مفهومریاضی عمومی ۱ و ۲ حساب توابع چندمتغیره

حساب دیفرانسیل و انتگرال چندمتغیره: مشتق‌های جزئی، اکسترمم‌ها و انتگرال‌های چندگانه

مشتق‌های جزئی، گرادیان و قاعدهٔ زنجیره‌ای، دسته‌بندی نقاط بحرانی با دیسکریمینان هسین، بهینه‌سازی مقید با ضرایب لاگرانژ، و محاسبهٔ انتگرال‌های دوگانه/سه‌گانه با قضیهٔ فوبینی، تعویض ترتیب انتگرال‌گیری و تغییر متغیر. توابع ضمنی جفت‌شده به انتخاب شاخه و ژاکوبین وارون‌پذیر نسبت به متغیرهای وابسته نیاز دارند.

کارت مفهوم کنکور ارشد مهندسی مکانیک

اهمیت

۰/۵

حساب چندمتغیره به مطالعهٔ توابع $f:\mathbb{R}^{n}\to\mathbb{R}$ (و نگاشت‌های $\mathbb{R}^{n}\to\mathbb{R}^{m}$ ) می‌پردازد — مشتق‌گیری از آن‌ها در هر بار تنها در یک راستا و انتگرال‌گیری از آن‌ها روی نواحی به‌جای بازه‌ها. این موضوع زبان کاری مهندسی مکانیک است: میدان دمای $T(x,y,z,t)$ که از $\rho c\,\partial T/\partial t=k\nabla^{2}T$ پیروی می‌کند، حالت تنش $\sigma(x,y)$ ، سطح بازدهی $\eta(r,\omega)$ که باید بیشینه شود، یا ممان اینرسی سطح $I=\iint_{A} y^{2}\,dA$ یک مقطع. سه پرسش در این میان غالب‌اند: چگونه $f$ تغییر می‌کند؟ (مشتق‌های جزئی، گرادیان)، کجا $f$ بیشینه یا کمینه است؟ (نقاط بحرانی، هسین، لاگرانژ)، و مقدار انباشتهٔ کل روی یک ناحیه چقدر است؟ (انتگرال‌های دوگانه و سه‌گانه).

۱. مشتق‌های جزئی، گرادیان و مشتق‌پذیری

یک مشتق جزئی همهٔ متغیرها جز یکی را ثابت نگه می‌دارد:

\frac{\partial f}{\partial x}(a,b) = \lim_{h\to 0}\frac{f(a+h,b)-f(a,b)}{h}, \qquad \frac{\partial f}{\partial y}(a,b) = \lim_{h\to 0}\frac{f(a,b+h)-f(a,b)}{h}.

این مشتق‌ها با همان قواعد معمول تک‌متغیره محاسبه می‌شوند، با در نظر گرفتن سایر متغیرها به‌عنوان ثابت. گرادیان آن‌ها را کنار هم می‌گذارد،

\nabla f = \left(\frac{\partial f}{\partial x},\ \frac{\partial f}{\partial y},\ \frac{\partial f}{\partial z}\right),

و هندسه را با خود حمل می‌کند: $\nabla f$ در راستای بیشترین افزایش قرار دارد، اندازه‌اش بیشینهٔ نرخ تغییر است، و بر سطح تراز $f=\text{const}$ عمود است. نرخ تغییر در راستای بردار یکهٔ $\mathbf{u}$ همان مشتق سویی است

D_{\mathbf{u}}f = \nabla f\cdot\mathbf{u} = \lVert\nabla f\rVert\cos\theta,

پس $D_{\mathbf{u}}f$ در راستای $\nabla f$ بیشینه و در راستای منحنی تراز صفر است. صفحهٔ مماس بر $z=f(x,y)$ در نقطهٔ $(a,b)$ و دیفرانسیل کل (که برای انتشار خطا/تحلیل حساسیت به کار می‌رود) عبارت‌اند از

z = f(a,b) + f_{x}(a,b)(x-a) + f_{y}(a,b)(y-b), \qquad df = \frac{\partial f}{\partial x}\,dx + \frac{\partial f}{\partial y}\,dy .

