مبانی نظریهٔ گروه‌ها (مرتبه، گروه‌های دوری، لاگرانژ و مرکز)

جعبه‌ابزاری فشرده اما کامل برای پرسش‌های تکرارشوندهٔ کنکور در نظریهٔ گروه‌ها: محاسبهٔ مرتبهٔ عنصرها، ساختار کامل گروه‌های دوری به‌همراه شبکهٔ زیرگروه‌ها، یکه‌ها و خودریختی‌ها، شمارش عنصرهای با مرتبهٔ معیّن، قضیهٔ لاگرانژ با هم‌مجموعه‌ها، اندیس‌ها و فرمول حاصل‌ضرب، و مرکز $Z(G)$ به‌همراه قضیهٔ $G/Z$.

در سراسر این نوشتار $G$ گروهی با عضو همانی $e$ است (در نماد جمعی $0$)، $|G|$ مرتبهٔ آن (تعداد عنصرها) است، و $H\le G$ یعنی «$H$ زیرگروهی از $G$ است».

۱. مرتبهٔ یک عنصر

مرتبهٔ $g\in G$ کوچک‌ترین $k\ge 1$ با شرط $g^{k}=e$ است (در نماد جمعی: کوچک‌ترین $k\ge1$ با $kg=0$)؛ اگر چنین $k$ ای وجود نداشته باشد مرتبه نامتناهی است. آن را با $\operatorname{ord}(g)$ یا $|g|$ نشان می‌دهیم. سه واقعیت بیشترِ کار را انجام می‌دهند.

• بخش‌پذیری. $g^{m}=e\iff\operatorname{ord}(g)\mid m$. این نکته در کنار قضیهٔ لاگرانژ (بخش ۵) نتیجه می‌دهد $\operatorname{ord}(g)\mid|G|$ و $g^{|G|}=e$ برای هر عنصر یک گروه متناهی.

• توان‌ها. اگر $\operatorname{ord}(g)=n$ باشد آنگاه $\operatorname{ord}(g^{k})=\frac{n}{\gcd(n,k)}.$ به‌ویژه $g^{k}$ مولد $\langle g\rangle$ است اگر و تنها اگر $\gcd(k,n)=1$. در نماد جمعی و در $\mathbb{Z}_n$ این رابطه به‌صورت $\operatorname{ord}(a)=n/\gcd(n,a)$ درمی‌آید، پس $a$ مولد $\mathbb{Z}_n$ است اگر و تنها اگر $\gcd(a,n)=1$، و $\mathbb{Z}_n$ دقیقاً $\varphi(n)$ مولد دارد.

• حاصل‌ضرب مستقیم. مرتبهٔ یک چندتایی برابر ک.م.م مرتبه‌های مؤلفه‌هاست — نه حاصل‌ضرب و نه مجموع آن‌ها: $\operatorname{ord}(a_1,\dots,a_r)=\operatorname{lcm}\big(\operatorname{ord}(a_1),\dots,\operatorname{ord}(a_r)\big).$

دو قاعدهٔ دیگر: اگر $ab=ba$ و $\gcd(\operatorname{ord}(a),\operatorname{ord}(b))=1$ باشد آنگاه $\operatorname{ord}(ab)=\operatorname{ord}(a)\operatorname{ord}(b)$؛ اما بدون جابه‌جایی‌پذیری هیچ چیز نمی‌توان گفت (در $S_3$ حاصل‌ضرب دو عنصر از مرتبهٔ $2$ عنصری از مرتبهٔ $3$ است، و در $GL_2(\mathbb{Q})$ حاصل‌ضرب دو عنصر با مرتبهٔ متناهی می‌تواند مرتبهٔ نامتناهی داشته باشد).

مثال. در $\mathbb{Z}_{45}\times\mathbb{Z}_{36}\times\mathbb{Z}_{70}$ عنصر $(10,8,5)$ مرتبه‌های مؤلفه‌ای $\tfrac{45}{\gcd(45,10)}=9$، $\tfrac{36}{\gcd(36,8)}=9$ و $\tfrac{70}{\gcd(70,5)}=14$ دارد، پس $\operatorname{ord}(10,8,5)=\operatorname{lcm}(9,9,14)=126$.

نمای $\exp(G)$ برابر ک.م.م همهٔ مرتبه‌های عنصرهاست؛ یک گروه آبلی متناهی دوری است اگر و تنها اگر $\exp(G)=|G|$.

۲. گروه‌های دوری: تصویر کامل

$G$ دوری است اگر برای برخی $g$ داشته باشیم $G=\langle g\rangle=\{g^{k}:k\in\mathbb{Z}\}$. تا حد یکریختی، تنها گروه‌های دوری عبارت‌اند از $\mathbb{Z}$ (نامتناهی) و $\mathbb{Z}_n$ (از مرتبهٔ $n$). گروه‌های دوری آبلی‌اند و هر زیرگروه و هر خارج‌قسمت یک گروه دوری نیز دوری است.

