌سازد — مساحت جانبی $S$ آن را می‌خواهیم.
• دوران یک ناحیهٔ مسطح $R$ یک جسم دَوّار می‌سازد — حجم $V$ آن را می‌خواهیم.

هر دو با یک کمیت واحد کنترل می‌شوند، یعنی فاصله تا محور $\rho(P)=\operatorname{dist}(P,\ell)$:

$S=2\pi\int_{\mathcal{C}}\rho\;ds,\qquad\qquad V=\int A(u)\;du,$

که در آن $ds$ عنصر طول کمان است و $A(u)$ مساحت مقطعی است که صفحهٔ عمود بر $\ell$ در موضع $u$ ایجاد می‌کند. با تخصیص $\rho$:

هر چه در ادامه می‌آید صرفاً همین دو فرمول نمایشی است که در متغیری مناسب نوشته شده باشد.

۲. حجم: واشرها در برابر پوسته‌ها

قضیه (روش قرص / واشر). فرض کنید $u$ مختصهٔ اندازه‌گیری‌شده در امتداد محور باشد. اگر برای هر $u\in[a,b]$ برش ناحیهٔ $R$ عمود بر $\ell$ حلقه‌ای با شعاع بیرونی پیوستهٔ $R(u)$ و شعاع درونی $r(u)$، با $0\le r\le R$، باشد، آنگاه

$V=\pi\int_{a}^{b}\bigl(R(u)^{2}-r(u)^{2}\bigr)\,du .$

هرگاه ناحیه بر محور مماس شود، $r\equiv 0$ است و واشرها به قرصهای ساده تباهیده می‌شوند.

قضیه (پوسته‌های استوانه‌ای). اگر در عوض برش‌های موازی محور، پاره‌خط‌هایی به فاصلهٔ $\rho(v)$ از $\ell$ و به طول $h(v)$ باشند، آنگاه

$V=2\pi\int_{c}^{d}\rho(v)\,h(v)\,dv .$

این دو همان انتگرال سه‌گانه‌اند که با ترتیب متفاوتی محاسبه شده‌اند (فوبینی) — و همین پل ارتباطی با دستگاه انتگرال‌های چندگانه است؛ در مختصات استوانه‌ای هر دو به‌صورت $V=\iiint r\,dr\,d\theta\,dz$ خوانده می‌شوند.

چگونه انتخاب کنیم.

برای مرز پارامتری $\bigl(x(t),y(t)\bigr)$ آزمون صرفاً یکنوایی است: قرص‌ها حول محور $y$ ها دقیقاً وقتی مجازند که $y(t)$ یکنوا باشد (هر ارتفاع مرز را یک بار قطع کند)، و حول محور $x$ ها دقیقاً وقتی که $x(t)$ یکنوا باشد. بررسی این‌که کدام مختصه یکنواست معمولاً تمام مسئله است.

۳. مساحت رویه: عنصر، مخروط ناقص است نه استوانه

قضیه. اگر $f\in C^{1}[a,b]$ و $f\ge 0$ باشد، دوران نمودار $y=f(x)$ حول محور $x$ ها می‌دهد

$S=2\pi\int_{a}^{b}f(x)\sqrt{1+f'(x)^{2}}\;dx .$

صورت پارامتری. اگر $x,y\in C^{1}[\alpha,\beta]$ و خم دقیقاً یک بار پیموده شود،

$S=2\pi\int_{\alpha}^{\beta}\lvert y(t)\rvert\,\sqrt{x'(t)^{2}+y'(t)^{2}}\;dt \qquad(\text{حول محور }x\text{ ها}),$

و برای محور $y$ ها به‌جای $\lvert y(t)\rvert$ عبارت $\lvert x(t)\rvert$ می‌آید.

صورت قطبی. برای $r=r(\theta)$ داریم $ds=\sqrt{r^{2}+r'^{2}}\,d\theta$، پس حول محور قطبی $S=2\pi\int r(\theta)\sin\theta\,\sqrt{r^{2}+r'^{2}}\;d\theta,$ و حول محور قائم، $\sin\theta$ را با $\cos\theta$ جایگزین کنید.

چرا رادیکال آنجاست: عنصر رویه یک مخروط ناقص با یال مورب $ds$ و شعاع میانگین $\rho$ است که مساحت جانبی‌اش $2\pi\rho\,ds$ می‌شود — نه استوانه‌ای با $2\pi\rho\,dx$. استفاده از $dx$ مساحت مخروط را $\pi r h$ می‌داد به‌جای مقدار درست $\pi r\sqrt{r^{2}+h^{2}}$.