وجود مشتق‌های جزئی شرطی ضعیف‌تر از مشتق‌پذیری است. تابع $f$ در یک نقطه مشتق‌پذیر است اگر تقریب خطی با خطای $o\!\left(\lVert(\Delta x,\Delta y)\rVert\right)$ را بپذیرد؛ یک آزمون کافی و کاربردی این است که $f_{x},f_{y}$ موجود و در همسایگی نقطه پیوسته باشند ( $f\in C^{1}$ ). یک تابع می‌تواند در مبدأ هر دو مشتق جزئی را داشته باشد و با این حال در آنجا ناپیوسته باشد — برای نمونه $f=xy/(x^{2}+y^{2})$ با $f(0,0)=0$ ، که حد آن در امتداد $y=mx$ به $m$ وابسته است.

قاعدهٔ زنجیره‌ای. اگر $x=x(t)$ و $y=y(t)$ باشد، آنگاه

\frac{df}{dt} = \frac{\partial f}{\partial x}\frac{dx}{dt} + \frac{\partial f}{\partial y}\frac{dy}{dt},

و برای $f\!\left(x(u,v),y(u,v)\right)$ هر $d/dt$ به $\partial/\partial u$ یا $\partial/\partial v$ تبدیل می‌شود. مشتق‌گیری ضمنی (مشتق نسبت به متغیر وابسته در مخرج باید ناصفر باشد): اگر $F(x,y)=0$ تابع $y(x)$ را تعریف کند، آنگاه $\dfrac{dy}{dx}=-\dfrac{F_{x}}{F_{y}}$ ؛ و اگر $F(x,y,z)=0$ تابع $z(x,y)$ را تعریف کند، آنگاه $\dfrac{\partial z}{\partial x}=-\dfrac{F_{x}}{F_{z}}$ .

توابع ضمنیِ جفت‌شده: مشتق‌گیری از یک دستگاه

برای $F(x,y,u,v)=G(x,y,u,v)=0$ ، ابتدا هر دو معادله را در $(x,y)$ مشخص‌شده حل و شاخهٔ مجاز را با توجه به دامنه یا نامساوی‌ها انتخاب کنید. اگر $F,G$ در همسایگی آن جواب مشتق‌پذیر پیوسته باشند، قضیهٔ تابع ضمنی وجود محلیِ توابع مشتق‌پذیر یکتای $u(x,y),v(x,y)$ را تحت شرط زیر تضمین می‌کند:

J_{uv}=\begin{pmatrix}F_u&F_v\\G_u&G_v\end{pmatrix},\qquad D_{uv}=F_uG_v-F_vG_u\ne0.

با ثابت نگه‌داشتن $y$ و اعمال قاعدهٔ زنجیره‌ای به هر دو معادله داریم:

J_{uv}\begin{pmatrix}u_x\\v_x\end{pmatrix}=-\begin{pmatrix}F_x\\G_x\end{pmatrix},\qquad u_x=\frac{F_vG_x-G_vF_x}{D_{uv}},\qquad v_x=\frac{G_uF_x-F_uG_x}{D_{uv}}.

همهٔ درایه‌ها را روی شاخهٔ انتخاب‌شده محاسبه کنید. برای مشتق‌های جزئی نسبت به $y$ ، درایه‌های سمت راست را با $F_y,G_y$ جایگزین کنید. پیش از جای‌گذاری مشتق حاصل‌ضرب را بگیرید: صفر بودن یک ضریب در نقطه ممکن است یک مشتق مجهول را حذف کند، اما جملهٔ دیگرِ قاعدهٔ حاصل‌ضرب را حذف نمی‌کند. دترمینان صفر، این قضیه را بی‌نتیجه می‌کند؛ به‌تنهایی عدم وجود شاخهٔ مشتق‌پذیر را ثابت نمی‌کند.

