مفهوممدیریت سرمایه‌گذاری و ریسک نظریهٔ پرتفوی و تنوع‌بخشی

نظریهٔ پرتفوی، تنوع‌بخشی و بازده فروش استقراضی

گشتاورهای پرتفوی، همبستگی، حداقل واریانس، مرز کارا و خط بازار سرمایه؛ همراه با جریان‌های نقدی فروش استقراضی سهم و بازده نسبت به سرمایهٔ شخصیِ سپرده‌شده.

کارت مفهوم کنکور ارشد مدیریت

اهمیت

۰/۵

نظریهٔ پرتفوی (portfolio theory) — یا دقیق‌تر نظریهٔ میانگین–واریانس (mean–variance theory) — چارچوبی است که در آن سرمایه‌گذار هر اوراق بهادار را فقط بر پایهٔ اثری که بر کل پرتفوی می‌گذارد ارزیابی می‌کند، نه هرگز به‌تنهایی. هر دارایی با دو عدد خلاصه می‌شود، بازده مورد انتظار (expected return) آن $E(R_i)$ و واریانس / انحراف معیار (variance / standard deviation) آن $\sigma_i^{2},\ \sigma_i$ ، و هر زوج دارایی با عدد سومی، یعنی کوواریانس / ضریب همبستگی (covariance / correlation coefficient) آن‌ها $\sigma_{ij}=\rho_{ij}\sigma_i\sigma_j$ . برای دو دارایی پرریسک با وزن مثبت که هم‌گام حرکت نمی‌کنند ( $\rho<1$ )، ریسک ترکیب کمتر از میانگین وزنی انحراف معیارهای تک‌تک دارایی‌هاست — این همان تنوع‌بخشی (diversification) است و تنها «ناهار مجانی» این نظریه به شمار می‌رود. اگر همهٔ ترکیب‌های دست‌یافتنی را در فضای $(\sigma_p,\,E(R_p))$ رسم کنیم، مجموعهٔ شدنیِ گلوله‌شکلی به دست می‌آید که مرز بالا-چپ آن — یعنی پرتفوی‌هایی که برای هر سطح ریسک بیشترین بازده مورد انتظار را می‌دهند — مرز کارا (efficient frontier) نام دارد. بقیهٔ مطالب این کارت نتیجهٔ همین تعاریف است.

۱. خاستگاه — سرچشمه و مسئله‌ای که حل کرد

منبع	سهم
هری مارکویتز (Harry Markowitz)، Portfolio Selection، Journal of Finance، ۱۹۵۲ (که در کتاب Portfolio Selection: Efficient Diversification of Investments، ۱۹۵۹ بسط یافت)	خودِ مدل میانگین–واریانس: مجموعهٔ کارا، نقش کوواریانس، و قاعدهٔ E–V (ارزش انتظاری–واریانس). جایزهٔ نوبل اقتصاد ۱۹۹۰، مشترک با مرتون میلر و ویلیام شارپ.
جیمز توبین (James Tobin)، ۱۹۵۸ (رجحان نقدینگی به‌مثابهٔ رفتار در برابر ریسک)	افزودن دارایی بدون ریسک (risk-free asset) انتخاب را به دو گام فرو می‌کاهد — قضیهٔ تفکیک (separation theorem).
ویلیام اف. شارپ (William F. Sharpe) (۱۹۶۴) و مستقلاً جان لینتنر (۱۹۶۵) و یان موسین (۱۹۶۶)	تبدیل مرز کارا به یک نظریهٔ تعادلی: خط بازار سرمایه (Capital Market Line) و CAPM. شارپ همچنین نسبت پاداش به نوسان‌پذیری را معرفی کرد که امروز نسبت شارپ (Sharpe ratio) خوانده می‌شود.

مسئله‌ای که برای حل آن ابداع شد. پیش از ۱۹۵۲ توصیهٔ غالب این بود که هر ورقهٔ بهادار به‌تنهایی ارزش‌گذاری شود (تنزیل سودهای نقدی آتی) و آن‌هایی خریداری شوند که بیشترین بازده مورد انتظار را دارند — توصیه‌ای که اگر تحت‌اللفظی گرفته شود به سرمایه‌گذار می‌گوید تمام پول را در تک‌سهم برتر بگذارد، کاری که هیچ فعال حرفه‌ای هرگز نکرد. سهم مارکویتز این بود که توضیح داد چرا فعالان بازار تنوع‌بخشی می‌کنند و آن را قابل محاسبه ساخت: ریسک جمع‌پذیر نیست، پس ریسک مربوطهٔ یک دارایی نه واریانس خودش، بلکه سهم آن در واریانس پرتفوی است، یعنی کوواریانس آن با هر آنچه از پیش نگهداری می‌شود. دارایی‌ای با انحراف معیار بسیار بزرگ می‌تواند ریسک پرتفوی را کاهش دهد، اگر به‌قدر کافی با بقیه ناهمبسته باشد.

۲. ساختار — خودِ ساختار

۲.۱ دو گشتاور یک پرتفوی

برای وزن‌های $w_i$ (با $\sum_i w_i = 1$ ؛ $w_i<0$ به معنای فروش استقراضی / short position است):

E(R_p)=\sum_{i=1}^{n} w_i\,E(R_i) \qquad\qquad \sigma_p^{2}=\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n} w_i w_j \sigma_{ij} =\sum_{i=1}^{n} w_i^{2}\sigma_i^{2}+\sum_{i\ne j} w_i w_j \rho_{ij}\sigma_i\sigma_j

عدم‌تقارن میان این دو سطر همان نظریه است:

کمیت	رفتار هنگام ترکیب	پیامد
بازده مورد انتظار (expected return)	اکیداً خطی — یک میانگین وزنی ساده	ترکیب‌کردن هرگز نمی‌تواند بازده بیافریند
ریسک (واریانس / انحراف معیار)	غیرخطی؛ دارای $n(n-1)$ جملهٔ کوواریانس	ترکیب‌کردن می‌تواند ریسک را از بین ببرد و معمولاً می‌برد

برای دو دارایی $A$ و $B$ با $w_B=1-w_A$ ، این همان فرمولی است که هر پرسش کنکوری از آن آغاز می‌شود:

\sigma_p^{2}=w_A^{2}\sigma_A^{2}+w_B^{2}\sigma_B^{2}+2\,w_A w_B\,\rho_{AB}\,\sigma_A\sigma_B

انضباط واحدها: $\sigma^{2}$ و $\sigma$ هرگز قابل‌تعویض نیستند. صورت سؤالی که می‌گوید «واریانس برابر یک درصد» یعنی $0.01$ ، و در نتیجه $\sigma=\sqrt{0.01}=0.10=10\%$ — برای عددی بین صفر و یک، جذر بزرگ‌تر از خود عدد است.

