فرمولمدیریت سرمایه‌گذاری و ریسک اوراق بهادار با درآمد ثابت

اوراق قرضه، بازدهی‌ها، صرف ریسک و نرخ‌های مؤثر

جعبه‌ابزار کامل درآمد ثابت — قیمت‌گذاری اوراق قرضه و ترتیب نرخ کوپن، بازده جاری و بازده تا سررسید در حالت‌های بالاتر از اسمی/اسمی/زیر اسمی، تجزیهٔ بازدهی به بلوک‌های سازندهٔ صرف نکول، نقدشوندگی و سررسید که از زوج‌های همتا استخراج می‌شوند، ساختار زمانی نرخ بهره، دیرش و تحدب، و تبدیل نرخ‌های اسمی اعلام‌شده به نرخ مؤثر سالانه. واژه‌نامهٔ نرخ مرجع، یوریبور، لایبور چندارزی تاریخی، یوروکارنسی، کوپن و صرف ناشر را جدا می‌کند.

کارت فرمول کنکور ارشد مدیریت

اهمیت

۰/۵

اوراق با درآمد ثابت (fixed-income securities) حقوق مالی با تعهدات قراردادی پرداخت‌اند؛ این فصل با جریان پرداختِ کوپن ثابت آغاز می‌کند — مبالغ دوره‌ای کوپن (coupon) به‌علاوهٔ ارزش اسمی (par value, face value) در سررسید — نه سهمی باقی‌مانده از سود. نمونهٔ اصلی آن اوراق قرضه (bond) است؛ در بازار ایران همین منطقِ جریان نقدی بر اوراق مشارکت (participation certificates)، اسناد خزانهٔ اسلامی — اخزا (Islamic treasury bills) که اوراق بدون کوپنِ فروخته‌شده به کسر هستند، و صکوک (sukuk) مانند اجاره و مرابحه نیز حاکم است. چون پرداخت‌ها ثابت‌اند، ارزش‌گذاری این جریان وعده‌داده‌شده را می‌توان از دو متغیر مرتبط خواند: قیمت (price) که بازار برای جریان وعده‌داده‌شده می‌پردازد، و بازده تا سررسید (yield to maturity, YTM) — یعنی تنها نرخ تنزیلی که ارزش فعلی آن جریان را با آن قیمت برابر می‌کند. برای این جریان وعده‌داده‌شدهٔ ثابت، قیمت و بازدهی در جهت‌های مخالف حرکت می‌کنند. این مبحث به سه پرسش تقسیم می‌شود: (i) جریان وعده‌داده‌شده چگونه به قیمت تبدیل می‌شود، (ii) بازدهی مورد انتظار از چه چیزهایی ساخته شده است — یک پایهٔ بدون ریسک به‌علاوهٔ انباشته‌ای از صرف ریسک (risk premiums) — و (iii) یک نرخ اعلام‌شده چگونه به نرخ مؤثر سالانه (effective annual rate, EAR) تبدیل می‌شود تا ابزارهایی با تواتر پرداخت متفاوت اساساً قابل مقایسه شوند.

۱. خاستگاه — Origin

حساب تنزیل از خودِ دانش مالی هم قدیمی‌تر است، پس فرمول قیمت‌گذاری صاحب واحدی ندارد؛ اما نظریه‌ای که روی آن بنا شده، دارد.

منبع	سهم
ایروینگ فیشر (Irving Fisher)، نظریهٔ بهره (۱۹۳۰)	معادلهٔ فیشر (Fisher equation): نرخ اسمی مشاهده‌شده برابر است با نرخ واقعی به‌علاوهٔ جبران تورم انتظاری، $(1+i)=(1+r)(1+\pi^{e})$ . این سرچشمهٔ این ایده است که نرخ اعلام‌شده یک مجموع جبران‌ها است، نه یک مفهوم اولیه.
فردریک مکالی (Frederick Macaulay) (۱۹۳۸)	دیرش (duration) — میانگین موزون زمانِ دریافت جریان‌های نقدی اوراق با وزن ارزش فعلی، که ابداع شد تا ریسک نرخ بهره یک عدد قابل اندازه‌گیری واحد داشته باشد به‌جای معیار خام «سال‌های باقی‌مانده تا سررسید».
جان آر. هیکس (John R. Hicks)، ارزش و سرمایه (۱۹۳۹)	نظریهٔ ترجیح نقدینگی (liquidity-preference theory) دربارهٔ ساختار زمانی: وام‌دهندگان بلندمدت باید با یک صرف سررسید (maturity/term premium) مثبت جبران شوند و به همین دلیل منحنی بازده در حالت عادی صعودی است.
فرانکو مودیلیانی و ریچارد ساچ (Modigliani and Sutch) (۱۹۶۶)	نظریهٔ رجحان محل (preferred-habitat theory) — سرمایه‌گذاران تنها در ازای صرف، از بخش سررسیدِ ترجیحی خود خارج می‌شوند؛ آشتی‌دهندهٔ دیدگاه انتظارات و دیدگاه تجزیهٔ بازار.
برتون مالکیل (Burton Malkiel)	گزاره‌های قیمت اوراق که حساسیت قیمت را به سررسید و اندازهٔ کوپن ربط می‌دهند: سررسید بلندتر و کوپن کمتر ⇐ قیمتِ نوسان‌پذیرتر.
قرارداد بلوک‌های سازنده (building-block) در متون درسی (بریگام–هیوستون و کتاب‌های مدیریت مالی / مدیریت سرمایه‌گذاری ایرانی)	نوشتن هر بازدهی اعلام‌شده به‌صورت $r^{*}+IP+DRP+LRP+MRP$ — همان تجزیه‌ای که این کنکور مستقیماً می‌سنجد.

