سوال ۹۲ کنکور ارشد مهندسی برق ۱۴۰۰ — سیستم حلقه بستهٔ پایدار شکل زیر را در نظر بگیرید؛ که در آن رابطهٔ زیر…

Question

سیستم حلقه بستهٔ پایدار شکل زیر را در نظر بگیرید؛ که در آن رابطهٔ زیر داده شده است. نوع سیستم نسبت به اغتشاش‌های $W_1$ ، $W_2$ و $W_3$ ، به‌ترتیب کدام است؟

G_1(s)=\frac{k_1\prod_{i=1}^{m_1}(s+z_{1i})}{s^{L_1}\prod_{i=1}^{m_1}(s+p_{1i})},\qquad G_2(s)=\frac{k_2\prod_{i=1}^{m_1}(s+z_{2i})}{s^{L_2}\prod_{i=1}^{m_1}(s+p_{2i})}

شکل (نمودار بلوکی): ورودی مرجع $r(t)$ و اغتشاش $W_1$ به‌همراه خروجی فیدبک‌شدهٔ $y$ (فیدبک واحد) به جمع‌کنندهٔ اول وارد می‌شوند. خروجی این جمع‌کننده به $G_1(s)$ می‌رود. خروجی $G_1(s)$ در جمع‌کنندهٔ دوم با اغتشاش $W_2$ جمع می‌شود و به $G_2(s)$ می‌رود. خروجی $G_2(s)$ در جمع‌کنندهٔ سوم با اغتشاش $W_3$ جمع می‌شود و خروجی $y$ را می‌سازد.

پاسخ صحیح: گزینهٔ B — صفر، $L_1$ و $L_1+L_2$

پاسخ تشریحی

ایده. اغتشاش نباید در خروجی ظاهر شود؛ بنابراین خطای ناشی از اغتشاش $W_k$ همان مؤلفهٔ خروجی $y_{W_k}$ است. نوع سیستم نسبت به $W_k$ برابر است با تعداد صفرهای واقع در $s=0$ تابع تبدیل $T_k(s)=Y(s)/W_k(s)$ : با $N$ صفر از این نوع، اغتشاش‌های چندجمله‌ای تا $t^{N-1}$ در حالت ماندگار به‌طور کامل حذف می‌شوند و $t^{N}$ خطایی محدود و غیرصفر بر جای می‌گذارد.

نمادگذاری. می‌نویسیم $G_1=\dfrac{N_1(s)}{s^{L_1}D_1(s)}$ و $G_2=\dfrac{N_2(s)}{s^{L_2}D_2(s)}$ که در آن $N_1,N_2,D_1,D_2$ در $s=0$ غیرصفرند. علامت فیدبک را $\sigma=\pm1$ می‌گیریم (در شکل، کنار ورودی فیدبک علامت مثبت چاپ شده است؛ فیدبک منفی معمول متناظر با $\sigma=-1$ است)، پس مخرج حلقه $1-\sigma G_1G_2$ است. این علامت بر تعداد صفرهای واقع در مبدأ اثری ندارد. تعریف می‌کنیم

\Delta(s)=s^{L_1+L_2}D_1D_2-\sigma N_1N_2 ,\qquad \Delta(0)=-\sigma N_1(0)N_2(0)\neq 0

(به ازای $L_1+L_2\ge 1$ )؛ $\Delta$ چندجمله‌ای مشخصهٔ حلقه‌بسته است که چون حلقه پایدار است، هرویتز است.

اغتشاش $W_3$ (در خروجی).

T_3=\frac{Y}{W_3}=\frac{1}{1-\sigma G_1G_2}=\frac{s^{L_1+L_2}D_1D_2}{\Delta(s)}

تعداد $L_1+L_2$ صفر در مبدأ وجود دارد، پس نوع سیستم $L_1+L_2$ است.

اغتشاش $W_2$ (بین $G_1$ و $G_2$ ).

T_2=\frac{Y}{W_2}=\frac{G_2}{1-\sigma G_1G_2}=\frac{s^{L_1}D_1N_2}{\Delta(s)}

عامل $s^{L_2}$ مربوط به $G_2$ ساده می‌شود؛ فقط $L_1$ انتگرال‌گیر $G_1$ (آن‌هایی که پیش از نقطهٔ ورود اغتشاش قرار دارند) به‌صورت صفر در مبدأ باقی می‌مانند. نوع سیستم $L_1$ است.

اغتشاش $W_1$ (در نقطهٔ جمع ورودی، همراه با $r$ ).

T_1=\frac{Y}{W_1}=\frac{G_1G_2}{1-\sigma G_1G_2}=\frac{N_1N_2}{\Delta(s)},\qquad T_1(0)=-\sigma\neq 0

هیچ صفری در مبدأ وجود ندارد: حتی یک $W_1$ ثابت نیز با بهره‌ای به اندازهٔ $1$ به خروجی می‌رسد (دقیقاً مانند ورودی مرجع). نوع سیستم صفر است.

نتیجه. نوع سیستم نسبت به $W_1$ ، $W_2$ ، $W_3$ به‌ترتیب $0$ ، $L_1$ ، $L_1+L_2$ است که همان گزینهٔ ۲ است.

گزینه	چرا نادرست یا درست است
1	برای $W_3$ مقدار $L_2$ را می‌دهد، در حالی که $W_3$ همهٔ انتگرال‌گیرهای حلقه را می‌بیند: $L_1+L_2$ .
2	درست: $0$ ، $L_1$ ، $L_1+L_2$ .
3	$L_1+L_2$ نوع سیستم نسبت به $W_3$ (و نسبت به خطای ردیابی ورودی مرجع) است، نه نسبت به $W_1$ یا $W_2$ .
4	نوع سیستم برای هر ورودی، از روی صفرهای واقع در $s=0$ تابع تبدیل خطای آن، به‌خوبی تعریف می‌شود.

نکتهٔ کنکوری: نوع سیستم نسبت به یک اغتشاش برابر است با تعداد انتگرال‌گیرهای حلقه که بین نقطهٔ جمع خطا (ورودی) و نقطهٔ ورود اغتشاش قرار دارند — عامل‌های $1/s$ بالادستِ اغتشاش را بشمارید. بالادست $W_1$ : هیچ. بالادست $W_2$ : $L_1$ . بالادست $W_3$ : $L_1+L_2$ .

Accepted Answer

صفر، L_1 و L_1+L_2

Answer

صفر، L_1 و L_2

Answer

نسبت به هر سه برابر L_1+L_2

Answer

نوع فقط نسبت به ورودی مرجع (r) تعریف می‌شود و نسبت به سه ورودی، اغتشاش تعریف نشده است.

کارت‌های مرتبط