۲.۲ همبستگی با یک پرتفوی دو‌دارایی چه می‌کند

همبستگی کران‌دار است، $-1\le\rho_{AB}\le +1$ ، و با ثابت‌بودن میانگین‌ها و نوسان‌پذیری‌های فردی، شکل منحنی واصل $A$ و $B$ را تعیین می‌کند. جدول زیر وزن‌های نامنفی را فرض می‌کند:

$\rho_{AB}$	$\sigma_p$	شکل در فضای $(\sigma,E)$	منفعت تنوع‌بخشی
$+1$	$w_A\sigma_A+w_B\sigma_B$	خط راست واصل دو دارایی	هیچ — ریسک یک میانگین وزنی است
$0$	$\sqrt{w_A^{2}\sigma_A^{2}+w_B^{2}\sigma_B^{2}}$	منحنی، تحدب به سمت چپ	چشمگیر
$-1$	$\lvert w_A\sigma_A-w_B\sigma_B\rvert$	دو پاره‌خط راست که به محور عمودی می‌رسند	بیشینه — ترکیبی کاملاً بدون ریسک وجود دارد
$-1<\rho<1$	میان دو حالت حدی	کمان هذلولوی با تحدب به چپ	با کاهش $\rho$ بزرگ‌تر می‌شود

برای وزن‌های نامنفی و گشتاورهای فردیِ ثابت، همبستگی کمتر یعنی خمیدگی بیشتر به چپ. کاهش همبستگی‌های زوجی ریسک دست‌یافتنیِ این ترکیب‌های با وزن ثابت را بدتر نمی‌کند، مشروط به معتبرماندن ماتریس کوواریانس. با علامت مخالف موقعیت‌ها، علامت جملهٔ متقاطع برعکس می‌شود و این قاعدهٔ یکنواخت برقرار نیست. در $\rho=-1$ ترکیب بدون ریسک عبارت است از

w_A=\frac{\sigma_B}{\sigma_A+\sigma_B},\qquad \sigma_p=0

با همبستگی مثبت کامل، نتیجهٔ عمومیِ جذر عبارت است از

\rho_{AB}=1\quad\Rightarrow\quad\sigma_p=\lvert w_A\sigma_A+w_B\sigma_B\rvert

برای وزن‌های نامنفی، این رابطه به میانگین وزنیِ جدول تبدیل می‌شود؛ فقط با وزن‌های برابر، میانگین ساده است. برای مثال، وزن‌های ۰٫۲۵ و ۰٫۷۵ با نوسان‌پذیری‌های ۳۰ و ۱۰ درصد می‌دهند

\sigma_p=0.25(30\%)+0.75(10\%)=15\%

موقعیت فروش استقراضی می‌تواند عبارت درون قدرمطلق را منفی کند. قاعدهٔ میانگین وزنیِ بدون فروش استقراضی را به وزن‌های علامت‌دارِ نامقید تعمیم ندهید.

۲.۳ پرتفوی حداقل واریانس (minimum-variance portfolio)

کمینه‌سازی $\sigma_p^{2}$ نسبت به $w_A$ چپ‌ترین نقطهٔ دست‌یافتنی، یعنی پرتفوی حداقل واریانس سراسری (global minimum-variance portfolio, GMVP) را می‌دهد:

w_A^{*}=\frac{\sigma_B^{2}-\rho_{AB}\sigma_A\sigma_B}{\sigma_A^{2}+\sigma_B^{2}-2\rho_{AB}\sigma_A\sigma_B}

فرمول، مخرج مثبت و وزن‌های نامقید را فرض می‌کند. با ممنوع‌بودن فروش استقراضی، وزن محاسبه‌شده را به بازهٔ صفر تا یک محدود کنید. سه حالت خاص مفیدند؛ استنباط وارونهٔ همبستگی از وزن‌های آن‌ها مستلزم نوسان‌پذیری‌های مثبت و نابرابر است:

همبستگی	وزن‌های GMVP	نشانه
$\rho=0$	$w_A^{*}=\dfrac{\sigma_B^{2}}{\sigma_A^{2}+\sigma_B^{2}}$	وزن‌ها نسبت عکس با واریانس‌ها دارند
$\rho=-1$	$w_A^{*}=\dfrac{\sigma_B}{\sigma_A+\sigma_B}$ ، و $\sigma_p=0$	وزن‌ها نسبت عکس با انحراف معیارها دارند؛ پرتفوی بدون ریسک است
$\rho=+1$	$w_A^{*}=\dfrac{\sigma_B}{\sigma_B-\sigma_A}$	مستلزم فروش استقراضی دارایی پرریسک‌تر است؛ پرتفوی باز هم بدون ریسک است

توجه کنید GMVP به چه چیزی وابسته نیست: بازده‌های مورد انتظار. این یک شیء صرفاً مبتنی بر گشتاور دوم است، پس هیچ حجمی از اطلاعات دربارهٔ $E(R)$ نمی‌تواند آن را مکان‌یابی کند، در مقابل، وزن‌های GMVP و انحراف معیارهای مثبت و نابرابر می‌توانند در مدل نامقید، $\rho$ را مشخص کنند. با نوسان‌پذیری‌های برابر، وزن‌های برابر برای هر همبستگی کمتر از یک واریانس را کمینه می‌کنند؛ پس همبستگی را تعیین نمی‌کنند. با نوسان‌پذیری‌های برابر و همبستگی مثبت کامل، هر ترکیب با مجموع وزن یک، واریانس یکسان دارد و فرمول وزن بالا تعریف‌نشده است.

۲.۴ چرا تنوع‌بخشی از کار می‌افتد — ریسک سیستماتیک

با $n$ دارایی هم‌وزن، واریانس میانگین $\bar{\sigma}^{2}$ و کوواریانس میانگین $\overline{\sigma_{ij}}$ :

\sigma_p^{2}=\frac{1}{n}\,\bar{\sigma}^{2}+\left(1-\frac{1}{n}\right)\overline{\sigma_{ij}} \qquad\xrightarrow[\ n\to\infty\ ]{}\qquad \sigma_p^{2}\to\overline{\sigma_{ij}}

جملهٔ واریانس خودی با نرخ $1/n$ می‌میرد؛ جملهٔ کوواریانس اصلاً نمی‌میرد. از این‌جا تفکیک استاندارد به دست می‌آید:

مؤلفه	فارسی	نام‌های دیگر	با تنوع‌بخشی حذف‌شدنی است؟
غیرسیستماتیک (Unsystematic)	ریسک غیرسیستماتیک	ریسک خاص شرکت، قابل‌حذف، unique/idiosyncratic/diversifiable	بله — با بزرگ‌شدن $n$ محو می‌شود
سیستماتیک (Systematic)	ریسک سیستماتیک	ریسک بازار، غیرقابل‌حذف، market/undiversifiable	خیر — همان کوواریانس میانگین، یعنی بازار است

بیشترِ منفعت زود به دست می‌آید (منحنی $\sigma_p$ برحسب $n$ ابتدا به‌تندی افت می‌کند و سپس مسطح می‌شود)، و به همین دلیل «پرتفوی خوب متنوع‌شده» یعنی تعداد معتدلی دارایی واقعاً متفاوت، نه هزاران دارایی مشابه.