مشتق‌های جزئی مختلط جابه‌جاپذیرند (کلرو/شوارتس) هرگاه پیوسته باشند: $f_{xy}=f_{yx}$ . این امر هسین را متقارن می‌کند. برای ضرایب مشتق‌پذیر پیوسته، $\partial Q/\partial x=\partial P/\partial y$ آزمون محلیِ کامل بودن فرم دیفرانسیلی است؛ در دامنهٔ بازِ ساده‌همبند، کامل بودن سراسری را نیز تضمین می‌کند. این آزمون دیفرانسیل خاصیت را از گرمای وابسته به مسیر در ترمودینامیک $\delta Q$ متمایز می‌کند.

۲. اکسترمم‌ها: نقاط بحرانی و آزمون مشتق دوم

اکسترمم نسبی داخلی یک تابع مشتق‌پذیر $f$ تنها می‌تواند در یک نقطهٔ بحرانی (ساکن) رخ دهد، جایی که

\nabla f = \mathbf{0} \quad\Longleftrightarrow\quad f_{x}=0 \ \text{ and } \ f_{y}=0 .

(نقاطی که در آن‌ها یک مشتق جزئی وجود ندارد نیز بحرانی‌اند.) حل دستگاه $f_{x}=f_{y}=0$ یک مسئلهٔ جبری است — یک معادله را در دیگری جای‌گذاری کنید و تنها ریشه‌های حقیقی را نگه دارید.

دسته‌بندی با ماتریس هسین و دیسکریمینان آن انجام می‌شود:

H = \begin{pmatrix} f_{xx} & f_{xy} \\ f_{xy} & f_{yy}\end{pmatrix}, \qquad D = \det H = f_{xx}f_{yy} - f_{xy}^{\,2}.

$D$ در نقطهٔ بحرانی	$f_{xx}$	نتیجه
$D>0$	$f_{xx}>0$	کمینهٔ نسبی ( $H$ معین مثبت)
$D>0$	$f_{xx}<0$	بیشینهٔ نسبی ( $H$ معین منفی)
$D<0$	—	نقطهٔ زینی ( $H$ نامعین)
$D=0$	—	آزمون بی‌نتیجه — مستقیماً بررسی کنید

منطق کار، بسط تیلور مرتبهٔ دوم $f(a+h,b+k)\approx f(a,b)+\tfrac{1}{2}\!\left(f_{xx}h^{2}+2f_{xy}hk+f_{yy}k^{2}\right)$ است: فرم درجه‌دوم دقیقاً وقتی معین است که $D>0$ باشد، و در آن صورت علامتش همان علامت $f_{xx}$ است. در $n$ متغیر همین گزاره چنین خوانده می‌شود: کمینه اگر همهٔ مقادیر ویژهٔ $H$ مثبت باشند، بیشینه اگر همه منفی باشند، و زینی اگر علامت‌ها مختلط باشند ؛ معیار سیلوستر برای کمینه، مثبت بودن کهادهای اصلی پیشرو را می‌آزماید؛ برای بیشینه، علامت آن‌ها متناوب است و با منفی آغاز می‌شود.

اکسترمم‌های مطلق روی یک ناحیهٔ بسته و کران‌دار هم به بررسی داخل و هم به بررسی مرز نیاز دارند: (i) نقاط بحرانی داخلی را فهرست کنید، (ii) هر تکه از مرز را پارامتری کنید و به یک مسئلهٔ تک‌متغیره کاهش دهید (یا از لاگرانژ استفاده کنید)، (iii) گوشه‌ها را بیفزایید، (iv) همهٔ مقادیر را مقایسه کنید. قضیهٔ مقدار اکسترمم تضمین می‌کند که برای $f$ پیوسته روی یک مجموعهٔ بسته و کران‌دار، بیشینه و کمینه وجود دارند.

