KonkurStudy
همه کارت‌ها
مفهوممدیریت سرمایه‌گذاری و ریسکمعیارهای ریسک و بازده

مطلوبیت مورد انتظار و نگرش سرمایه‌گذار به ریسک

تفکیک سطح مطلوبیت، مطلوبیت نهایی و انحنای تابع؛ مقایسهٔ ثروت تصادفی با ثروت مورد انتظار و معادل قطعی برای تشخیص ریسک‌گریزی، ریسک‌خنثی‌بودن یا ریسک‌طلبی.

کارت مفهوم کنکور ارشد مدیریت

اهمیت
۰/۵

۱. تعریف و صاحب چارچوب

مطلوبیت ثروت (utility of wealth) ترجیحات سرمایه‌گذار دربارهٔ ثروت نهایی را نشان می‌دهد. در چارچوب مطلوبیت مورد انتظار فون نویمان–مورگنسترن (von Neumann–Morgenstern expected-utility framework)، انتخاب میان ثروت‌های تصادفی با میانگین مطلوبیتِ موزون به احتمال و تحت اصول ترجیحی چارچوب رتبه‌بندی می‌شود. هدف، مطلوبیت مورد انتظار است؛ بیشترین ثروت مورد انتظار خودبه‌خود ملاک نیست. فرض کنید تابع مطلوبیت در دامنهٔ ثروت مورد بررسی مشتق‌پذیر و اکیداً صعودی است: ثروت بیشتر ترجیح دارد.

برای پیامدهای ثروت نهایی با مجموع احتمال برابر یک:

E[W]=∑ipiWi,E[U(W)]=∑ipiU(Wi),∑ipi=1.\mathbb E[W]=\sum_i p_iW_i,\qquad \mathbb E[U(W)]=\sum_i p_iU(W_i),\qquad \sum_i p_i=1.

مطلوبیت مورد انتظار (expected utility) میانگین مطلوبیت در پیامدهای ممکن است. مطلوبیت ثروت مورد انتظار (utility of expected wealth) ابتدا پول را میانگین می‌گیرد و سپس تابع مطلوبیت را اعمال می‌کند. با مطلوبیت غیرخطی، این دو ترتیب عموماً نتایج متفاوتی دارند.

۲. مطلوبیت کل، مطلوبیت نهایی و انحنا

مطلوبیت کل (total utility) سطح مطلوبیت در ثروت معین و مطلوبیت نهایی (marginal utility) شیب آن است. تغییر این شیب، انحنا را مشخص می‌کند:

MU(W)=U′(W)>0,dMU(W)dW=U′′(W).MU(W)=U'(W)>0,\qquad \frac{dMU(W)}{dW}=U''(W).
نگرش به ریسک انحنای مطلوبیت مطلوبیت نهایی با افزایش ثروت مطلوبیت کل مثال متعارف برای ثروت مثبت
ریسک‌گریز (risk-averse) مقعر: U′′(W)<0U''(W)<0 مثبت ولی نزولی صعودی با نرخ کاهنده U(W)=WU(W)=\sqrt W یا U(W)=ln⁡WU(W)=\ln W
ریسک‌خنثی (risk-neutral) خطی: U′′(W)=0U''(W)=0 مثبت و ثابت صعودی با نرخ ثابت U(W)=WU(W)=W
ریسک‌طلب (risk-seeking) محدب: U′′(W)>0U''(W)>0 مثبت و صعودی صعودی با نرخ فزاینده U(W)=W2U(W)=W^2

پس مطلوبیت نهایی نزولی می‌تواند با مطلوبیت کل صعودی همراه باشد. مطلوبیت کل جایی کاهش می‌یابد که مشتق اول آن منفی باشد؛ اما کاهش مطلوبیت نهایی به مشتق دوم مربوط است. صعود مطلوبیت نهایی به معنای نزول مطلوبیت کل نیست.