۲.۵ مرز کارا (efficient frontier)

برای هر بازده هدفِ دست‌یافتنی، این مسئله را حل کنید

\min_{w}\ \ \sigma_p^{2}=w^{\mathsf{T}}\Sigma\,w \qquad \text{s.t.}\qquad w^{\mathsf{T}}E(R)=\bar{R},\quad \sum_i w_i=1

با ماتریس کوواریانسِ غیرتکین، وزن‌های نامقید و بازده‌های مورد انتظارِ غیرتباهیده، جواب‌ها مرز حداقل واریانس (minimum-variance frontier) را رسم می‌کنند، هذلولی‌ای که چپ‌ترین نقطه‌اش GMVP است. GMVP این منحنی را به دو بخش می‌بُرد:

شاخه	موقعیت نسبت به GMVP	وضعیت
شاخهٔ بالایی	راست و بالای GMVP	کارا (efficient) — هیچ‌چیز بر آن چیره نیست
شاخهٔ پایینی	راست ولی پایین GMVP	ناکارا (inefficient) — مغلوب: همان $\sigma_p$ ، با $E(R_p)$ کمتر

تنها شاخهٔ بالایی مرز کارا است. هر نقطه روی آن دو توصیف هم‌ارز را برآورده می‌کند — بیشترین بازده مورد انتظار برای سطح ریسک خود و کمترین ریسک برای سطح بازده مورد انتظار خود — و اگر آن را نهایی (مارجینال) بخوانیم، شیب $\mathrm{d}E(R_p)/\mathrm{d}\sigma_p$ بهترین بازده مورد انتظاری است که مجموعهٔ شدنی می‌تواند با یک واحد ریسک اضافی بخرد. مرز کارا مقعر است (این شیب با حرکت به راست کاهش می‌یابد): ریسک اضافی با قیمتی روزبه‌روز بدتر خریده می‌شود، و هر دارایی منفرد درون مرز یا روی آن قرار می‌گیرد، هرگز بیرون آن.

۲.۶ افزودن دارایی بدون ریسک: CAL، CML و تفکیک

انتخاب میانگین–واریانس، مجموعهٔ فرصت سرمایه‌گذاری مشترک و وام‌دهی/وام‌گیری بدون اصطکاک با نرخ بدون ریسکِ یکسان را فرض کنید. این‌ها فرض‌های مدل‌اند، نه شرایط تضمین‌شدهٔ حساب واقعی. فرض کنید $R_f$ بدون ریسک باشد، پس $\sigma_f=0$ و $\mathrm{Cov}(R_f,R_i)=0$ . با ترکیب $R_f$ با هر پرتفوی پرریسک $P$ به وزن نامنفیِ $w$ در $P$ (برای وزن منفی، نوسان‌پذیری از قدرمطلق وزن استفاده می‌کند):

E(R_c)=R_f+w\,\bigl[E(R_P)-R_f\bigr],\qquad \sigma_c=w\,\sigma_P \qquad\Longrightarrow\qquad E(R_c)=R_f+\frac{E(R_P)-R_f}{\sigma_P}\;\sigma_c

این یک خط راست است — خط تخصیص سرمایه (Capital Allocation Line, CAL) — که شیبش نسبت شارپ پرتفوی $P$ است. با چرخاندن آن به سمت بالا تا جایی که فقط مرز کارا را مماس کند، پرتفوی مماس (tangency portfolio) یکتا انتخاب می‌شود، یعنی پرتفویی با بیشترین نسبت شارپ ممکن؛ در تعادل بازار این همان پرتفوی بازار (market portfolio) $M$ است و آن خط به خط بازار سرمایه (Capital Market Line, CML) بدل می‌شود:

E(R_p)=R_f+\frac{E(R_M)-R_f}{\sigma_M}\,\sigma_p

قضیهٔ تفکیک توبین (Tobin's separation theorem): هر سرمایه‌گذار همان پرتفوی پرریسک $M$ را نگه می‌دارد و ترجیح ریسکی فقط بر این اثر می‌گذارد که چه مقدار در $R_f$ در برابر $M$ گذاشته شود. چون $\sigma_p=w\,\sigma_M$ ، موقعیت را مستقیماً از روی انحراف معیار می‌خوانیم، $w=\sigma_p/\sigma_M$ :

$w$	$\sigma_p$ در برابر $\sigma_M$	فارسی	معنا
$w=0$	$\sigma_p=0$	دارایی بدون ریسک	همه‌چیز با نرخ $R_f$ وام داده شده
$0<w<1$	$\sigma_p<\sigma_M$	سبد وام‌دهنده (lending portfolio)	بخشی از ثروت با نرخ $R_f$ وام داده شده
$w=1$	$\sigma_p=\sigma_M$	سبد بازار	دقیقاً همان پرتفوی بازار
$w>1$	$\sigma_p>\sigma_M$	سبد اهرمی / وام‌گیرنده (leveraged / borrowing portfolio)	با نرخ $R_f$ قرض می‌گیرد و بیش از $100\%$ ثروت را در $M$ سرمایه‌گذاری می‌کند

همین‌که $R_f$ وجود داشته باشد، CML در همه‌جا جز همان تک‌نقطهٔ مماس بر مرز قدیمی مارکویتز چیره می‌شود، پس مجموعهٔ کارا به‌جای منحنی، همان خط راست خواهد بود.

۲.۷ موقعیت منفی در سهم: جریان نقدی و بازده سرمایهٔ شخصی

فروش استقراضی سهم (short selling stock) یعنی قرض‌گرفتن سهم، فروش آن و خرید سهم در آینده برای بازگرداندن به قرض‌دهنده. وزن منفیِ پرتفوی، مواجهه با ریسک را توصیف می‌کند؛ حساب کارگزاری جریان‌های نقدیِ وثیقه و تأمین مالی نیز دارد. پیش از تعیین بازده دورهٔ نگهداری، این جریان‌ها را محاسبه کنید.