مسئله‌ای که دیدگاه بلوک‌های سازنده برای حل آن ابداع شد کاملاً عملی است: صرف‌های ریسک هرگز مستقیماً قابل مشاهده نیستند. هیچ‌کس «صرف نقدشوندگی» را منتشر نمی‌کند. آنچه قابل مشاهده است یک بازدهی است، و یک صرف تنها به‌صورت تفاوت میان دو ورقهٔ بهاداری که در همهٔ ابعاد دیگر یکسان‌اند بازیابی می‌شود.

۲. ساختار — The structure itself

۲.۱ کالبدشناسی یک ورقهٔ قرضه

فارسی	English	نماد	معنا
ارزش اسمی	par / face value	$F$	مبلغی که در سررسید بازپرداخت می‌شود؛ پایه‌ای که نرخ کوپن بر آن اعمال می‌شود
نرخ کوپن	coupon rate	$c$	درصدی قراردادی و ثابت از $F$ ؛ پس از انتشار هرگز تغییر نمی‌کند
مبلغ کوپن	coupon payment	$C=cF/m$	وجه نقدی که هر دوره واقعاً پرداخت می‌شود، با $m$ پرداخت در سال
سررسید	maturity	$n$	تعداد دوره‌های باقی‌مانده
قیمت بازار	market price	$P$	ارزش فعلی جریان وعده‌داده‌شده با بازدهی مورد انتظار امروز
بازده تا سررسید	yield to maturity	$y$	نرخ بازده داخلی اوراقی که امروز خریداری و تا سررسید نگهداری شود
بازده جاری	current yield	$CY=cF/P$	وجه نقد سالانهٔ کوپن تقسیم بر قیمت — فقط درآمد، و بی‌اعتنا به سود سرمایه‌ای
بازده تا بازخرید	yield to call	$YTC$	نرخ بازده داخلی در صورتی که ناشر زودتر و به قیمت بازخرید بازخرید کند

۲.۲ قیمت‌گذاری: جریان به یک عدد تبدیل می‌شود

P=\sum_{t=1}^{n}\frac{C}{(1+y)^{t}}+\frac{F}{(1+y)^{n}} = C\cdot\underbrace{\frac{1-(1+y)^{-n}}{y}}_{PVIFA(n,y)}+F\,(1+y)^{-n}

که در آن $C$ ، $y$ و $n$ همگی بر حسب یک دورهٔ یکسان بیان شده‌اند (کوپن شش‌ماهه ⇐ $C=cF/2$ ، $y=y_{\text{nom}}/2$ ، $n=2\times\text{years}$ ). اوراق بدون کوپن (zero-coupon bond) حالت خاص $C=0$ است:

P=\frac{F}{(1+y)^{n}} \qquad\Longleftrightarrow\qquad y=\left(\frac{F}{P}\right)^{1/n}-1

رابطهٔ قیمت–بازدهی معکوس و محدب است و پرآزمون‌ترین رتبه‌بندی کل مبحث درآمد ثابت را می‌سازد: نرخ‌های سالانه را با مبنای اعلام یکسان به‌کار ببرید یا همه را به دورهٔ کوپن تبدیل کنید؛ مدل، اوراق متعارفِ کوپن‌ثابت و غیرقابل بازخرید با بازده مثبت است. کوپن صفر، برابری کوپن و بازده جاری را به حالت مرزی تبدیل می‌کند.

شرط	ورقه معامله می‌شود	ترتیب سه نرخ
$y<c$	بالاتر از اسمی (at a premium)، $P>F$	$y<CY<c$
$y=c$	به قیمت اسمی (at par)، $P=F$	$y=CY=c$
$y>c$	زیر اسمی (at a discount)، $P<F$	$c<CY<y$

بازده جاری همیشه بین نرخ کوپن و بازده تا سررسید قرار می‌گیرد، چون درآمد کوپن را می‌شمارد اما سود یا زیان سرمایه‌ای ناشی از حرکت قیمت به سمت ارزش اسمی را نه.

۲.۳ بازدهی به‌عنوان انباشته‌ای از صرف‌ها — بلوک‌های سازنده

y_i \;=\; \underbrace{r^{*}}_{\text{نرخ واقعی بدون ریسک}} \;+\; \underbrace{IP}_{\text{صرف تورم}} \;+\; \underbrace{DRP_i}_{\text{صرف ریسک نکول}} \;+\; \underbrace{LRP_i}_{\text{صرف ریسک نقدشوندگی}} \;+\; \underbrace{MRP_i}_{\text{صرف ریسک سررسید}}

دو بلوک نخست با هم نرخ اسمی بدون ریسک (nominal risk-free rate) یعنی $r_f=r^{*}+IP$ را می‌سازند؛ سه بلوک آخر همان چیزی هستند که باعث می‌شوند بازدهی یک ورقه در یک روز واحد بیش از ورقهٔ دیگر باشد.