اکسترمم مقید — ضرایب لاگرانژ. برای اکسترمم‌سازی $f$ با قید $g=0$ ، در نقطهٔ منظمِ قید، گرادیان‌ها باید در نقطهٔ بهینه موازی باشند:

\nabla f = \lambda\,\nabla g,\qquad g(x,y,z)=0 ,

که برای دو قید به $\nabla f=\lambda\nabla g+\mu\nabla h$ تبدیل می‌شود. از نظر هندسی، سطح تراز $f$ بر سطح قید مماس است؛ و $\lambda$ همان حساسیت $\partial f^{*}/\partial c$ مقدار بهینه نسبت به شل‌کردن قید $g=c$ است (یک قیمت سایه — در مکانیک، برای نمونه سود نهایی به‌ازای هر واحد مادهٔ مجاز).

۳. انتگرال‌های دوگانه و سه‌گانه

روی یک مستطیل، قضیهٔ فوبینی یک انتگرال دوگانه را به دو انتگرال معمولی در هر ترتیبی تبدیل می‌کند. روی یک ناحیهٔ کلی، آن را به‌صورت نوع I (نوارهای قائم) یا نوع II (نوارهای افقی) بنویسید:

\iint_{R} f\,dA=\int_{a}^{b}\!\!\int_{g_{1}(x)}^{g_{2}(x)} f(x,y)\,dy\,dx \qquad\text{or}\qquad \iint_{R} f\,dA=\int_{c}^{d}\!\!\int_{h_{1}(y)}^{h_{2}(y)} f(x,y)\,dx\,dy .

حدود بیرونی همیشه ثابت‌اند؛ حدود درونی تنها می‌توانند به متغیر بیرونی وابسته باشند. تعویض ترتیب یعنی توصیف دوبارهٔ همان ناحیه با جابه‌جایی نقش‌ها — ناحیه را رسم کنید و سپس حدود جدید را از روی شکل بخوانید. این راه فرار استاندارد وقتی است که پادمشتق درونی مقدماتی نیست ( $e^{x^{2}}$ ، $\sin(e^{y})$ ، $\sqrt{1+x^{3}}$ ، $\sin x/x$ ).

تغییر متغیر (ژاکوبین). برای $x=x(u,v),\ y=y(u,v)$ ،

\iint_{R} f(x,y)\,dx\,dy = \iint_{S} f\bigl(x(u,v),y(u,v)\bigr)\,\lvert J\rvert\,du\,dv, \qquad J = \frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)} = \begin{vmatrix} x_{u} & x_{v} \\ y_{u} & y_{v}\end{vmatrix}.

حالت‌های استاندارد ارزش حفظ‌کردن دارند:

dA = r\,dr\,d\theta \ \ (\text{polar}),\qquad dV = r\,dr\,d\theta\,dz \ \ (\text{cylindrical}),\qquad dV = \rho^{2}\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta \ \ (\text{spherical}).

کاربردها (دلیل اصلی استفادهٔ مهندسی مکانیک از این ابزارها):

A=\iint_{R} dA,\qquad V=\iiint_{V} dV,\qquad m=\iint_{R}\rho\,dA,

\bar{x}=\frac{1}{m}\iint_{R} x\,\rho\,dA,\qquad I_{x}=\iint_{R} y^{2}\,\rho\,dA,\qquad f_{\text{avg}}=\frac{1}{A}\iint_{R} f\,dA .

۴. روش — چگونه این مسائل را حل کنیم

برای یک مسئلهٔ اکسترمم

$f_{x}$ و $f_{y}$ را محاسبه کنید و $f_{x}=f_{y}=0$ را هم‌زمان حل کنید؛ تنها جواب‌های حقیقی را نگه دارید و آن‌ها را بشمارید — تعداد نقاط بحرانی به‌تنهایی اغلب چند گزینه را حذف می‌کند.
$f_{xx},f_{yy},f_{xy}$ را محاسبه کنید و $D=f_{xx}f_{yy}-f_{xy}^{2}$ را به‌صورت یک تابع بسازید، سپس آن را در هر نقطهٔ بحرانی ارزیابی کنید.
جدول را بخوانید: $D<0\Rightarrow$ زینی؛ $D>0$ با $f_{xx}>0\Rightarrow$ کمینه، و با $f_{xx}<0\Rightarrow$ بیشینه.
اگر $D=0$ شد، مستقیماً آزمون کنید: $f$ را در امتداد چند خط گذرنده از نقطه بررسی کنید ( $y=x$ ، $y=-x$ ، $y=0$ ) — علامت‌های مخالف نشان‌دهندهٔ نقطهٔ زینی‌اند.
اگر قیدی در کار است، به $\nabla f=\lambda\nabla g$ سوئیچ کنید؛ و اگر دامنه بسته است، مرز را هم بررسی و مقادیر را مقایسه کنید.