فرض کنید $N$ سهم در قیمت $S_0$ فروخته و در قیمت $S_T$ بازخرید شود. $D$ کل سود نقدی هر سهم در دورهٔ نگهداری، $m$ نسبت ودیعهٔ اولیه، $M$ سپردهٔ شخصی سرمایه‌گذار، $i_M$ نرخ سود مؤثر دورهٔ نگهداریِ منظورشده بر آن سپرده، $I_s$ سود یا اعتبارِ صریحاً منظورشده بر حاصل فروش و $F$ کل کارمزدها و هزینه‌های استقراضِ بیان‌شده است.

قلم حساب	مبلغ	معنای اقتصادی
حاصل فروش سهم قرض‌گرفته‌شده	$NS_0$	به حساب منظور می‌شود؛ فرض می‌کنیم به‌عنوان وثیقه محدود است، نه سرمایهٔ اولیهٔ شخصی
ودیعهٔ شخصی	$M=mNS_0$	پولی که سرمایه‌گذار می‌سپارد؛ با این فرض‌ها مخرج بازده است
سود سپردهٔ شخصی	$i_M M$	فقط اگر شرایط حساب صریحاً آن را منظور کند، درآمد است
سود یا اعتبار حاصل فروش	$I_s$	فقط با تصریح وارد محاسبه می‌شود؛ در غیر این صورت صفر فرض می‌شود
جبران سود نقدی	$ND$	به قرض‌دهندهٔ سهم پرداخت و کسر می‌شود
بازخرید سهم	$NS_T$	هزینهٔ خرید سهم جایگزین برای بستن موقعیت استقراضی
کارمزد و هزینهٔ استقراض	$F$	همهٔ هزینه‌های معاملاتی، قرض‌گیری و سایر مبالغ تصریح‌شده کسر می‌شوند

یک دورهٔ نگهداری، نبود سپرده یا برداشت اضافی، نبود سودی جز موارد بیان‌شده و منظورشدن همهٔ درآمدها/هزینه‌ها در تسویهٔ حساب را فرض کنید. وجه منظورشده در ابتدا و حقوق خالص پس از تسویه عبارت‌اند از

C_0=NS_0+M,\qquad E_T=NS_0+M+i_M M+I_s-NS_T-ND-F

بازگرداندن سهمِ قرض‌گرفته‌شده تعهد سهم را تسویه می‌کند. بازیافت $M$ بازگشت اصل سرمایه است، نه سود:

\Pi=E_T-M=N(S_0-S_T)-ND+i_M M+I_s-F

R_{\text{short}}=\frac{\Pi}{M}=\frac{N(S_0-S_T)-ND+i_M M+I_s-F}{mNS_0}

روش: سرمایهٔ شخصی را حساب کنید؛ سود کاهش قیمت را به دست آورید؛ جبران سود نقدی و هزینه‌ها را کم کنید؛ فقط سود منظورشده را بیفزایید؛ بر سرمایهٔ شخصی تقسیم کنید. نرخ سالانهٔ اعلام‌شده را مطابق قرارداد مرکب‌سازی به دورهٔ واقعی نگهداری تبدیل کنید. حاصل فروش در ابتدا درآمد کسب‌شده نیست و سودآوربودن سپرده، فرض صریح حساب است، نه ویژگی همگانیِ فروش استقراضی.

با افزایش قیمت بازخرید، جزء قیمتی به زیان تبدیل می‌شود. بیشترین سود قیمتیِ ناخالص هنگامی است که قیمت سهم به صفر برسد؛ زیان افزایش قیمت از نظر نظری سقف ندارد. مطالبهٔ وجه برای حفظ حداقل تضمین می‌تواند پیش از بستن موقعیت، پول اضافی بخواهد. با سپرده‌های بعدی، بازخریدهای جزئی یا برداشت‌ها، زمان جریان‌ها را ثبت و معیار بازده سازگار با آن‌ها را به کار ببرید؛ فرمول تک‌سپردهٔ بالا دیگر کل سابقهٔ تأمین وجه را توصیف نمی‌کند.

۳. کاربرد — چگونه به کار بسته می‌شود

۱. برآورد ورودی‌ها. $n$ بازده مورد انتظار، $n$ واریانس و $n(n-1)/2$ کوواریانس متمایز — همین تعداد ورودی، ایراد عملی وارد بر مدل و دلیل وجود ساده‌سازی‌های مدل شاخص است. ۲. اعمال قاعدهٔ چیرگی (dominance rule). $X$ بر $Y$ چیره است اگر $E(R_X)\ge E(R_Y)$ و $\sigma_X\le\sigma_Y$ باشد و دست‌کم یکی اکید باشد. هر پرتفوی مغلوب کنار گذاشته می‌شود؛ آنچه باقی می‌ماند مجموعهٔ کارا است. دو پرتفویی که یکی هم بازده بالاتر و هم ریسک بالاتر دارد، بدون ترجیحات قابل مقایسه نیستند. ۳. مکان‌یابی GMVP و نگه‌داشتن فقط شاخهٔ بالای آن. ۴. انتخاب یک نقطه بر پایهٔ ریسک‌گریزی. یک صورت‌بندی رایج در کتاب‌های درسی، پرتفوی‌ها را با $U=E(R_p)-\tfrac{1}{2}A\,\sigma_p^{2}$ امتیازدهی می‌کند، که در آن $A$ ضریب ریسک‌گریزی است؛ بهینه جایی است که منحنی بی‌تفاوتی سرمایه‌گذار بر مرز کارا مماس شود. سرمایه‌گذار ریسک‌گریزتر ( $A$ بزرگ‌تر، منحنی‌های تندتر) نزدیک‌تر به GMVP می‌نشیند. ۵. اگر دارایی بدون ریسک وجود داشته باشد، گام‌های ۳ و ۴ را جایگزین کنید: نخست پرتفوی مماس با بیشینه‌شارپ را بیابید (این گام اصلاً از ترجیحات استفاده نمی‌کند)، سپس $w=\sigma_{\text{target}}/\sigma_M$ را تعیین کنید — کمتر از ۱ برای وام‌دهی، بیشتر از ۱ برای اهرم.

۴. مثال — یک نمونهٔ کوچک حل‌شده

دو دارایی پرریسک و ناهمبسته ( $\rho_{AB}=0$ ). بازده‌ها و انحراف معیارهای زیر بر حسب واحد درصد و واریانس‌ها بر حسب مجذور واحد درصدند؛ بنابراین ۹۰۰ و ۱۰۰ با واریانس‌های اعشاری ۰٫۰۹ و ۰٫۰۱ متناظرند:

دارایی	$E(R)$	$\sigma$	$\sigma^{2}$
$A$	$20\%$	$30\%$	$900$
$B$	$12\%$	$10\%$	$100$

گام ۱ — یک ترکیب دلخواه، $w_A=0.5$ .