بلوک	فارسی	جبران‌کنندهٔ چه چیزی برای سرمایه‌گذار	با چه چیزی افزایش می‌یابد
$r^{*}$	نرخ واقعی بدون ریسک	ترجیح زمانی محض — به تعویق انداختن مصرف	بی‌صبری جامعه و بهره‌وری سرمایه
$IP$	صرف تورم	فرسایش قدرت خرید	تورم انتظاری در طول عمر اوراق
$DRP$	صرف ریسک نکول (اعتباری)	احتمال ناتوانی ناشر در پرداخت کوپن یا اصل	رتبهٔ اعتباری ضعیف‌تر، اهرم بالاتر؛ برای مبنای بدون نکولِ مدل، صفر فرض می‌شود؛ اوراق دولتی به پول ملی لزوماً بدون نکول نیستند
$LRP$	صرف ریسک نقدشوندگی	ناتوانی در فروش سریع نزدیک به ارزش منصفانه	معاملات کم‌عمق، شکاف قیمت پیشنهادی خرید–فروش زیاد، حجم انتشار کوچک
$MRP$	صرف ریسک سررسید (نرخ بهره)	نوسان قیمت در صورت تغییر نرخ‌های بازار پیش از سررسید	سررسید بلندتر و کوپن کمتر — یعنی دیرش بالاتر

قاعدهٔ جداسازی. چون این بلوک‌ها جمع‌پذیر و به‌تنهایی غیرقابل مشاهده‌اند، یک صرف تنها با تفاضل‌گیری از یک زوج همتا (matched pair) بازیابی می‌شود — دو ورقهٔ بهادار که در هر بُعد جز بُعد مورد نظر یکسان‌اند:

\text{premium of factor }k \;=\; y_{\text{(security exposed to }k)} \;-\; y_{\text{(otherwise identical security)}}

اگر دو ورقه در دو ستون تفاوت داشته باشند، شکاف بازدهی‌شان ترکیبی از دو صرف است و صرفِ هیچ‌کدام نیست.

۲.۴ ساختار زمانی — ساختار زمانی نرخ بهره

ساختار زمانی نرخ بهره بازدهی اوراقی را که جز در سررسید یکسان‌اند در برابر سررسید ترسیم می‌کند؛ نمودار آن منحنی بازده (yield curve) است. نرخ‌های نقدی $s_n$ از طریق یک زنجیرهٔ بدون آربیتراژ، نرخ‌های آتی (forward rates) را نتیجه می‌دهند:

(1+s_2)^{2}=(1+s_1)\left(1+f_{1,2}\right) \qquad\Longrightarrow\qquad f_{1,2}=\frac{(1+s_2)^{2}}{1+s_1}-1

نظریه — Theory	ادعا دربارهٔ شکل منحنی	صرف سررسید ضمنی
انتظارات محض (pure expectations)	نرخ‌های بلندمدت میانگین هندسی نرخ‌های کوتاه‌مدت انتظاری آینده‌اند	صفر — منحنی تنها در صورتی صعودی است که انتظار افزایش نرخ‌ها برود
ترجیح نقدینگی (liquidity preference) — هیکس	وام‌دهندگان کوتاه‌مدت را ترجیح می‌دهند و وام‌گیرندگان بلندمدت را	مثبت و صعودی نسبت به سررسید ⇐ شیب صعودی، حالت عادی است
تجزیهٔ بازار (market segmentation) — منسوب به کالبرتسون	هر سررسید بازاری جداگانه با عرضه و تقاضای خودش است	هر علامتی؛ بخش‌ها نسبت به یکدیگر آربیتراژ نمی‌شوند
رجحان محل (preferred habitat) — مودیلیانی و ساچ	سرمایه‌گذاران تنها در ازای پرداخت از محل خود خارج می‌شوند	مثبت، اما لزوماً صعودی نیست نسبت به سررسید

منحنی معکوس (نزولی) — بازدهی کوتاه‌مدت بالاتر از بلندمدت — در قرائت انتظاراتی، نشانهٔ کلاسیک رکود است.

۲.۵ ریسک نرخ بهره: دیرش و تحدب

D_{\text{Mac}}=\sum_{t=1}^{n} t\cdot w_t ,\qquad w_t=\frac{CF_t/(1+y)^{t}}{P} \qquad\text{(a weighted average time)}

D_{\text{mod}}=\frac{D_{\text{Mac}}}{1+y} \qquad\Longrightarrow\qquad \frac{\Delta P}{P}\approx -D_{\text{mod}}\,\Delta y+\tfrac12\,\text{Convexity}\cdot(\Delta y)^{2}

قاعده	جهت
سررسید بلندتر ⇐	دیرش بالاتر ⇐ حساسیت قیمتی بیشتر
کوپن کمتر ⇐	دیرش بالاتر (وزن بیشتری در آینده‌های دور می‌نشیند) ⇐ حساسیت بیشتر
سطح بالاتر بازدهی‌ها ⇐	دیرش پایین‌تر ⇐ حساسیت کمتر
اوراق بدون کوپن ⇐	دقیقاً $D_{\text{Mac}}=n$ ؛ برای هر ورقهٔ کوپن‌دار $D_{\text{Mac}}<n$

این رتبه‌بندی‌های دیرش، اوراق متعارفی را مقایسه می‌کنند که در سایر ابعاد مشابه‌اند؛ قاعدهٔ سررسید، الگوی معمول است، نه قضیه‌ای جهان‌شمول برای اوراق کم‌کوپن با کسر زیاد.

تحدب (convexity) همان انحنایی است که جملهٔ خطی دیرش از قلم می‌اندازد: چون منحنی قیمت–بازدهی محدب است، دیرش به‌تنهایی زیان ناشی از افزایش نرخ را بیش‌برآورد و سود ناشی از کاهش نرخ را کم‌برآورد می‌کند.