برای یک انتگرال چندگانه

پیش از دست‌زدن به تابع زیر انتگرال، ناحیه را از روی حدود رسم کنید — تقریباً همهٔ دشواری‌ها هندسی‌اند نه جبری.
انتگرال درونی را امتحان کنید. اگر پادمشتق آن مقدماتی نیست، ترتیب را عوض کنید (یا چند انتگرال را که نواحی‌شان یک ناحیهٔ ساده‌تر را می‌پوشانند در هم ادغام کنید).
هندسه را با دستگاه مختصات مناسب تطبیق دهید: دایره‌ها/حلقه‌ها/ $x^{2}+y^{2}$ $\Rightarrow$ قطبی؛ کره‌ها/مخروط‌ها $\Rightarrow$ کروی؛ خطوط مایل مانند $u=x+y,\ v=x-y$ $\Rightarrow$ یک تغییر متغیر خطی — و هرگز $\lvert J\rvert$ را فراموش نکنید.
از تقارن بهره ببرید: یک تابع فرد روی ناحیه‌ای متقارن نسبت به همان محور، انتگرالش صفر می‌شود؛ و توابع تفکیک‌پذیر روی یک مستطیل به حاصل‌ضرب دو انتگرال تک‌متغیره تجزیه می‌شوند.
در انتگرال تک‌متغیرهٔ باقی‌مانده تغییر متغیر بزنید و آن را محاسبه کنید.

۵. مثال کوچک حل‌شده

(الف) نقاط بحرانی $f(x,y)=x^{2}+xy+y^{2}-3x$ را دسته‌بندی کنید.

f_{x}=2x+y-3=0,\qquad f_{y}=x+2y=0 .

از رابطهٔ دوم، $x=-2y$ ؛ با جای‌گذاری، $-4y+y=3\Rightarrow y=-1$ و $x=2$ . تنها نقطهٔ بحرانی $(2,-1)$ است. مشتق‌های دوم ثابت‌اند: $f_{xx}=2$ ، $f_{yy}=2$ ، $f_{xy}=1$ ، پس

D=2\cdot 2-1^{2}=3>0,\qquad f_{xx}=2>0 \quad\Rightarrow\quad \text{relative (here also absolute) minimum},

با $f(2,-1)=4-2+1-6=-3$ . (ماتریس هسین در همه‌جا معین مثبت است، پس این سهمی‌گون در هر راستا رو به بالا باز می‌شود.)

(ب) مقدار $\displaystyle\int_{0}^{1}\!\!\int_{y}^{1} e^{x^{2}}\,dx\,dy$ را بیابید.

پادمشتق درونی $e^{x^{2}}$ به‌صورت بسته وجود ندارد، پس ترتیب را عوض می‌کنیم. ناحیه $\{0\le y\le 1,\ y\le x\le 1\}$ است — مثلث زیر خط $y=x$ — که هم‌ارز با $\{0\le x\le 1,\ 0\le y\le x\}$ است:

\int_{0}^{1}\!\!\int_{y}^{1} e^{x^{2}}\,dx\,dy =\int_{0}^{1}\!\!\int_{0}^{x} e^{x^{2}}\,dy\,dx =\int_{0}^{1} x\,e^{x^{2}}\,dx =\left[\tfrac{1}{2}e^{x^{2}}\right]_{0}^{1}=\frac{e-1}{2}.

