سوال ۹۳ کنکور ارشد مهندسی برق ۱۴۰۰

صورت‌بندی. سیستم مرتبهٔ دوم استاندارد عبارت است از

به ازای $0<\xi<1$ پاسخ پلهٔ واحد آن برابر است با

زمان صعود (۰ تا ۱۰۰ درصد). نخستین بار که $y(t)=1$ می‌شود هنگامی است که $\omega_d t+\theta=\pi$:

زمان نشست (۲ درصد). از پوش $e^{-\xi\omega_n t}$ داریم:

مقایسهٔ این دو. نسبت آن‌ها فقط به $\xi$ بستگی دارد:

وقتی $\xi\to 1^{-}$، مخرج $\sqrt{1-\xi^{2}}\to 0$ میل می‌کند، پس $T_r\to\infty$ در حالی که $T_s$ متناهی می‌ماند: این نسبت بدون کران بزرگ می‌شود. نقطهٔ تلاقی $T_r=T_s$ تقریباً در $\xi\approx 0.84$ رخ می‌دهد.

این نتیجه ناشی از تقریب $T_s\simeq 4/(\xi\omega_n)$ نیست. فراجهش برابر است با $M_p=e^{-\pi\xi/\sqrt{1-\xi^{2}}}$ که به ازای $\xi>0.78$ کمتر از $2\%$ است (در $\xi=0.9$، $M_p\approx 0.15\%$). در این صورت پاسخ در مسیر صعود خود، پیش از آنکه به $100\%$ برسد وارد نوار $\pm 2\%$ می‌شود و دیگر هرگز از آن خارج نمی‌شود؛ بنابراین $T_s$ واقعی از $T_r$ کوچک‌تر است.

بررسی تک‌تک گزینه‌ها.

1. فرامیرا ($\xi>1$): پاسخ مجموع دو نمایی حقیقی میراشونده است و به‌صورت یکنوا از پایین به مقدار نهایی نزدیک می‌شود و هرگز در زمان متناهی به آن نمی‌رسد، پس $T_r=\infty$. درست است.
2. «$T_s$ قطعاً از $T_r$ بزرگ‌تر است» به ازای هر $\xi<1$: نادرست است؛ برای نمونه $\xi=0.9$ نتیجه می‌دهد $T_r>T_s$. گزارهٔ نادرست.
3. $T_r$ می‌تواند از $T_s$ کوچک‌تر باشد: درست است؛ برای نمونه $\xi=0.5$. درست است.
4. $T_r$ می‌تواند از $T_s$ بزرگ‌تر باشد: درست است؛ برای نمونه $\xi=0.9$. درست است.

گزاره‌ای که درست نیست گزینهٔ ۲ است که با کلید رسمی نیز مطابقت دارد.

نکتهٔ کنکوری: گزینه‌های ۲ و ۴ با یکدیگر متناقض‌اند، پس یکی از آن دو باید نادرست باشد. فرض کنید $\xi\to 1^{-}$: $T_r=\dfrac{\pi-\theta}{\omega_n\sqrt{1-\xi^{2}}}\to\infty$ در حالی که $T_s\simeq\dfrac{4}{\xi\omega_n}\to\dfrac{4}{\omega_n}$، پس $T_r$ می‌تواند از $T_s$ بیشتر شود و گزینهٔ ۲ رد می‌شود.