۲.۶ قراردادهای نرخ — اعلام‌شده در برابر کسب‌شده

نرخ اعلام‌شده یک قرارداد است؛ نرخی که واقعاً کسب می‌شود همان EAR است. برای یک نرخ اسمی سالانه (nominal annual rate, APR) مثبت به‌مقدار $r$ با $m$ بار ترکیب در سال:

EAR=\left(1+\frac{r}{m}\right)^{m}-1 \qquad\xrightarrow[\;m\to\infty\;]{}\qquad EAR_{\text{cont}}=e^{\,r}-1

عبارت $\left(1+\tfrac{r}{m}\right)^{m}$ نسبت به $m$ اکیداً صعودی است، پس با ثابت نگه داشتن نرخ اسمی، EAR به‌طور یکنوا با تواتر ترکیب افزایش می‌یابد و از بالا به حالت پیوسته محدود است:

r=EAR_{1}\;<\;EAR_{2}\;<\;EAR_{4}\;<\;EAR_{12}\;<\;\dots\;<\;e^{\,r}-1

تبدیل‌های معکوس به اندازهٔ تبدیل مستقیم اهمیت دارند:

داده	خواسته	عملیات
نرخ اسمی $r$ و تواتر $m$	نرخ دوره‌ای	تقسیم: $r/m$
نرخ اسمی $r$ و تواتر $m$	EAR	تقسیم، سپس ترکیب: $(1+r/m)^{m}-1$
نرخ سالانهٔ مؤثر	نرخ دوره‌ای	گرفتن ریشه: $(1+EAR)^{1/m}-1$
EAR	نرخ با ترکیب پیوسته	$r_{\text{cont}}=\ln(1+EAR)$

ابزارهای تنزیلی و بازار پول (اخزا، اسناد خزانه) قراردادهای اعلام نرخ ویژهٔ خود را دارند که تله‌های صرفاً قراردادی‌اند:

قرارداد	فرمول	توضیح
بازده تنزیلی بانکی (bank discount yield)	$\dfrac{F-P}{F}\cdot\dfrac{360}{t}$	مبتنی بر ارزش اسمی و سال ۳۶۰ روزه — همیشه بازده واقعی را کم‌برآورد می‌کند
بازده دورهٔ نگهداری (holding-period yield)	$\dfrac{F-P}{P}$	مبتنی بر قیمت — آنچه واقعاً طی $t$ روز کسب می‌شود
بازده مؤثر سالانه (effective annual yield)	$\left(1+HPY\right)^{365/t}-1$	تنها عدد قابل مقایسه

۲.۷ واژه‌نامهٔ نرخ مرجع: ارز، بازار و قرارداد

نرخ مرجع (reference rate) شاخصی برای بازتنظیم پرداخت شناور یا اعلام نرخ تأمین مالی است. پیش از مقایسه با بازده ناشر، ارز و بازار آن را شناسایی کنید.

اصطلاح در واژگان تاریخی کتاب‌درسی	تمایز ارز / بازار
یوروکارنسی / ارز برون‌مرزی (eurocurrency)	ارزی که بیرون از حوزهٔ پولیِ مبدأ سپرده‌گذاری می‌شود؛ «یورو» در این پیشوند لزوماً پول یورو یا اروپا نیست. یورودلار، دلار آمریکا است، نه یورو
یوریبور — نرخ پیشنهادی بین‌بانکی یورو (Euribor / Euro Interbank Offered Rate)	تأمین مالی عمدهٔ بدون وثیقه به یورو در بازار پول اروپا؛ تعبیر سادهٔ درسی: وام‌دهی یورویی بانک‌های اروپایی
لایبور تاریخی — نرخ پیشنهادی بین‌بانکی لندن (LIBOR / London Interbank Offered Rate)	خانوادهٔ شاخص‌های بین‌بانکی با برچسب لندن در چند ارز؛ قید ارز تعیین‌کننده بود. لایبور دلاری تاریخی به دلار و لایبور یورویی به یورو مربوط بود، اما دومی یوریبور نبود

انتشار نرخ‌های لایبور متوقف شده است؛ این برچسب‌ها تمایزهای تاریخی کتاب‌درسی را توضیح می‌دهند، نه محصولات لایبورِ قابل‌استفادهٔ کنونی را. «اروپا + دلار» یوریبور نیست و «لندن + یورو» صرفاً به دلیل تطابق ارز، یوریبور نمی‌شود.

جزء قرارداد	نقش	نشانهٔ تمایز
شاخص مرجع (reference index)	پایهٔ بیرونیِ بازتنظیم، برای ارز و سررسید معیّن	می‌تواند در تاریخ‌های مقرر بازتنظیم تغییر کند
کوپن ثابت (fixed coupon)	درصد قراردادی از ارزش اسمی	همراه شاخص بازتنظیم نمی‌شود
صرف اعتباری ناشر (issuer spread)	حاشیهٔ افزوده برای ریسک ناشر/قرارداد؛ ممکن است نقدشوندگی و اجزای دیگر را نیز دربرگیرد	خود شاخص نیست و لزوماً صرف نکولِ خالص نیست

برای کوپن شناور ساده، $r_t=b_t+s$ : شاخص $b_t$ به‌علاوهٔ حاشیهٔ قراردادی $s$ . شاخص ۳ درصد همراه حاشیهٔ ۲ واحد درصد، برای همان دورهٔ بازتنظیم می‌دهد: $r_t=3\%+2\%=5\%$ . شاخص، سررسید، قواعد بازتنظیم و حاشیه را با هم بخوانید؛ شاخص به‌تنهایی نرخ کل تأمین مالی ناشر نیست.

۳. طرز به‌کارگیری — How to apply it

الف. برای قیمت‌گذاری یک ورقهٔ قرضه یا خواندن بازدهی آن. ۱. همه چیز را به دورهٔ کوپن تبدیل کنید: $C=cF/m$ ، $y_{\text{per}}=y_{\text{nom}}/m$ ، $n=m\times$ سال. ۲. کوپن‌ها را مانند یک اقساط مساوی و ارزش اسمی را مانند یک مبلغ واحد ارزش‌گذاری کنید، سپس دو مقدار را جمع کنید. ۳. با بند ۲.۲ صحت‌سنجی کنید: اگر $c>y$ باشد قیمت باید از ارزش اسمی بیشتر باشد و بالعکس — همین یک نکته چند گزینه را حذف می‌کند. ۴. مسیر معکوس (قیمت ⇐ بازدهی) به آزمون و خطا یا خودِ گزینه‌ها نیاز دارد؛ ابتدا مرز $y=c$ را بیازمایید.