هندسه همان ضریب $x$ را فراهم کرد که تغییر متغیر $u=x^{2}$ را ممکن ساخت — در این مثال همین سازوکار تعویض ترتیب را سودمند می‌کند.

(ج) شاخه‌های جفت‌شده. فرض کنید $u^{2}+v^{2}=10+x$ و $u-v=y$ ، با شرط $u,v>0$ . در $(x,y)=(0,2)$ ، زوج‌های جبری $(u,v)=(3,1)$ و $(-1,-3)$ هستند؛ فقط زوج نخست مجاز است. با مشتق‌گیری در $y$ ثابت داریم:

6u_x+2v_x=1,\qquad u_x-v_x=0,\qquad D_{uv}=-8\ne0\quad\Rightarrow\quad u_x=v_x=\frac18.

هر دو قید برقرارند: تفاضل ثابت می‌ماند و مجموع مربعات با نرخ واحد افزایش می‌یابد.

۶. حالت‌های پرتکرار و موارد خاص

$D=0$ (واگن/تباهیده). توابع $f=x^{4}+y^{4}$ (کمینه)، $f=-x^{4}-y^{4}$ (بیشینه) و $f=x^{3}$ (هیچ‌کدام) همگی در مبدأ $D=0$ می‌دهند: آزمون نمی‌تواند آن‌ها را از هم تشخیص دهد، پس باید مستقیماً استدلال کرد.
زین میمونی. تابع $f=x^{3}-3xy^{2}$ دارای $D=-36(x^{2}+y^{2})\le 0$ است: یک نقطهٔ بحرانی یگانه که زینی با سه راستای نزولی است.
کمترین مربعات / رگرسیون یک کمینه‌سازی نامقید دومتغیره است: قرار دهید $\partial S/\partial m=\partial S/\partial b=0$ ، برای $S=\sum (y_{i}-mx_{i}-b)^{2}$ .
بهینه‌سازی با قیدی که خود یک مرز است (بیشینه حجم به‌ازای مساحت سطح داده‌شده، نزدیک‌ترین نقطهٔ یک سطح به مبدأ): معمولاً لاگرانژ سریع‌تر از حذف یک متغیر است، و کمینه‌کردن $d^{2}$ به‌جای $d$ شما را از رادیکال خلاص می‌کند.
انتگرال دوگانهٔ ناسره: $\displaystyle\iint_{\mathbb{R}^{2}} e^{-(x^{2}+y^{2})}dA=\int_{0}^{2\pi}\!\!\int_{0}^{\infty} e^{-r^{2}}r\,dr\,d\theta=\pi$ ، که همان راه استخراج $\int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^{2}}dx=\sqrt{\pi}$ است.
مشتق‌گیری زیر علامت انتگرال (لایب‌نیتس): $\dfrac{d}{dt}\displaystyle\int_{a(t)}^{b(t)} f(x,t)\,dx=\int_{a}^{b} f_{t}\,dx+f(b,t)\,b'(t)-f(a,t)\,a'(t)$ — همان قضیهٔ انتقال رینولدز در یک بُعد.
انتگرال‌های سه‌گانه در ترتیب دلخواه: تصویرکردن یک جسم روی صفحهٔ $xy$ ، $yz$ یا $xz$ سه چیدمان معتبر می‌دهد؛ تصویری را انتخاب کنید که سایه‌اش ساده‌ترین باشد.
نواحی خطی غیرمستطیلی: یک متوازی‌الاضلاع محدود به $x+y=c_{1,2}$ و $x-y=c_{3,4}$ تحت تبدیل $u=x+y,\ v=x-y$ با $\lvert J\rvert=\tfrac{1}{2}$ به مستطیل تبدیل می‌شود.