انحنا را در دامنهٔ پیامدهای مورد بحث طبقه‌بندی کنید. تابع مطلوبیت ممکن است در دامنه‌های مختلف ثروت تغییر انحنا دهد؛ بنابراین مقدار یک مشتق در یک سطح ثروت لزوماً همهٔ ثروت‌های تصادفی را طبقه‌بندی نمی‌کند. ارتفاع مطلق مطلوبیت یا مطلوبیت نهایی مستقیماً تفسیری از ریسک ندارد: تبدیل خطیِ مثبت همراه با ثابت، رتبه‌بندی مطلوبیت مورد انتظار را حفظ می‌کند ولی سطح‌ها و شیب‌ها را تغییر مقیاس می‌دهد.

U~(W)=a+bU(W),b>0.\widetilde U(W)=a+bU(W),\qquad b>0.

۳. قمار منصفانه و مقایسهٔ ینسن

قمار منصفانه (fair gamble) سود مورد انتظار صفر دارد. ثروت قطعی ۱۰۰ را با ثروت نهایی ۶۴ یا ۱۳۶ با احتمال‌های برابر مقایسه کنید؛ ثروت مورد انتظار هر دو ۱۰۰ است. نامساوی ینسن (Jensen's inequality) برای ثروت تصادفی غیرثابت و انحنای اکید، ترجیحات را چنین مقایسه می‌کند:

نگرش مقایسه تصمیم دربارهٔ قمار منصفانه
ریسک‌گریز E[U(W)]<U(E[W])\mathbb E[U(W)]<U(\mathbb E[W]) ثروت مورد انتظار قطعی را ترجیح می‌دهد
ریسک‌خنثی E[U(W)]=U(E[W])\mathbb E[U(W)]=U(\mathbb E[W]) بی‌تفاوت است
ریسک‌طلب E[U(W)]>U(E[W])\mathbb E[U(W)]>U(\mathbb E[W]) ثروت تصادفی را ترجیح می‌دهد

برای تقعر یا تحدب غیراکید، نامساوی‌ها نیز غیراکیدند؛ پیامد قطعی هم برابری ایجاد می‌کند. انحنا ترجیح دربارهٔ پراکندگی با حفظ میانگین را تعیین می‌کند، نه هر جفت سرمایه‌گذاری با ثروت مورد انتظار متفاوت. سرمایه‌گذار ریسک‌گریز می‌تواند سرمایه‌گذاری پرریسک را بپذیرد اگر پاداش مورد انتظار آن جبران کافی فراهم کند.

۴. معادل قطعی، صرف ریسک و مثال حل‌شده

معادل قطعی (certainty equivalent) ثروت نهاییِ قطعی‌ای است که مطلوبیتی برابر با ثروت تصادفی ایجاد می‌کند. برای مطلوبیت صعودی، آن را با معکوس تابع مطلوبیت بیابید. صرف ریسک (risk premium) در اینجا تفاوت ثروت نهایی مورد انتظار و معادل قطعی است:

U(CE)=E[U(W)],CE=U−1(E[U(W)]),π=E[W]−CE.U(CE)=\mathbb E[U(W)],\qquad CE=U^{-1}(\mathbb E[U(W)]),\qquad \pi=\mathbb E[W]-CE.
نگرش معادل قطعی صرف ریسک مبتنی بر مطلوبیت
ریسک‌گریز CE<E[W]CE<\mathbb E[W] π>0\pi>0
ریسک‌خنثی CE=E[W]CE=\mathbb E[W] π=0\pi=0
ریسک‌طلب CE>E[W]CE>\mathbb E[W] π<0\pi<0

همان قمار منصفانه را با ثروت برحسب میلیون ریال و تابع مطلوبیت جذر در نظر بگیرید. پول و مطلوبیت را جداگانه محاسبه کنید:

E[W]=64+1362=100,U(E[W])=100=10,\mathbb E[W]=\frac{64+136}{2}=100,\qquad U(\mathbb E[W])=\sqrt{100}=10, E[U(W)]=64+1362=8+1362≈9.83095<10.\mathbb E[U(W)]=\frac{\sqrt{64}+\sqrt{136}}{2}=\frac{8+\sqrt{136}}{2}\approx9.83095<10.

پیش از تفریق مبالغ پولی، تابع جذر را معکوس کنید:

CE=(8+1362)2≈96.64762,π=100−96.64762≈3.35238.CE=\left(\frac{8+\sqrt{136}}{2}\right)^2\approx96.64762,\qquad \pi=100-96.64762\approx3.35238.