تلهٔ رایج: وقتی $\sqrt{x'^{2}+y'^{2}}$ ساده می‌شود، قدر مطلق باقی می‌ماند: $\sqrt{9a^{2}\sin^{2}t\cos^{2}t}=3a\lvert\sin t\cos t\rvert$ است، نه $3a\sin t\cos t$. حذف قدر مطلق، انتگرال‌ده را نسبت به $t=\tfrac{\pi}{2}$ فرد می‌کند و رویه به $0$ فرو می‌ریزد — پاسخی که هرگز در فهرست گزینه‌ها نیست، پس خطا جای دیگری به شکل علامت غلط یا ضریب غلط سر برمی‌آورد.

۴. جدول جامع پارامتری (موقعیت محبوب کنکور)

با $ds=\sqrt{x'(t)^{2}+y'(t)^{2}}\,dt$، $dx=x'(t)\,dt$، $dy=y'(t)\,dt$:

به حسابداری ضریب ابتدای عبارت توجه کنید: $\pi$ برای قرص‌ها، و $2\pi$ برای پوسته‌ها و برای هر مساحت رویه. یک ضریب $2$ سرگردان، پرتولیدترین گزینهٔ انحرافی این مبحث است.

۵. پاپوس–گولدین: میان‌بُر بدون انتگرال

قضیه (پاپوس، دوم). اگر ناحیه‌ای مسطح به مساحت $A$ تماماً در یکی از دو نیم‌صفحهٔ بستهٔ محدود به محور هم‌صفحهٔ $\ell$ قرار گیرد و مرکز سطح آن به فاصلهٔ $\bar d$ از $\ell$ باشد، آنگاه یک دوران کامل حجمِ

$V=2\pi\bar d\,A .$

را می‌روبد.

قضیه (پاپوس، اول). خمی مسطح به طول $L$ که مرکز آن به فاصلهٔ $\bar d$ از $\ell$ است، رویه‌ای به مساحت $S=2\pi\bar d\,L$ می‌روبد.

هر دو در صورتی که جسم محور را قطع کند یا با آن برخورد داشته باشد ناکارآمدند (جسم رُفته‌شده روی خودش هم‌پوشانی می‌کند). کاربرد کلاسیک: چنبره (تُرِس) حاصل از قرص $(x-R)^{2}+y^{2}\le r^{2}$ با $R>r$، حول محور $y$ ها: $V=2\pi R\cdot\pi r^{2}=2\pi^{2}Rr^{2},\qquad S=2\pi R\cdot 2\pi r=4\pi^{2}Rr,$ هر دو در یک سطر و بدون انتگرال. اگر معکوس بخوانیم، پاپوس با دانستن حجم، مرکز سطح را نیز می‌یابد.

۶. دستورالعمل

۱. محور را تشخیص دهید و شعاع $\rho$ را بنویسید (اگر محور، محور مختصات نیست، $k$ یا $c$ را کم کنید). ۲. رویه یا حجم؟ رویه $\Rightarrow$ به $ds$ نیاز دارید؛ حجم $\Rightarrow$ به یک مقطع نیاز دارید. ۳. حجم: یکنوایی را بیازمایید. اگر مرز نسبت به مختصهٔ در امتداد محور تک‌مقداری است از واشرها استفاده کنید، وگرنه از پوسته‌ها. اگر ناحیه محور را قطع می‌کند، نخست آن را به یک سمت تا بزنید. ۴. به یک متغیر تبدیل کنید، همراه با دیفرانسیل: $dx=x'\,dt$، $dy=y'\,dt$، $ds=\sqrt{x'^{2}+y'^{2}}\,dt$. ۵. بازه را چنان تنظیم کنید که جسم دقیقاً یک بار رُفته شود. برای خمی متقارن نسبت به محور، تنها یکی از دو نیمه را انتگرال بگیرید؛ برای خمی متقارن نسبت به خطی عمود بر محور، نصف را انتگرال بگیرید و آگاهانه دو برابر کنید. ۶. محاسبه کنید. توان‌های فرد مثلثاتی با تغییر متغیر $u$ حل می‌شوند؛ روی یک دورهٔ کامل از $\int_{0}^{2\pi}\cos t\,dt=\int_{0}^{2\pi}\cos^{3}t\,dt=0$ و $\int_{0}^{2\pi}\cos^{2}t\,dt=\pi$ استفاده کنید.