ب. برای استخراج یک صرف ریسک از جدولی از اوراق بهادار. ۱. عامل هدف را نام ببرید — نکول، نقدشوندگی یا سررسید. ۲. ستون‌ها را برای یافتن زوجی که فقط در همان ستون تفاوت دارد بررسی کنید. هر زوجی را که در دو ستون تفاوت دارد کنار بگذارید. ۳. دو بازدهی را کم کنید. بلوک‌های مشترک — $r^{*}$ ، $IP$ و دو صرف غیرهدف — عیناً حذف می‌شوند. ۴. پاسخ را بر حسب واحد درصد گزارش کنید، نه به‌صورت نرخ خودِ یک ورقه: صرف یک تفاوت است، نه یک سطح.

ج. برای مقایسهٔ نرخ‌های اعلام‌شده. ۱. نخست بپرسید عدد اعلام‌شده اسمی (nominal) است یا مؤثر (effective). همین یک قرائت تعیین می‌کند که باید تقسیم کنید یا ریشه بگیرید. ۲. هر گزینه را به EAR تبدیل کنید، سپس مقایسه کنید. ۳. برای یک بازه روی تواترهای ترکیب، از یکنوایی استفاده کنید: دو سر بازه صرفاً همان دو تواتر حدی نام‌برده‌شده در صورت سؤال‌اند، با حالت پیوسته به‌عنوان سقف و $m=1$ (یعنی خودِ نرخ اسمی) به‌عنوان کف مطلق.

د. برای رتبه‌بندی ریسک نرخ بهره بدون هیچ محاسبه‌ای: بلندترین سررسید و کمترین کوپن ⇐ بالاترین دیرش ⇐ بزرگ‌ترین تغییر درصدی قیمت. یک ورقهٔ بدون کوپن از هر ورقهٔ کوپن‌دار با همان سررسید پیشی می‌گیرد.

۴. مثال حل‌شده — Worked mini-example

بخش ۱ — جداسازی صرف‌ها از یک جدول همتا. چهار ورقهٔ قرضه در یک روز معامله می‌شوند:

ورقه	سررسید	نقدشوندگی	ریسک نکول	بازدهی
W	۳ سال	بالا	پایین	$12\%$
X	۳ سال	پایین	پایین	$14\%$
Y	۱۰ سال	بالا	پایین	$17\%$
Z	۳ سال	بالا	بالا	$18\%$

این جدول آموزشی، مؤلفه‌های نرخ واقعی و تورم را یکسان فرض می‌کند؛ شکاف بازده سررسیدهای متفاوت در بازار می‌تواند تغییرات انتظاری نرخ را نیز منعکس کند. هر یک از X، Y و Z دقیقاً یک ستون را نسبت به W تغییر می‌دهد، پس هر زوج‌سازی یک بلوک را جدا می‌کند:

LRP = y_X-y_W = 14\%-12\% = 2\%,\qquad MRP_{3\to10} = y_Y-y_W = 17\%-12\% = 5\%,\qquad DRP = y_Z-y_W = 18\%-12\% = 6\%

شکاف $y_Z-y_X=4\%$ صرفِ هیچ چیزی نیست: X و Z هم‌زمان در دو ستون تفاوت دارند (نقدشوندگی و ریسک نکول)، پس تفاضلشان ترکیب $DRP-LRP$ است. عدد $12\%$ هم صرف نیست — یک سطح است، بازدهی خودِ W، که هنوز شامل $r^{*}+IP$ می‌شود.

بخش ۲ — قیمت‌گذاری. ورقه‌ای دارای $F=1{,}000$ ، نرخ کوپن $c=20\%$ با پرداخت شش‌ماهه، $3$ سال تا سررسید است و بازار نرخ اسمی $24\%$ (شش‌ماهه) را مطالبه می‌کند. در هر دوره: $C=200/2=100$ ، $y=24\%/2=12\%$ ، $n=6$ .

(1.12)^{6}=1.97382 \;\Rightarrow\; PVIF=0.50663,\qquad PVIFA=\frac{1-0.50663}{0.12}=4.11141

P = 100\,(4.11141)+1000\,(0.50663)=411.14+506.63=917.77

این ورقه دقیقاً به این دلیل زیر اسمی ( $P<F$ ) معامله می‌شود که $c=20\%<y=24\%$ . بازده جاری آن $CY=200/917.77=21.8\%$ است که دقیقاً مطابق قاعدهٔ ترتیب، بین نرخ کوپن و بازده تا سررسید قرار می‌گیرد.

کنترل معکوس — حل عددی بازده تا سررسید. با کوپن سالانهٔ $C=100$ ، ارزش اسمی $F=1000$ ، سه سال تا سررسید و قیمت $P=1050$ :

1050=\frac{100}{1+y}+\frac{100}{(1+y)^2}+\frac{1100}{(1+y)^3}

در نرخ ۸ درصد، طرف راست ۱۰۵۱٫۵۴ و در نرخ ۹ درصد، ۱۰۲۵٫۳۱ است. بازه را نصف کنید و سوی دارای قیمت بالاتر را کران بازده پایین‌تر بگیرید تا به $y\approx8.0578\%$ برسید. مطابق معاملهٔ بالاتر از اسمی، نتیجه از کوپن ۱۰ درصد کمتر است. تقریب سریع، ریشهٔ دقیق معادله نیست.