نکتهٔ کنکوری: دو واکنش سریع، بیشتر این سؤال‌ها را می‌برد. برای اکسترمم‌ها، اول نقاط بحرانی را بشمارید — گزینه‌هایی که سه اکسترمم وعده می‌دهند وقتی دستگاه $f_{x}=f_{y}=0$ تنها دو ریشهٔ حقیقی دارد بی‌درنگ حذف می‌شوند — سپس بگذارید $D=f_{xx}f_{yy}-f_{xy}^{2}$ (نه $f_{xx}$ به‌تنهایی) نوع نقطه را تعیین کند؛ مشتق مختلط ناصفر $f_{xy}$ می‌تواند حتی با درایه‌های قطری مثبت، هسین را نامعین کند. برای انتگرال دوگانه، اگر پادمشتق درونی مقدماتی نیست، انتگرال‌گیری را رها کنید و شروع به رسم کنید: تعویض ترتیب (یا ادغام دو انتگرال داده‌شده که نواحی‌شان یک ناحیهٔ تمیز را می‌پوشانند) مسیر مورد نظر طراح است، و ممکن است ضریب لازم برای تغییر متغیر را تولید کند.

فرمول‌های کلیدی

Gradient and directional derivative

\nabla f=\left(f_{x},f_{y},f_{z}\right),\qquad D_{\mathbf{u}}f=\nabla f\cdot\mathbf{u}=\lVert\nabla f\rVert\cos\theta

Tangent plane and total differential

z=f(a,b)+f_{x}(a,b)(x-a)+f_{y}(a,b)(y-b),\qquad df=f_{x}\,dx+f_{y}\,dy

Chain rule

\frac{df}{dt}=\frac{\partial f}{\partial x}\frac{dx}{dt}+\frac{\partial f}{\partial y}\frac{dy}{dt}

Implicit differentiation

\frac{dy}{dx}=-\frac{F_{x}}{F_{y}},\qquad \frac{\partial z}{\partial x}=-\frac{F_{x}}{F_{z}}

Critical points

\nabla f=\mathbf{0}\iff f_{x}=0,\ f_{y}=0

Second-derivative (Hessian) test

D=f_{xx}f_{yy}-f_{xy}^{\,2};\quad D>0,\ f_{xx}>0\Rightarrow\min;\quad D>0,\ f_{xx}<0\Rightarrow\max;\quad D<0\Rightarrow\text{saddle}

Lagrange multipliers

\nabla f=\lambda\,\nabla g,\qquad g(x,y,z)=0

Fubini / iterated integral over a type-I region

\iint_{R} f\,dA=\int_{a}^{b}\!\!\int_{g_{1}(x)}^{g_{2}(x)} f(x,y)\,dy\,dx

Change of variables (Jacobian)

\iint_{R} f\,dx\,dy=\iint_{S} f\,\lvert J\rvert\,du\,dv,\qquad J=\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}

Polar, cylindrical, spherical elements

dA=r\,dr\,d\theta,\qquad dV=r\,dr\,d\theta\,dz,\qquad dV=\rho^{2}\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta

Centroid and second moment of an area

\bar{x}=\frac{1}{A}\iint_{R} x\,dA,\qquad I_{x}=\iint_{R} y^{2}\,dA

Leibniz rule (differentiation under the integral)

\frac{d}{dt}\int_{a(t)}^{b(t)} f(x,t)\,dx=\int_{a}^{b} \frac{\partial f}{\partial t}\,dx+f(b,t)b'(t)-f(a,t)a'(t)

Coupled implicit derivative system

\begin{pmatrix}F_u&F_v\\G_u&G_v\end{pmatrix}\begin{pmatrix}u_x\\v_x\end{pmatrix}=-\begin{pmatrix}F_x\\G_x\end{pmatrix},\qquad F_uG_v-F_vG_u\ne0

#multivariable#coupled-implicit-functions#partial-derivatives#hessian#lagrange-multipliers#double-integral#jacobian

کارت‌های مرتبط

مفهومریاضی عمومی ۱ و ۲

تکنیک‌ها و کاربردهای انتگرال‌گیری

محاسبهٔ انتگرال با تغییر متغیر، جزء‌به‌جزء و کسرهای جزئی، مشتق‌گیری با قضیهٔ اساسی/لایب‌نیتس، و محاسبهٔ مساحت، حجم دورانی، طول کمان و مساحت رویه در مختصات دکارتی، پارامتری یا قطبی.