E(R_p)=0.5(20)+0.5(12)=16\%

\sigma_p^{2}=0.25(900)+0.25(100)+0=250 \quad\Longrightarrow\quad \sigma_p=\sqrt{250}=15.81\%

میانگین وزنی انحراف معیارها $0.5(30)+0.5(10)=20\%$ می‌شد؛ مقدار واقعی $15.81\%$ همان منفعت تنوع‌بخشی است.

گام ۲ — GMVP. با $\rho=0$ قاعدهٔ عکسِ واریانس برقرار است:

w_A^{*}=\frac{\sigma_B^{2}}{\sigma_A^{2}+\sigma_B^{2}}=\frac{100}{900+100}=0.10,\qquad w_B^{*}=0.90

E(R_p)=0.10(20)+0.90(12)=12.8\%,\qquad \sigma_p^{2}=0.01(900)+0.81(100)=90 \Rightarrow \sigma_p=9.49\%

به آنچه رخ داد توجه کنید: GMVP هم بازده مورد انتظار بیشتری از $B$ دارد ( $12.8\%>12\%$ ) و هم ریسک کمتری ( $9.49\%<10\%$ ). پس دارایی $B$ به‌تنهایی مغلوب است — روی شاخهٔ پایینی و ناکارا می‌نشیند و هیچ سرمایه‌گذاری نباید آن را به‌تنهایی نگه دارد.

گام ۳ — وارد کردن $R_f=6\%$ و یافتن پرتفوی مماس. با بیشینه‌سازی نسبت شارپ نسبت به $w_A$ (با $\rho=0$ وزن‌های بهینه متناسب با $(E(R_i)-R_f)/\sigma_i^{2}$ هستند):

\frac{20-6}{900}=0.01556,\qquad \frac{12-6}{100}=0.06,\qquad w_A=\frac{0.01556}{0.01556+0.06}=0.206,\quad w_B=0.794

E(R_M)=0.206(20)+0.794(12)=13.65\%,\qquad \sigma_M^{2}=0.0424(900)+0.630(100)=101.2 \Rightarrow \sigma_M=10.06\%

S=\frac{13.65-6}{10.06}=0.76 \quad>\quad \frac{12.8-6}{9.49}=0.72\ \text{(GMVP)}\quad>\quad \frac{16-6}{15.81}=0.63\ \text{(the 50/50 mix)}

پرتفوی مماس از نظر نسبت شارپ برنده است — اما توجه کنید که کم‌ریسک‌ترین پرتفوی نیست؛ ریسکی بیش از GMVP دارد و به‌خاطر شیبی که می‌دهد انتخاب می‌شود، نه به‌خاطر ریسکی که از آن پرهیز می‌کند.

گام ۴ — خواندن موقعیت‌ها از روی CML، $E(R_p)=6+0.76\,\sigma_p$ :

پرتفوی	$\sigma_p$	$w=\sigma_p/\sigma_M$	$E(R_p)$	موقعیت
فقط $R_f$	$0$	$0$	$6\%$	بدون ریسک
نصف-نصف با $M$	$5.03\%$	$0.5$	$9.82\%$	وام‌دهنده
خودِ $M$	$10.06\%$	$1$	$13.65\%$	مماس / بازار
اهرمی	$15.09\%$	$1.5$	$17.47\%$	اهرمی — $50\%$ ثروت را با نرخ $6\%$ قرض می‌گیرد

در پایان، دارایی $A$ را به‌تنهایی مقایسه کنید: در $\sigma=30\%$ ، خط CML بازده $6+0.76(30)=28.8\%$ عرضه می‌کند، حال آن‌که $A$ تنها $20\%$ می‌دهد. تک‌سهم راهی به‌طرز چشمگیری ناکارا برای خریدن ریسک است.

مثال کاملِ فروش استقراضی سهم

سرمایه‌گذار ۸۰ سهم را به قیمت ۲۵۰ واحد می‌فروشد و در ۲۱۰ واحد بازخرید می‌کند. ودیعهٔ شخصی ۵۰ درصد حاصل فروش است و در دورهٔ نگهداریِ بیان‌شده ۶ درصد سود می‌گیرد؛ به حاصل فروشِ محدودشده سودی تعلق نمی‌گیرد. سود نقدی هر سهم ۳ واحد و کل کارمزدها و هزینه‌های استقراضِ بیان‌شده ۱۶۰ واحد است. وجه اضافی سپرده نمی‌شود.

NS_0=80(250)=20000,\qquad M=0.50(20000)=10000,\qquad C_0=30000

N(S_0-S_T)=80(250-210)=3200,\quad ND=80(3)=240,\quad i_M M=0.06(10000)=600

\Pi=3200-240+600-160=3400,\qquad R_{\text{short}}=\frac{3400}{10000}=34\%

تطبیق حساب نیز همان نتیجه را می‌دهد:

E_T=30000+600-80(210)-240-160=13400=M+\Pi

تقسیم بر حاصل فروش، ۱۷ درصد و تقسیم بر وجه حساب در ابتدا، حدود ۱۱٫۳۳ درصد می‌دهد؛ هیچ‌یک بازده نسبت به ۱۰۰۰۰ واحد شخصیِ سرمایه‌گذار نیست. حذف سود سپرده، ۲۸ درصد و افزودن به‌جای کسر جبران سود نقدی، ۳۸٫۸ درصد می‌دهد. هر خطا علامت یک جریان نقدی یا مخرج تأمین وجه را عوض می‌کند.

