سوال ۸۶ کنکور ارشد ریاضی ۱۴۰۴

در ضرب مستقیم گروه‌ها، مرتبهٔ یک سه‌تایی برابر با کوچک‌ترین مضرب مشترک مرتبه‌های مؤلفه‌هایش است: $\operatorname{ord}(a_1, a_2, a_3) = \operatorname{lcm}\big(\operatorname{ord}(a_1),\, \operatorname{ord}(a_2),\, \operatorname{ord}(a_3)\big).$

در گروه دوری $\mathbb{Z}_n$، مرتبهٔ جمعی عنصر $a$ برابر است با $\operatorname{ord}(a) = \frac{n}{\gcd(n, a)}.$

مؤلفهٔ ۱ — $10 \in \mathbb{Z}_{45}$: $\operatorname{ord}(10) = \frac{45}{\gcd(45, 10)} = \frac{45}{5} = 9.$

مؤلفهٔ ۲ — $8 \in \mathbb{Z}_{36}$: $\operatorname{ord}(8) = \frac{36}{\gcd(36, 8)} = \frac{36}{4} = 9.$

مؤلفهٔ ۳ — $5 \in \mathbb{Z}_{70}$: $\operatorname{ord}(5) = \frac{70}{\gcd(70, 5)} = \frac{70}{5} = 14.$

بنابراین $\operatorname{ord}(10, 8, 5) = \operatorname{lcm}(9, 9, 14).$

تجزیه: $9 = 3^{2}$ و $14 = 2 \cdot 7$ هیچ عامل اول مشترکی ندارند، پس $\operatorname{lcm}(9, 9, 14) = 9 \cdot 14 = 126.$

پاسخ $\boxed{126}$، گزینهٔ ۳ است.

تلهٔ رایج: برای مرتبهٔ $a$ در $\mathbb{Z}_n$ از $n/\gcd(n,a)$ استفاده کنید — نه از مقدار سادهٔ $a$ یا $n$ — و به یاد داشته باشید مرتبهٔ کل برابر با lcm (نه حاصل‌ضرب) مرتبه‌های مؤلفه‌هاست. جفت‌کردن هر درایه با پیمانهٔ نادرست (مثلاً خواندن سه‌تایی از راست به چپ) به lcm$(9,9,7)=63$ می‌رسد که مقداری نادرست است؛ مؤلفه‌ها را از چپ به راست با $\mathbb{Z}_{45},\mathbb{Z}_{36},\mathbb{Z}_{70}$ هم‌تراز نگه دارید.