بخش ۳ — نرخ مؤثر پشت آن نرخ اعلام‌شده. عدد « $24\%$ » اسمی است؛ آنچه دارنده واقعاً در یک سال کسب می‌کند برابر است با

EAR=\left(1+\frac{0.24}{2}\right)^{2}-1=(1.12)^{2}-1=25.44\%

و نردبان کامل تواتر برای همان نرخ اسمی $24\%$ چنین است

24\%\;<\;25.44\%\;<\;(1.06)^{4}-1=26.25\%\;<\;(1.02)^{12}-1=26.82\%\;<\;e^{0.24}-1=27.12\%

پس پاسخ هر پرسشِ بازه‌ای روی تواترها با نام بردن دو سر آن داده می‌شود. اگر همان $24\%$ به‌جای آن به‌صورت نرخ مؤثر اعلام شده بود، نرخ شش‌ماهه ریشهٔ $(1.24)^{1/2}-1=11.36\%$ می‌شد، نه $12\%$ — عددی کاملاً متفاوت.

بخش ۴ — دیرش. ورقه‌ای $2$ ساله با $F=1000$ ، کوپن سالانهٔ $10\%$ ، به قیمت اسمی ( $y=10\%$ ، $P=1000$ ):

D_{\text{Mac}}=\frac{1\cdot\frac{100}{1.1}+2\cdot\frac{1100}{1.21}}{1000}=\frac{90.91+1818.18}{1000}=1.909\ \text{years}, \qquad D_{\text{mod}}=\frac{1.909}{1.10}=1.736

یک شوک $+100$ واحد پایه، $\Delta P/P\approx-1.736\%$ را پیش‌بینی می‌کند؛ قیمت‌گذاری دقیق مجدد در $y=11\%$ مقدار $P=982.88$ یعنی $-1.71\%$ را می‌دهد. زیان پیش‌بینی‌شده اندکی بزرگ‌تر از زیان واقعی است — همین شکاف، تحدب است.

۵. اشتباه نشود با… — Confused with

معیارهای بازدهی یک ورقهٔ واحد

معیار	چه چیزی را می‌شمارد	ثابت است یا متغیر؟	تنها زمانی با بقیه برابر است که
نرخ کوپن (coupon rate)	وجه نقد قراردادی بر پایهٔ ارزش اسمی	تا پایان عمر، از زمان انتشار ثابت	ورقه به قیمت اسمی معامله شود
بازده جاری (current yield)	کوپن سالانه بر پایهٔ قیمت بازار	با قیمت حرکت می‌کند	ورقه به قیمت اسمی معامله شود
بازده تا سررسید (YTM)	درآمد کوپن به‌علاوهٔ سود یا زیان حرکت به سمت ارزش اسمی، به‌صورت مرکب	با قیمت حرکت می‌کند	ورقه به قیمت اسمی معامله شود
بازده تا بازخرید (YTC)	همان نرخ بازده داخلی، اما تا تاریخ و قیمت بازخرید	فقط برای اوراق قابل بازخرید موضوعیت دارد	ارزش‌گذاری جریان‌های بازخرید و سررسید اتفاقاً نرخ بازده داخلی یکسان بدهد

سه صرف ریسک

صرف	با ثابت نگه داشتن چه چیزی جدا می‌شود	محرک آن	چه زمانی صفر است
نکول (default)	سررسید و نقدشوندگی	اعتبار ناشر	فرض مبنای مدل، نکول را کنار بگذارد
نقدشوندگی (liquidity)	سررسید و ریسک نکول	عمق بازار، شکاف خرید–فروش، حجم انتشار	مدل نبودِ کاستی نقدشوندگی را فرض کند؛ معاملات عمیق آن را کاهش می‌دهند
سررسید (maturity)	نقدشوندگی و ریسک نکول	دیرش — طول سررسید و اندازهٔ کوپن	در نظریهٔ انتظارات محض صفر فرض شود؛ نگهداری تا سررسید صرف بازار را حذف نمی‌کند

قراردادهای نرخ

زوج	تفاوت	آزمونی که آن‌ها را جدا می‌کند
اسمی (nominal / APR) در برابر مؤثر (effective / EAR)	یک اعلام در برابر ضریب رشد واقعی یک‌ساله	برای نرخ اسمی مثبت و $m>1$ ، داریم $EAR>r_{nom}$ ؛ تنها در $m=1$ منطبق می‌شوند. اسمی ⇐ تقسیم سپس ترکیب؛ مؤثر ⇐ گرفتن ریشه
نرخ دوره‌ای (periodic) در برابر نرخ سالانه (annual)	نرخ هر دورهٔ کوپن در برابر نرخ هر سال	$n$ باید با همان واحدی شمرده شود که نرخ دارد
اسمی (nominal) در برابر واقعی (real)	پیش از تورم در برابر پس از تورم	فیشر: $1+i=(1+r)(1+\pi^{e})$ ، پس $i\approx r+\pi^{e}$
مرکب گسسته در برابر مرکب پیوسته	یک $m$ متناهی در برابر $m\to\infty$	حالت پیوسته کران بالای $e^{r}-1$ است که هیچ تواتر متناهی به آن نمی‌رسد
بازده تنزیلی بانکی در برابر بازده مؤثر سالانه	تنزیل سالانه‌شده بر پایهٔ ارزش اسمی و ۳۶۰ روز در برابر سود مرکب سالانه بر پایهٔ قیمت و روزهای واقعی	با تنزیل مثبت و سررسید حداکثر یک سال، بازده تنزیلی از بازده مؤثر سالانه کمتر است؛ نرخ سالانه را مستقیماً با HPY سالانه‌نشده مقایسه نکنید