integrationsubstitutionintegration-by-partsleibniz-rule

مفهومریاضی عمومی ۱ و ۲

حساب برداری: انتگرال‌های خطی و سطحی، قضایای گرین/استوکس/دیورژانس

گرادیان، دیورژانس و کرل به‌همراه انتگرال‌های خطی و سطحی، که با سه قضیهٔ بنیادی (گرین، استوکس، گاوس) یکپارچه می‌شوند و انتگرال‌های مرزی را به انتگرال‌های ناحیه‌ای تبدیل می‌کنند.

vector-calculusdivergence-theoremstokes-theoremgreens-theorem

سوالات تمرینی · 8/20

ریاضی عمومی ۱ و ۲متوسطحساب توابع چندمتغیرهکنکور ارشد مهندسی مکانیک ۱۴۰۵ — سؤال ۳۳

مقدار ∫_0^1 ∫_0^1 sin(e^y) dy dx + ∫_1^e ∫_(ln x)^1 sin(e^y) dy dx کدام است؟

ریاضی عمومی ۱ و ۲آسانحساب توابع چندمتغیرهکنکور ارشد مهندسی مکانیک ۱۴۰۴ — سؤال ۳۱

درخصوص نقاط اکسترمم تابع f(x,y) = x^3 + y^3 - 3xy ، کدام مورد درست است؟

ریاضی عمومی ۱ و ۲آسانمشتق و کاربردهای آنکنکور ارشد مهندسی مکانیک ۱۴۰۳ — سؤال ۲۸

شعاع استوانهٔ مستدیر قائمی ۳۰ cm است که با سرعت ۲ cm/s افزایش می‌یابد. ارتفاع استوانه ۵۰ cm و با سرعت ۳ cm/s کاهش می‌یابد. مساحت کل این استوانه با چه سرعتی تغییر می‌کند؟

ریاضی عمومی ۱ و ۲متوسطحساب توابع چندمتغیرهکنکور ارشد مهندسی مکانیک ۱۴۰۳ — سؤال ۲۹

تعداد نقاط بحرانی تابع f(x,y)=۴x^۲-۳xy+۲y^۲ به شرط x^۲+y^۲=۱ کدام است؟

ریاضی عمومی ۱ و ۲متوسطحساب توابع چندمتغیرهکنکور ارشد مهندسی مکانیک ۱۴۰۳ — سؤال ۳۱

فرض کنید f(u,v)=uv e^(-(u^۲+v^۲)) . مقدار (∂)/(∂ y)(∫_(-∞)^(sqrt y)∫_(-∞)^(y+۱)f(u,v) du dv) به‌ازای y=۱ ، کدام است؟

ریاضی عمومی ۱ و ۲متوسطحساب توابع چندمتغیرهکنکور ارشد مهندسی مکانیک ۱۴۰۳ — سؤال ۳۲

فرض کنید مشتقات جزئی مرتبهٔ اول تابع f=f(x,y) موجود و پیوسته باشند. اگر lim_(x→۰)frac f(x+e^(-۲x), x+e^۲x)-f(۲x+e^(-x), ۲x+e^x) x =۱ ، آنگاه مقدار f_x(۱,۱) کدام است؟

ریاضی عمومی ۱ و ۲متوسطحساب توابع چندمتغیرهکنکور ارشد مهندسی مکانیک ۱۴۰۳ — سؤال ۳۳

مقدار ∫_(-۱)^۱∫_(lvert yrvert)^۱(x+y)/(۱+x^۶) dx dy ، کدام است؟

ریاضی عمومی ۱ و ۲متوسطحساب برداریکنکور ارشد مهندسی مکانیک ۱۴۰۳ — سؤال ۳۴

حجم ناحیه‌ای از فضا که از پایین به صفحهٔ xy و از بالا به رویهٔ ρ=۱-cosφ ( φ زاویهٔ بین شعاع حامل و محور z در مختصات کروی است) محصور می‌باشد، کدام است؟

همهٔ 20 سؤال →