۷. مثال حل‌شدهٔ الف — یک رویه (پارامتری)

نجم‌واره (آستروئید) $x=a\cos^{3}t$، $y=a\sin^{3}t$ (هم‌ارز با $x^{2/3}+y^{2/3}=a^{2/3}$، $a>0$) را حول محور $x$ ها بچرخانید.

$x'=-3a\cos^{2}t\sin t,\quad y'=3a\sin^{2}t\cos t\;\Longrightarrow\; x'^{2}+y'^{2}=9a^{2}\sin^{2}t\cos^{2}t\bigl(\cos^{2}t+\sin^{2}t\bigr),$ $ds=3a\,\lvert\sin t\cos t\rvert\,dt .$

آستروئید نسبت به محور $x$ ها متقارن است، پس نیمهٔ بالایی $t\in[0,\pi]$ (جایی که $y\ge0$) به‌تنهایی تمام رویه را می‌روبد؛ بازهٔ $[0,2\pi]$ آن را دو بار می‌پوشاند. بنابراین

$S=2\pi\int_{0}^{\pi}a\sin^{3}t\cdot 3a\lvert\sin t\cos t\rvert\,dt=6\pi a^{2}\int_{0}^{\pi}\sin^{4}t\,\lvert\cos t\rvert\,dt .$

انتگرال‌ده نسبت به $t=\tfrac{\pi}{2}$ متقارن است، پس ربع نخست را دو برابر کنید و $u=\sin t$ قرار دهید:

$S=12\pi a^{2}\int_{0}^{\pi/2}\sin^{4}t\cos t\,dt=12\pi a^{2}\int_{0}^{1}u^{4}\,du=\frac{12\pi a^{2}}{5}.$

به دو نصف‌کردن/دوبرابرکردن مستقل توجه کنید: نیمهٔ پایینی کنار گذاشته می‌شود (چون دوباره همان مسیر را می‌پیماید)، ولی کمان ربع دوم نگه داشته می‌شود (چون رویهٔ تازه می‌روبد). خلط این دو دقیقاً همان چیزی است که آدم را به $\tfrac{6\pi a^{2}}{5}$ — یعنی نصف پاسخ درست — می‌رساند.

۸. مثال حل‌شدهٔ ب — یک حجم (پارامتری)

ناحیهٔ زیر یک قوس از سیکلوئید $x=a(t-\sin t)$، $y=a(1-\cos t)$، $0\le t\le 2\pi$ را حول محور $x$ ها بچرخانید. چون $x'(t)=a(1-\cos t)\ge0$ است، مختصهٔ $x$ یکنواست و لذا قرص‌ها به کار می‌آیند:

$V=\pi\int y^{2}\,dx=\pi a^{3}\int_{0}^{2\pi}(1-\cos t)^{3}\,dt .$

بسط دهید $(1-\cos t)^{3}=1-3\cos t+3\cos^{2}t-\cos^{3}t$؛ روی یک دورهٔ کامل دو توان فرد کسینوس صفر می‌شوند و $\int_{0}^{2\pi}\cos^{2}t\,dt=\pi$ است، پس انتگرال برابر $2\pi+3\pi=5\pi$ می‌شود و

$V=5\pi^{2}a^{3}.$

اصل انعکاس. اگر همان خم با نقش‌های جابه‌جاشدهٔ $x$ و $y$ به شما داده شود، یعنی $x=a(1-\cos t)$، $y=a(t-\sin t)$، تصویر، قرینهٔ آن نسبت به خط $y=x$ است: اکنون $y'(t)=a(1-\cos t)\ge0$ است، قوس نمودار تک‌مقداری $x=x(y)$ می‌شود و همان محاسبه $V=\pi\int x^{2}\,dy=\pi a^{3}\int_{0}^{2\pi}(1-\cos t)^{3}dt=5\pi^{2}a^{3}$ این بار حجم حول محور $y$ ها را می‌دهد. هیچ چیز جز برچسبِ مختصهٔ یکنوا تغییر نکرده است.

وارسی متقابل با پوسته‌ها همیشه در دسترس است و راه استاندارد گرفتن خطای تنظیم مسئله است: برای ناحیهٔ زیر قوس استاندارد، دوران حول محور $y$ ها می‌دهد $V=2\pi\int x\,y\,dx=6\pi^{3}a^{3}$ — به $\pi^{3}$ توجه کنید. رسیدن به $\pi^{3}$ آنجا که $\pi^{2}$ باید باشد (یا برعکس) زنگ خطر مطمئنی است که قرص‌ها و پوسته‌ها، یا دو محور، با هم اشتباه شده‌اند.