۵. اشتباه نشود با… — تمایزها

منحنی‌ها و خط‌ها

زوج	تفاوت	آزمونی که آن‌ها را جدا می‌کند
مرز حداقل واریانس در برابر مرز کارا	کل هذلولی در برابر فقط شاخهٔ بالایی آن	GMVP نقطهٔ برش است: پایین‌تر از آن، هر پرتفویی مغلوب است. «روی مرز بودن» با «کارا بودن» یکی نیست، مگر آنکه صورت سؤال بگوید کارا
مرز کارا (مارکویتز) در برابر خط بازار سرمایه (CML)	منحنی و فقط دارایی‌های پرریسک در برابر خط راست که به $R_f$ نیاز دارد	اگر از دارایی بدون ریسک سخنی نرفته باشد، CML وجود ندارد. CML دقیقاً در یک نقطه مرز کارا را مماس می‌کند
CAL در برابر CML	خطی از $R_f$ به هر پرتفوی پرریسک در برابر خطی که از پرتفوی مماس/بازار می‌گذرد	CML پرشیب‌ترین CAL است — یعنی CAL پرتفوی بهینه، در تعادل
CML در برابر SML (خط بازار اوراق بهادار)	محور افقی $\sigma_p$ (ریسک کل) در برابر $\beta$ (ریسک سیستماتیک)	CML فقط برای پرتفوی‌های کارا برقرار است؛ SML هر دارایی را، کارا یا ناکارا، قیمت‌گذاری می‌کند. سهمی که درست قیمت‌گذاری شده ولی ناکاراست، روی SML و پایین CML قرار می‌گیرد

پرتفوی‌های نام‌دار

زوج	تفاوت	آزمونی که آن‌ها را جدا می‌کند
GMVP (حداقل واریانس) در برابر پرتفوی مماس	چپ‌ترین نقطهٔ مرز در برابر نقطهٔ بیشینه‌شارپ	GMVP فقط $\sigma$ را کمینه می‌کند و $E(R)$ و $R_f$ را کاملاً نادیده می‌گیرد؛ پرتفوی مماس $\bigl(E(R_p)-R_f\bigr)/\sigma_p$ را بیشینه می‌کند و بدون $R_f$ اصلاً یافتنی نیست
پرتفوی کارا (efficient) در برابر پرتفوی بهینه (optimal)	یک مجموعهٔ کامل در برابر یک نقطه از آن	کارایی مستقل از ترجیحات است؛ بهینگی به ریسک‌گریزی / منحنی بی‌تفاوتی سرمایه‌گذار نیاز دارد
سبد وام‌دهنده در برابر سبد اهرمی (وام‌گیرنده)	$w<1$ ، وام‌دهی با نرخ $R_f$ در برابر $w>1$ ، قرض‌گیری با نرخ $R_f$	$\sigma_p$ را با $\sigma_M$ مقایسه کنید — چیز دیگری لازم نیست. روی CML، $E(R_p)>E(R_M)$ فقط با اهرم ممکن است

سنجه‌های ریسک

زوج	تفاوت	آزمونی که آن‌ها را جدا می‌کند
کوواریانس در برابر ضریب همبستگی	بی‌کران و وابسته به واحد در برابر استانداردشده در بازهٔ $[-1,+1]$	$\rho_{ij}=\sigma_{ij}/(\sigma_i\sigma_j)$ . فقط $\rho$ را می‌توان میان زوج‌ها مقایسه کرد؛ فقط $\sigma_{ij}$ مستقیماً وارد مجموع واریانس می‌شود
انحراف معیار در برابر بتا	ریسک کل یک موقعیت منفرد در برابر ریسک سیستماتیکی که به یک پرتفوی متنوع افزوده می‌شود	$\beta_i=\mathrm{Cov}(R_i,R_M)/\sigma_M^{2}$ . دارایی پرنوسانی که با بازار همبستگی کمی دارد، $\sigma$ بزرگ و $\beta$ کوچک دارد
ریسک سیستماتیک در برابر غیرسیستماتیک	ریسک بازارِ غیرقابل‌حذف در برابر ریسک خاص شرکت	فقط ریسک غیرسیستماتیک با افزایش $n$ محو می‌شود؛ فقط ریسک سیستماتیک با صرف ریسک جبران می‌شود
واریانس در برابر نیم‌واریانس (semivariance)	جریمه‌کردن انحراف‌ها در هر دو سو در برابر فقط پایین‌تر از هدف	نیم‌واریانس (ریسک نزولی) پاسخ درست است وقتی صورت سؤال می‌گوید «ریسک نامطلوب / نزولی»؛ در میانگینِ توزیع متقارن، نیم‌واریانسِ غیرشرطی نصف واریانس است؛ شرطی‌کردن بر مشاهدات زیر میانگین، نرمال‌سازی متفاوتی دارد
تنوع‌بخشی (diversification) در برابر پوشش ریسک (hedging)	گردآوردن چند موقعیت با همبستگی ناکامل در برابر اتخاذ عامدانهٔ یک موقعیت خنثی‌کننده	تنوع‌بخشی فقط ریسک غیرسیستماتیک را کاهش می‌دهد؛ پوشش ریسک می‌تواند حتی ریسک سیستماتیک را (و بازده آن را همراهش) حذف کند
نسبت شارپ در برابر نسبت ترینر	مخرج $\sigma_p$ (ریسک کل) در برابر $\beta_p$ (ریسک سیستماتیک)	برای رتبه‌بندی کل پرتفوی‌ها از شارپ استفاده کنید؛ برای قضاوت دربارهٔ جزئی از یک پرتفوی از پیش متنوع‌شده از ترینر (یا آلفای جنسن)

فروش استقراضی سهم، فروش آتی و خرید اهرمی سهم

موقعیت	منشأ سود	تأمین وجه و پرداخت‌ها	مخرج بازده
فروش استقراضی سهم (short stock)	کاهش قیمت سهم قرض‌گرفته‌شده	حاصل فروش سهم قرضی همراه وثیقهٔ شخصی؛ پرداخت جبران سود نقدی و هزینهٔ قرض‌گیری؛ سود وثیقه فقط با تصریح	سرمایهٔ شخصیِ سپرده‌شده با فرض‌های اعلام‌شدهٔ حساب
موقعیت فروش قرارداد آتی (short futures)	کاهش قیمت آتی	وجه تضمینِ ایفای تعهد، نه حاصل فروش سهم قرضی؛ تسویهٔ روزانهٔ وجه تعدیل؛ بدون جبران مستقیم سود نقدی سهم، هرچند سود نقدی بر قیمت‌گذاری آتی شاخص سهام اثر دارد	مبنای تضمین/تأمین وجهِ بیان‌شده؛ سپرده‌های اضافی باید منظور شوند
خرید اهرمی سهم (leveraged long stock)	افزایش قیمت سهم خریداری‌شده	سرمایهٔ شخصی همراه وام نقدی؛ دریافت سود نقدی و پرداخت بهرهٔ تأمین مالی	سرمایهٔ شخصیِ اختصاص‌یافته به خرید

برای $N_c$ قرارداد آتی با ضریب $q$ ، سود معاملاتیِ ناخالصِ تجمعیِ موقعیت فروشِ بسته‌شده عبارت است از

\Pi_{\text{futures}}=N_cq(F_0-F_T)

برای خرید اهرمی سهم، سرمایهٔ شخصی را $M_L$ ، وام نقدی را $L=NS_0-M_L$ و نرخ مؤثر بهرهٔ وام را $i_L$ بگیرید. با صرف‌نظر از درآمدهای دیگر و احتساب هزینه‌های بیان‌شده:

R_{\text{long}}=\frac{N(S_T-S_0)+ND-i_L L-F}{M_L}

این روابط نشان می‌دهند چرا انتقال فرمول وجه تضمین آتی به فروش استقراضی سهم، سود نقدی و سود حساب را حذف می‌کند؛ و چرا انتقال فرمول خرید اهرمی، علامت قیمت و سود نقدی را برعکس می‌کند. سود وثیقه، هزینهٔ استقراض و حداقل تضمین به حساب معیّن تعلق دارند، نه به وزن منفیِ انتزاعیِ پرتفوی.