سرمایه‌گذار میان ثروت تصادفی و حدود ۹۶٫۶۴۸ میلیون ریال قطعی بی‌تفاوت است، ولی ۱۰۰ میلیون ریال قطعی را ترجیح می‌دهد. صرف ریسک مبتنی بر مطلوبیت حدود ۳٫۳۵۲ میلیون ریال است. کم‌کردن مطلوبیت مورد انتظار از ثروت مورد انتظار، واحد مطلوبیت و واحد پول را مخلوط می‌کند.

برای مقایسه، مطلوبیت خطی معادل قطعی ۱۰۰ می‌دهد. با مطلوبیت مجذور در این دامنهٔ مثبت ثروت:

E[U(W)]=642+13622=11,296>U(100)=10,000,CE=11,296≈106.28264,π≈−6.28264.\mathbb E[U(W)]=\frac{64^2+136^2}{2}=11{,}296>U(100)=10{,}000,\qquad CE=\sqrt{11{,}296}\approx106.28264,\qquad \pi\approx-6.28264.

همان ثروت تصادفی برای فرد ریسک‌طلب جذاب است، هرچند پیامدها و واریانس آماری آن تغییر نکرده‌اند.

۵. روش کاربرد و تمایز مفاهیم

۱. ثروت اولیه و نهایی را سازگار تعریف کنید؛ تابع مطلوبیت را بر ثروت نهایی اعمال کنید، نه صرفاً بر بازده درصدی، مگر اینکه تابع از ابتدا بر آن تعریف شده باشد. ۲. از علامت مطلوبیت نهایی، ترجیح ثروت بیشتر را تشخیص دهید؛ سپس تغییر آن را برای طبقه‌بندی انحنا بخوانید. ۳. در ثروت تصادفی، مطلوبیت هر پیامد را با احتمال آن وزن دهید. نتیجه را با مطلوبیت ثروت قطعی در دسترس یا مطلوبیت مورد انتظار سرمایه‌گذاری دیگر مقایسه کنید. ۴. برای معادل قطعی، ابتدا تابع مطلوبیت را معکوس کنید؛ صرف ریسک را با همان واحد پولیِ ثروت بیان کنید.

مفاهیم مشابه تمایز صحیح ملاک تشخیص
مطلوبیت نهایی در برابر تغییر آن U′(W)U'(W) شیب است؛ U′′(W)U''(W) افزایش یا کاهش شیب را نشان می‌دهد با مطلوبیت صعودی، نگرش به ریسک به انحنا وابسته است، نه اندازهٔ شیب
مطلوبیت نهایی نزولی در برابر مطلوبیت کل نزولی U′′(W)<0U''(W)<0 در برابر U′(W)<0U'(W)<0 افزایش‌های مثبت ولی کاهنده همچنان مطلوبیت کل را افزایش می‌دهند
ترجیح در برابر ریسک آماری انحنا ویژگی سرمایه‌گذار است؛ واریانس ویژگی توزیع دو سرمایه‌گذار ممکن است واریانس یکسان را متفاوت رتبه‌بندی کنند؛ کارت‌های معیارهای ریسک و بازده و نظریهٔ پرتفوی را ببینید
مطلوبیت مورد انتظار در برابر مطلوبیت ثروت مورد انتظار E[U(W)]\mathbb E[U(W)] در برابر U(E[W])U(\mathbb E[W]) میانگین‌گیری پس از اعمال مطلوبیت در برابر پیش از آن
صرف ریسک مطلوبیتی در برابر صرف بازده بازار فاصلهٔ پولی ثروت مورد انتظار و معادل قطعی در برابر اختلاف بازده مورد انتظار مبلغ پولی مستقیماً بازده درصدی یا صرف ریسک CAPM نیست
مطلوبیت ثروت در برابر مطلوبیت نهایی مصرف‌کننده ترجیحات نسبت به پول تصادفی در برابر رضایت از کالاها برای مصرف، بودجه و اشباع، کارت انتخاب مصرف‌کننده را ببینید

نکتهٔ کنکوری: با مطلوبیت صعودی، مطلوبیت نهایی نزولی / ثابت / صعودی به‌ترتیب نشان‌دهندهٔ ریسک‌گریزی / ریسک‌خنثی‌بودن / ریسک‌طلبی است. تغییر شیب را بخوانید، نه ارتفاع آن را؛ ریسک‌طلبی به معنای نزولی‌بودن مطلوبیت کل یا لزوم انتخاب سرمایه‌گذاری با بیشترین واریانس نیست.