مفاهیم ریسک

زوج	تفاوت
ریسک نکول در برابر ریسک نرخ بهره	ناشر اصلاً پرداخت نمی‌کند، در برابر اینکه ناشر کاملاً پرداخت می‌کند اما نرخ‌های بازار بالا می‌روند و قیمت افت می‌کند
ریسک قیمت در برابر ریسک سرمایه‌گذاری مجدد (reinvestment risk)	افزایش نرخ‌ها به قیمت آسیب می‌زند اما به سرمایه‌گذاری مجدد کوپن‌ها کمک می‌کند — در حوالی افق دیرش مکالی، با تغییر کوچک و موازی نرخ و ثبات جریان‌های وعده‌داده‌شده، این دو در مرتبهٔ اول یکدیگر را خنثی می‌کنند
دیرش مکالی در برابر دیرش تعدیل‌شده	یک زمان بر حسب سال در برابر یک حساسیت بر حسب درصد به ازای واحد بازدهی؛ $D_{\text{mod}}=D_{\text{Mac}}/(1+y)$
سررسید (maturity) در برابر دیرش (duration)	تاریخ آخرین پرداخت در برابر میانگین موزون تاریخ همهٔ پرداخت‌ها؛ این دو تنها برای ورقهٔ بدون کوپن برابرند
صرف ریسک (risk premium) در برابر نرخ بازده (yield)	یک تفاوت میان دو ورقه در برابر یک سطح برای یک ورقه

نکتهٔ کنکوری: چهار تمایزدهنده تقریباً هر سؤال درآمد ثابت را حل می‌کنند. (۱) صرف یک تفاوت است، نه یک سطح — پیش از کم کردن دو بازدهی، مطمئن شوید که همهٔ ستون‌های دیگر یکسان‌اند؛ زوجی که در دو ستون تفاوت دارد یک ترکیب می‌دهد، و نرخ خودِ یک ورقه هرگز صرف نیست. (۲) قیمت و بازدهی در جهت‌های مخالف حرکت می‌کنند، پس $c>y\Rightarrow$ بالاتر از اسمی، $c<y\Rightarrow$ زیر اسمی، و بازده جاری همیشه بین نرخ کوپن و بازده تا سررسید است. (۳) اسمی ⇐ تقسیم، سپس ترکیب؛ مؤثر ⇐ گرفتن ریشه. چون $\left(1+\tfrac{r}{m}\right)^{m}$ نسبت به $m$ صعودی است، نردبان EAR از ترکیب سالانه (که در آن EAR برابر نرخ اسمی است) تا سقف پیوستهٔ $e^{r}-1$ بالا می‌رود — پس پاسخ پرسشِ بازه‌ای روی تواترها همان دو تواتر حدی آن است، و کف بازه تنها در صورتی خودِ نرخ اسمی است که صورت سؤال واقعاً از ترکیب سالانه شروع کند. (۴) حساسیت با دیرش سنجیده می‌شود، نه با سررسید — سررسید بلندتر و کوپن کمتر، هر دو آن را بالا می‌برند. با نمرهٔ منفی، این‌ها را نخست به‌عنوان حذف‌کننده به کار ببرید: هر گزینه‌ای که به‌جای تفاوت یک سطح می‌دهد، یا EAR را زیر نرخ اسمی می‌نشاند، پیش از هر محاسبه‌ای خط می‌خورد. یوریبور ← یورو + بازار اروپا؛ شاخص مرجع، نه کوپن ثابت است و نه صرف ناشر.

فرمول‌های کلیدی

Bond price as an annuity plus a single sum

P=C\cdot\frac{1-(1+y)^{-n}}{y}+F\,(1+y)^{-n}

Zero-coupon bond price and its yield

P=\frac{F}{(1+y)^{n}},\qquad y=\left(\frac{F}{P}\right)^{1/n}-1

Current yield

CY=\frac{cF}{P}

Premium / par / discount ordering

y<c\Rightarrow P>F\ (y<CY<c),\qquad y=c\Rightarrow P=F,\qquad y>c\Rightarrow P<F\ (c<CY<y)

Building-block decomposition of a quoted yield

y_i=r^{*}+IP+DRP_i+LRP_i+MRP_i

Isolating one premium from a matched pair

\text{premium}_k=y_{\text{(exposed to }k)}-y_{\text{(otherwise identical)}}

Fisher equation (nominal, real and expected inflation)

(1+i)=(1+r)\left(1+\pi^{e}\right),\qquad i\approx r+\pi^{e}

Implied one-period forward rate

(1+s_2)^{2}=(1+s_1)\left(1+f_{1,2}\right)

Macaulay duration

D_{\text{Mac}}=\sum_{t=1}^{n} t\,w_t,\qquad w_t=\frac{CF_t/(1+y)^{t}}{P}

Modified duration and the price-change approximation

D_{\text{mod}}=\frac{D_{\text{Mac}}}{1+y},\qquad \frac{\Delta P}{P}\approx -D_{\text{mod}}\,\Delta y+\tfrac12\,\text{Conv}\,(\Delta y)^{2}

Effective annual rate from a nominal rate

EAR=\left(1+\frac{r}{m}\right)^{m}-1\;\xrightarrow[m\to\infty]{}\;e^{\,r}-1

Monotonicity of the EAR in compounding frequency

r=EAR_{1}<EAR_{2}<EAR_{4}<EAR_{12}<\dots<e^{\,r}-1

Periodic and continuous rates implied by an effective annual rate

r_{\text{per}}=(1+EAR)^{1/m}-1,\qquad r_{\text{cont}}=\ln(1+EAR)