نکتهٔ کنکوری: پنج معیار تمایز، تقریباً هر پرسش نظریهٔ پرتفوی را فیصله می‌دهد. (۱) کارا یعنی شاخهٔ بالای GMVP — هر چیزی پایین‌تر از آن مغلوب است، و «روی مرز حداقل واریانس بودن» به‌تنهایی به معنای کارا بودن نیست. (۲) وقتی صورت سؤال یک خانوادهٔ کامل از پرتفوی‌ها را توصیف می‌کند («هر پرتفویی در سمت راست GMVP»)، پاسخ باید ویژگی‌ای باشد که همهٔ آن‌ها در آن مشترک‌اند؛ هر گزینه‌ای که یک پرتفوی یکتا را نام ببرد — مماس CML، بیشینهٔ شارپ، پرتفوی بازار — خودبه‌خود غلط است، و وقتی دو گزینه همان پرتفوی یکتا را نام می‌برند، هر دو بنا به ساختار انحرافی‌اند. (۳) روی CML، $\sigma_p=w\,\sigma_M$ ، پس $\sigma_p>\sigma_M \Leftrightarrow w>1 \Leftrightarrow$ اهرمی/وام‌گیرنده، و $\sigma_p<\sigma_M \Leftrightarrow$ وام‌دهنده — هرگز بدون گرفتن جذر، مقایسه را با یک واریانس انجام ندهید. (۴) با نوسان‌پذیری‌های مثبت و نابرابر و وزن‌های نامقید، در GMVP دو‌دارایی، وزن‌های با نسبت عکس نسبت به واریانس‌ها $\Leftrightarrow\rho=0$ ؛ نسبت عکس نسبت به انحراف معیارها $\Leftrightarrow\rho=-1$ (و آنگاه $\sigma_p=0$ ). (۵) برای دو دارایی پرریسک با وزن مثبت، بازده‌های مورد انتظار خطی ترکیب می‌شوند، ریسک نه — پس هر گزینه‌ای که مدعی شود انحراف معیار پرتفوی میانگین وزنی انحراف معیارهای تک‌تک دارایی‌هاست، در واقع $\rho=+1$ را ادعا می‌کند، که همان تنها حالتی است که در آن هیچ تنوع‌بخشی‌ای رخ نمی‌دهد. با وجود نمرهٔ منفی، پیش از هر محاسبه‌ای از این‌ها به‌عنوان ابزار حذف گزینه استفاده کنید. در بازده فروش استقراضی سهم، سود نقدی را کسر کنید، فقط سود و هزینه‌های تصریح‌شده را منظور کنید و سود خالص را بر سرمایهٔ شخصیِ سپرده‌شده تقسیم کنید.

فرمول‌های کلیدی

Portfolio expected return (n assets)

E(R_p)=\sum_{i=1}^{n} w_i\,E(R_i),\qquad \sum_{i=1}^{n} w_i = 1

Portfolio variance (n assets)

\sigma_p^{2}=\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n} w_i w_j \sigma_{ij}=\sum_{i=1}^{n} w_i^{2}\sigma_i^{2}+\sum_{i\ne j} w_i w_j \rho_{ij}\sigma_i\sigma_j

Two-asset portfolio variance

\sigma_p^{2}=w_A^{2}\sigma_A^{2}+w_B^{2}\sigma_B^{2}+2\,w_A w_B\,\rho_{AB}\,\sigma_A\sigma_B

Covariance and correlation

\sigma_{AB}=\rho_{AB}\,\sigma_A\sigma_B,\qquad \rho_{AB}=\frac{\sigma_{AB}}{\sigma_A\sigma_B}\in[-1,+1]

Minimum-variance portfolio weight (two assets)

w_A^{*}=\frac{\sigma_B^{2}-\rho_{AB}\sigma_A\sigma_B}{\sigma_A^{2}+\sigma_B^{2}-2\rho_{AB}\sigma_A\sigma_B}

Minimum-variance weights when rho = 0

w_A^{*}=\frac{\sigma_B^{2}}{\sigma_A^{2}+\sigma_B^{2}}\quad\text{(weights inverse to the variances)}

Riskless mix when rho = -1

w_A^{*}=\frac{\sigma_B}{\sigma_A+\sigma_B},\qquad \sigma_p=0

Diversification limit (equally weighted)

\sigma_p^{2}=\frac{\bar{\sigma}^{2}}{n}+\left(1-\frac{1}{n}\right)\overline{\sigma_{ij}}\ \xrightarrow{\ n\to\infty\ }\ \overline{\sigma_{ij}}

Mean-variance program of the frontier

\min_{w}\ w^{\mathsf{T}}\Sigma\,w\quad \text{s.t.}\quad w^{\mathsf{T}}E(R)=\bar{R},\ \ \sum_i w_i=1

Capital Market Line

E(R_p)=R_f+\frac{E(R_M)-R_f}{\sigma_M}\,\sigma_p,\qquad \sigma_p=w\,\sigma_M

Sharpe ratio (slope of the CAL)

S_p=\frac{E(R_p)-R_f}{\sigma_p}

Mean-variance utility score

U=E(R_p)-\tfrac{1}{2}A\,\sigma_p^{2}

Perfect positive correlation with signed weights

\rho_{AB}=1\quad\Rightarrow\quad\sigma_p=\lvert w_A\sigma_A+w_B\sigma_B\rvert

Short-stock initial margin and closing equity

M=mNS_0,\qquad E_T=NS_0+M+i_M M+I_s-NS_T-ND-F

Short-stock return on own posted capital

R_{\text{short}}=\frac{N(S_0-S_T)-ND+i_M M+I_s-F}{mNS_0}

Cumulative gross profit on a short futures position

\Pi_{\text{futures}}=N_cq(F_0-F_T)