۹. مقادیر کلاسیک که ارزش حفظ‌کردن دارند

(برای آشنایی بیشتر: قوس سیکلوئید طول $L=8a$ دارد و مساحت $3\pi a^{2}$ را در بر می‌گیرد؛ آستروئید $L=6a$ و مساحت $\tfrac{3\pi a^{2}}{8}$ دارد.)

۱۰. گونه‌ها و حالت‌های مرزی

• محور $y=k$ یا $x=c$. همه‌جا $y$ را با $y-k$ جایگزین کنید. شعاع بیرونی واشر متعلق به مرزی است که دورتر از خط قرار دارد، و این‌که کدام مرز است می‌تواند با تغییر $u$ عوض شود — انتگرال را در نقطهٔ تقاطع بشکنید.
• ناحیه‌ای که محور را قطع می‌کند. دو سمت، اجسامی هم‌پوشان می‌روبند، پس $V\neq\pi\int\bigl(y_{+}^{2}+y_{-}^{2}\bigr)du$؛ مقدار درست $V=\pi\int\max\bigl(y_{+},\lvert y_{-}\rvert\bigr)^{2}du$ است. پاپوس در اینجا اساساً نامعتبر است.
• خم‌های بسته. خم بسته‌ای که نسبت به محور متقارن است (دایره، بیضی، آستروئید) با نصف بازهٔ پارامتری‌اش به‌طور کامل رُفته می‌شود؛ استفاده از کل بازه رویه را دو برابر می‌کند.
• حالت‌های ناسره. برای $y=1/x$ روی $[1,\infty)$ حول محور $x$ ها (شیپور گابریل)، $V=\pi\int_{1}^{\infty}x^{-2}dx=\pi$ همگراست حال آنکه $S=2\pi\int_{1}^{\infty}x^{-1}\sqrt{1+x^{-4}}\,dx=\infty$: حجم متناهی، مساحت نامتناهی. همگرایی $V$ و همگرایی $S$ دو آزمون $p$ی متفاوتاند — به‌ترتیب روی $y^{2}$ و روی $y$.
• دوران نمودار حول محور $y$ ها. $S=2\pi\int_{a}^{b}x\sqrt{1+f'(x)^{2}}\,dx$: شعاع تغییر می‌کند، اما عنصر طول کمان نه.
• مقاطع معلوم (بدون دوران). همین برش‌زدن، $V=\int A(u)\,du$ را برای اجسامی می‌دهد که مقاطعشان روی یک ناحیهٔ پایه مربع، نیم‌دایره یا مثلث متساوی‌الاضلاع است — آزمون صرفاً $A=\pi R^{2}$ را با $A=(2R)^{2}$ یا $A=\sqrt{3}R^{2}$ عوض می‌کند.

۱۱. شیوهٔ طرح این مبحث در آزمون

الگوی پرتکرار این است: یک خم کلاسیک پارامتری (یا قطبی) — آستروئید، سیکلوئید، کاردیوئید، دایره، بیضی — به‌علاوهٔ یک محور، و پرسش از یک عدد. چهار گزینه حول لغزش‌های استاندارد ساخته شده‌اند: یکی نصف یا دو برابر مقدار درست است (خطای پوشش / تقارن)، یکی از حذف $\sqrt{x'^{2}+y'^{2}}$ یا حذف قدر مطلق می‌آید، و یکی توان نادرست $\pi$ را دارد (نشانهٔ انتگرال‌گیری روی $dx$ آنجا که $dy$ باید باشد، یا پوسته‌ها آنجا که قرص‌ها باید باشند). به همین دلیل معمولاً می‌توان دو گزینه را پیش از هر انتگرال‌گیری کنار گذاشت.

نکتهٔ کنکوری: پیش از محاسبه دو وارسی پنج‌ثانیه‌ای انجام دهید. (i) بُعد: مساحت رویه باید مانند $a^{2}$ و حجم مانند $a^{3}$ مقیاس بگیرد، و هر ضریب $\pi$ باید از جایی به دست آمده باشد — یک $\pi$ اضافی فقط می‌تواند از خود خم بیاید (کمان‌های سیکلوئیدگون به طول $2\pi a$)، پس پاسخ‌های دارای $\pi^{2}$ و $\pi^{3}$ تشخیص‌دهنده‌اند. (ii) پوشش: بپرسید «آیا بازهٔ پارامتری من جسم را دقیقاً یک بار می‌روبد؟» گزینهٔ ضریب‌دو همیشه در فهرست هست، دقیقاً چون نصف‌پوشانی یا دوپوشانی در جبر نامرئی و در پاسخ مرگبار است.