فرمول‌های کلیدی

Expected wealth and expected utility
E[W]=∑ipiWi,E[U(W)]=∑ipiU(Wi)\mathbb E[W]=\sum_i p_iW_i,\qquad \mathbb E[U(W)]=\sum_i p_iU(W_i)
Marginal utility and its change
MU(W)=U′(W),dMU(W)dW=U′′(W)MU(W)=U\prime(W),\qquad \frac{dMU(W)}{dW}=U\prime\prime(W)
Certainty equivalent
CE=U−1(E[U(W)])CE=U^{-1}(\mathbb E[U(W)])
Utility-based risk premium in wealth units
π=E[W]−CE\pi=\mathbb E[W]-CE
Jensen comparison for concave utility
E[U(W)]≤U(E[W])\mathbb E[U(W)]\le U(\mathbb E[W])
#expected-utility#risk-attitudes#marginal-utility#utility-curvature#certainty-equivalent#risk-premium#jensen-inequality

کارت‌های مرتبط

فرمولمدیریت سرمایه‌گذاری و ریسک
سنجه‌های ریسک و بازده

جعبه‌ابزار کامل اندازه‌گیری در سرمایه‌گذاری میانگین‑واریانس — بازده دورهٔ نگهداری، میانگین حسابی و هندسی، واریانس، انحراف معیار، ضریب تغییرات و نیم‌واریانس، قاعدهٔ جذر زمان برای سالانه‌کردن، چولگی در برابر کشیدگی، و نسبت‌های شارپ/سورتینو/ترینر که یکی را بر دیگری تقسیم می‌کنند.

risk-returnvolatilityannualizationsemivariance
مفهوممدیریت سرمایه‌گذاری و ریسک
نظریهٔ پرتفوی، تنوع‌بخشی و بازده فروش استقراضی

گشتاورهای پرتفوی، همبستگی، حداقل واریانس، مرز کارا و خط بازار سرمایه؛ همراه با جریان‌های نقدی فروش استقراضی سهم و بازده نسبت به سرمایهٔ شخصیِ سپرده‌شده.

portfolio-theorydiversificationcorrelationminimum-variance-portfolio
مفهوماقتصاد خرد و کلان
مطلوبیت، انتخاب مصرف‌کننده و کالای گیفن

نقطهٔ اشباع را از بهینهٔ مقید به بودجه جدا کنید؛ سپس با تجزیهٔ تغییر قیمت به اثر جانشینی و درآمدی، تقاضای کالای عادی، پست و گیفن را تشخیص دهید.

consumer-choicemarginal-utilitysatiationindifference-curves

سوالات تمرینی

مدیریت سرمایه‌گذاری و ریسکآسانمعیارهای ریسک و بازدهکنکور ارشد مدیریت ۱۴۰۲ — سؤال ۱۹۶

اگر مطلوبیت نهایی سرمایه‌گذار با افزایش ثروت وی افزایش یابد، کدام موارد زیر درخصوص این سرمایه‌گذار، درست است؟ الف – ریسک‌گریز است. ب – ریسک‌طلب است. ج – تابع مطلوبیت نهایی وی صعودی است. د – تابع…

مدیریت سرمایه‌گذاری و ریسکمتوسطمعیارهای ریسک و بازدهکنکور ارشد مدیریت ۱۴۰۰ — سؤال ۲۱۳

اگر معادل قطعی (Certainty Equivalent) جریان‌های نقدی یک پروژه دو ساله، در سال‌های اول و دوم ۶۶۰ و ۹۶۸ باشد، با فرض آن‌که بتای پروژه ۱/۵، صرف ریسک بازار ۲۰ درصد و نرخ سود بدون ریسک ۱۰ درصد باشد، ارزش…