Leveraged long-stock return

R_{\text{long}}=\frac{N(S_T-S_0)+ND-i_L L-F}{M_L},\qquad L=NS_0-M_L

#portfolio-theory#diversification#correlation#minimum-variance-portfolio#capital-market-line#short-selling#margin-return

کارت‌های مرتبط

فرمولریاضی و آمار

متغیرهای تصادفی، توزیع‌های مشترک و امید ریاضی

جعبه‌ابزار کامل احتمال گسسته که کنکور مدیریت از آن سؤال می‌دهد: امید ریاضی و واریانس یک متغیر و ترکیب‌های خطی، احتمال مشترک/حاشیه‌ای/شرطی روی جدول دوبعدی، کوواریانس و همبستگی، و زوج پواسون–نمایی همراه با خاصیت بی‌حافظگی. احتمال‌های نرمال با استانداردسازی، مساحت تجمعی، تقارن و متمم محاسبه می‌شوند؛ احتمال داده‌شده ورودی محاسبه است، نه مقدار تازه‌ای برای حفظ‌کردن در جدول. چی‌بی‌شف تضمین بازهٔ مرکزی را مستقل از شکل توزیع می‌دهد؛ تبدیل واریانس به انحراف معیار و شمول بازه‌های وسیع‌تر در آن ضروری است.

random-variablesexpectationvariancejoint-distribution

فرمولریاضی و آمار

آمار توصیفی: گرایش مرکزی، پراکندگی، ضریب تغییرات و چولگی

میانگین حسابی، وزنی، هندسی و هارمونیک، میانه و نما؛ پراکندگی مطلق و نسبی؛ چولگی پیرسون، بولی و گشتاوری؛ و روش‌های جدول طبقه‌بندی‌شده و تجمعی، با حدود اعتبار ترتیب‌های کتاب‌درسی چولگی.

descriptive-statisticscentral-tendencyharmonic-meanmean-inequality

فرمولمدیریت مالی

ارزش زمانی پول و بازده مرکب

کل دستگاه ارزش زمانی پول — مرکب کردن و تنزیل، چهار ضریب بهره، همهٔ الگوهای اقساط/عایدی دائمی/رشد، نرخ اسمی در برابر نرخ مؤثر، و بازده مرکب (هندسی) چنددوره‌ای همراه با نامساوی میانگین حسابی–هندسی که بر آن حاکم است.

time-value-of-moneypresent-valueannuity-factorsgrowing-perpetuity

مفهوممدیریت سرمایه‌گذاری و ریسک

ابزارهای مشتقه و سرمایه‌گذاری‌های جایگزین

پیمان آتی، قرارداد آتی، اختیار معامله و قرارداد معاوضه — شکل بازدهی، سازوکار وجه تضمین و شش عامل تعیین‌کنندهٔ ارزش اختیار — به‌همراه طبقات دارایی جایگزین و مقایسهٔ مالکیت مستقیم در برابر مالکیت اوراق‌بهادارشده (ملک در برابر صندوق املاک و مستغلات). برای پیمان آتی ارز، برابری پوشش‌داده‌شده با ضرایب انباشت مستقل داخلی و خارجی افزوده می‌شود.

derivativesfuturesmargin-calloptions

سوالات تمرینی · 8/16

مدیریت سرمایه‌گذاری و ریسکمتوسطنظریهٔ پرتفوی و تنوع‌بخشیکنکور ارشد مدیریت ۱۴۰۵ — سؤال ۲۰۴

بازده مورد انتظار پرتفوی حداقل ریسک Z (شامل ۲۰ درصد دارایی A و ۸۰ درصد دارایی B) ۳۸ درصد است. اگر انحراف‌معیار بازده دارایی A و B به‌ترتیب ۲۰ و ۱۰ درصد و بازده مورد انتظار A، ۳۰ درصد باشد، همبستگی…

مدیریت سرمایه‌گذاری و ریسکمتوسطنظریهٔ پرتفوی و تنوع‌بخشیکنکور ارشد مدیریت ۱۴۰۵ — سؤال ۲۰۷

پرتفویی که در سمت راست پرتفوی حداقل واریانس در مرز کارآ قرار دارد، پرتفویی است که ...................

مدیریت سرمایه‌گذاری و ریسکمتوسطنظریهٔ پرتفوی و تنوع‌بخشیکنکور ارشد مدیریت ۱۴۰۵ — سؤال ۲۰۸

اگر بازده مورد انتظار بازار (M) و نرخ بازده بدون ریسک به‌ترتیب ۴۵ و ۳۰ درصد و واریانس بازده سبد بازار یک درصد باشد، کدام سبد اهرمی است؟ سبد A B C D --- --- --- --- --- انحراف‌معیار ۰/۰۵ ۰/۱ ۰ ۰/۱۵

مدیریت سرمایه‌گذاری و ریسکآساننظریهٔ پرتفوی و تنوع‌بخشیکنکور ارشد مدیریت ۱۴۰۴ — سؤال ۱۹۷

ویژگی هر سبد سرمایه‌گذاری روی خط بازار سرمایه که بازده بیشتری از بازده سبد سرمایه‌گذاری بازار دارد، کدام است؟

مدیریت سرمایه‌گذاری و ریسکمتوسطنظریهٔ پرتفوی و تنوع‌بخشیکنکور ارشد مدیریت ۱۴۰۴ — سؤال ۲۰۰

کدام منحنی در صفحه انحراف‌معیار (محور افقی) و بازده موردانتظار (محور عمودی)، ترکیب بین دو دارایی را نشان می‌دهد؟

مدیریت سرمایه‌گذاری و ریسکمتوسطنظریهٔ پرتفوی و تنوع‌بخشیکنکور ارشد مدیریت ۱۴۰۴ — سؤال ۲۰۴

به کدام دلیل، سبد سرمایه‌گذاری متشکل از یک دارایی بدون ریسک و دارایی ریسکی A، مطلوب‌تر از سرمایه‌گذاری در دارایی A است؟

مدیریت سرمایه‌گذاری و ریسکآساننظریهٔ پرتفوی و تنوع‌بخشیکنکور ارشد مدیریت ۱۴۰۳ — سؤال ۱۹۶

در نمودار خط بازار سرمایه (CML)، کدام مورد درخصوص پرتفوی‌های بالای CML درست است؟

مدیریت سرمایه‌گذاری و ریسکآسانمدل CAPM، بتا و تعادل بازارکنکور ارشد مدیریت ۱۴۰۲ — سؤال ۱۹۷

معیار ریسک در تئوری پرتفوی و مدل قیمت‌گذاری دارایی سرمایه‌ای (CAPM) به‌ترتیب کدام است؟

همهٔ 16 سؤال →