Bank discount yield versus holding-period and effective annual yields

BDY=\frac{F-P}{F}\cdot\frac{360}{t},\qquad HPY=\frac{F-P}{P},\qquad EAY=(1+HPY)^{365/t}-1

Simple floating coupon: reference index plus contractual margin

r_t=b_t+s

#fixed-income#bond-valuation#yield-to-maturity#risk-premiums#effective-annual-rate#duration-convexity#reference-rates

کارت‌های مرتبط

فرمولمدیریت مالی

ارزش زمانی پول و بازده مرکب

کل دستگاه ارزش زمانی پول — مرکب کردن و تنزیل، چهار ضریب بهره، همهٔ الگوهای اقساط/عایدی دائمی/رشد، نرخ اسمی در برابر نرخ مؤثر، و بازده مرکب (هندسی) چنددوره‌ای همراه با نامساوی میانگین حسابی–هندسی که بر آن حاکم است.

time-value-of-moneypresent-valueannuity-factorsgrowing-perpetuity

فرمولمدیریت مالی

تنزیل سود تقسیمی و مدل رشد گوردون (Dividend Discount & the Gordon Growth Model)

ارزش هر سهم را برابر ارزش فعلی جریان سودهای تقسیمی مورد انتظار آن می‌گیرد و — تحت فرض رشد ثابت و دائمی — این جریان را در فرمول گوردون P0 = D1/(ke - g) خلاصه می‌کند؛ همراه با قاعدهٔ زمان‌بندی، اتحادهای نرخ رشد ضمنی و رشد پایدار، و بسط‌های چندمرحله‌ای.

gordon-growth-modeldividend-discount-modelstock-valuationrequired-rate-of-return

سوالات تمرینی · 8/18

مدیریت سرمایه‌گذاری و ریسکمتوسطاوراق بهادار با درآمد ثابتکنکور ارشد مدیریت ۱۴۰۵ — سؤال ۱۹۶

براساس داده‌های زیر، صرف ریسک نقدشوندگی، چند درصد است؟ قرضه مدت تا سررسید ــ سال نقدشوندگی ریسک نکول نرخ کوپن ــ درصد --- --- --- --- --- A ۲ زیاد کم ۱۰ B ۲ کم زیاد ۱۲/۵ C ۸ کم کم ۲۰ D ۸ زیاد کم ۳۳

مدیریت سرمایه‌گذاری و ریسکمتوسطاوراق بهادار با درآمد ثابتکنکور ارشد مدیریت ۱۴۰۵ — سؤال ۲۰۹

یک فرصت سرمایه‌گذاری با نرخ اسمی ۲۰ درصد اعلام شده است. اگر سود با دفعات مختلف (از ۶ ماهه تا پیوسته) پرداخت شود، دامنه نرخ سود مؤثر سالانه این سرمایه‌گذاری کدام است؟

مدیریت سرمایه‌گذاری و ریسکمتوسطاوراق بهادار با درآمد ثابتکنکور ارشد مدیریت ۱۴۰۴ — سؤال ۲۰۷

قیمت جاری قرضه‌ای با کوپن ۲۴ درصد و دیرش ۶/۲ سال، معادل قیمت اسمی آن (۱,۰۰۰,۰۰۰ ریال) است. برای این‌که نرخ بازده تا سررسید به میزان ۰/۰۲ (۲ واحد درصد) افزایش یابد، قیمت قرضه باید چند هزار ریال باشد؟

مدیریت سرمایه‌گذاری و ریسکمتوسطاوراق بهادار با درآمد ثابتکنکور ارشد مدیریت ۱۴۰۴ — سؤال ۲۰۹

در شرایطی که بازار انتظار افزایش نرخ بهره داشته باشد نسبت .................... .

مدیریت مالیمتوسطارزش زمانی پولکنکور ارشد مدیریت ۱۴۰۳ — سؤال ۱۵۱

در ساختار زمانی نرخ بهره، کدام عوامل منعکس می‌شود؟ الف) صرف ریسک اعتباری ب) نرخ بهره واقعی ج) ریسک سرمایه‌گذاری مجدد د) صرف تورم

مدیریت سرمایه‌گذاری و ریسکمتوسطاوراق بهادار با درآمد ثابتکنکور ارشد مدیریت ۱۴۰۳ — سؤال ۲۰۳

با توجه به داده‌های زیر، اگر نرخ‌های بهره تغییر نکند و منحنی نرخ‌های بهره هموار (Flat) باشد، با فرض ثبات سایر عوامل، انتظار می‌رود با گذشت یک سال قیمت قرضه A و قیمت قرضه B چگونه باشد؟ مشخصه قرضه A…

مدیریت سرمایه‌گذاری و ریسکمتوسطاوراق بهادار با درآمد ثابتکنکور ارشد مدیریت ۱۴۰۳ — سؤال ۲۰۸

میزان تغییر در ارزش قرضه‌ای با نرخ کوپن ۲۰ درصد در هریک از حالت‌های «الف» و «ب»، چگونه است؟ الف ـ نرخ بهره بازار از ۲۰ به ۲۲ درصد افزایش یابد. ب ـ نرخ بهره بازار از ۲۰ به ۱۸ درصد کاهش یابد.

اقتصاد خرد و کلانآسانپول، بانکداری و سیاست پولیکنکور ارشد مدیریت ۱۴۰۲ — سؤال ۱۰۳

اگر تورم انتظاری ۲٪، نرخ بهره اسمی ۷٪ و اقتصاد با نرخ ۳٪ رشد کند، نرخ بهره واقعی چند درصد است؟

همهٔ 18 سؤال →