قضیهٔ اساسی گروه‌های دوری. فرض کنید $|\langle g\rangle|=n$ و آن را با $\mathbb{Z}_n$ یکی بگیریم. آنگاه

1. برای هر $a$ داریم $\langle a\rangle=\langle\gcd(a,n)\rangle$ و $|\langle a\rangle|=n/\gcd(a,n)$؛
2. برای هر مقسوم‌علیه $d\mid n$ دقیقاً یک زیرگروه از مرتبهٔ $d$ وجود دارد، یعنی $\langle n/d\rangle$ — پس عکس قضیهٔ لاگرانژ درون یک گروه دوری برقرار است؛
3. آن زیرگروه $\varphi(d)$ مولد دارد، یعنی $\mathbb{Z}_n$ دقیقاً $\varphi(d)$ عنصر از مرتبهٔ $d$ دارد؛ جمع‌زدن روی مقسوم‌علیه‌ها رابطهٔ $\sum_{d\mid n}\varphi(d)=n$ را بازمی‌گرداند؛
4. شبکهٔ زیرگروه‌ها با شبکهٔ مقسوم‌علیه‌های $n$ یکریخت است: برای مقسوم‌علیه‌های $d_1,d_2$ از $n$، $\ \langle d_1\rangle\subseteq\langle d_2\rangle\iff d_2\mid d_1$.

حساب ب.م.م/ک.م.م درون $\mathbb{Z}_n$

نخست هر مولد را به $d_i=\gcd(a_i,n)$ که مقسوم‌علیهی از $n$ است بهنجار کنید؛ آنگاه همه‌چیز به حساب مقسوم‌علیه‌ها تبدیل می‌شود.

(دلیل اشتراک: یک باقی‌مانده در هر دو زیرگروه است اگر و تنها اگر هم مضربی از $d_1$ و هم مضربی از $d_2$ باشد، یعنی مضربی از $\operatorname{lcm}(d_1,d_2)$.)

حاصل‌ضرب‌ها و قضیهٔ باقی‌مانده‌های چینی

$\mathbb{Z}_m\times\mathbb{Z}_n\cong\mathbb{Z}_{mn}\iff\gcd(m,n)=1,\qquad\text{and in general}\quad\mathbb{Z}_m\times\mathbb{Z}_n\cong\mathbb{Z}_{\gcd(m,n)}\times\mathbb{Z}_{\operatorname{lcm}(m,n)}.$

پس $\mathbb{Z}_6\times\mathbb{Z}_6$ دوری نیست ($\gcd=6\ne1$): بزرگ‌ترین مرتبهٔ عنصرهای آن $\operatorname{lcm}(6,6)=6$ است، نه $36$.

یکه‌ها و خودریختی‌ها

$\text{Units: }(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^{\times}=\{\,a:\gcd(a,n)=1\,\},\qquad\big|(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^{\times}\big|=\varphi(n).$

$\operatorname{Aut}(\mathbb{Z}_n)\;\cong\;(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^{\times},\qquad\big|\operatorname{Aut}(\mathbb{Z}_n)\big|=\varphi(n).$

چرا: یک همریختی از یک گروه دوری با $\phi(1)=a$ کاملاً تعیین می‌شود، و $\phi$ دوسویی است اگر و تنها اگر $a$ نیز مولد باشد، یعنی $\gcd(a,n)=1$؛ آنگاه $x\mapsto ax$ یکریختی با گروه یکه‌ها را می‌سازد. (اگر به‌جای آن همهٔ همریختی‌های $\mathbb{Z}_m\to\mathbb{Z}_n$ را بشماریم پاسخ $\gcd(m,n)$ می‌شود — پرسشی همسایه با پاسخی متفاوت.)

مثال. $|\operatorname{Aut}(\mathbb{Z}_{15})|=\varphi(15)=\varphi(3)\varphi(5)=2\cdot4=8$ — نه $15$ و نه $15^{2}=225$.

تابع فی اویلر که روی عامل‌های نسبت‌به‌هم اول ضربی است: برای $n=\prod_i p_i^{e_i}$، $\varphi(n)=n\prod_{p\mid n}\left(1-\frac1p\right)=\prod_i p_i^{e_i-1}(p_i-1).$

ساختار گروه‌های یکه (برای پرسشِ «$(\mathbb{Z}/n)^{\times}$ کدام گروه است؟»): $(\mathbb{Z}/p^{k})^{\times}$ برای عدد اول فرد $p$ دوری است؛ $(\mathbb{Z}/4)^{\times}\cong\mathbb{Z}_2$ و $(\mathbb{Z}/2^{k})^{\times}\cong\mathbb{Z}_2\times\mathbb{Z}_{2^{k-2}}$ برای $k\ge3$؛ و برای $n$ مرکب از تجزیهٔ حاصل از قضیهٔ باقی‌مانده‌های چینی یعنی $(\mathbb{Z}/n)^{\times}\cong\prod_i(\mathbb{Z}/p_i^{e_i})^{\times}$ استفاده کنید.

رده‌بندی گروه‌های یکهٔ کوچک

هر گروه از مرتبهٔ $4$ یا $\mathbb{Z}_4$ است (عنصری از مرتبهٔ $4$ دارد) یا گروه چهارتایی کلاین $V_4\cong\mathbb{Z}_2\times\mathbb{Z}_2$ (هر عنصر غیرهمانی مرتبهٔ $2$ دارد). تشخیص با به‌توان‌دو‌رساندن عنصرهای غیرهمانی انجام می‌شود.

مثال. $(\mathbb{Z}/8)^{\times}=\{1,3,5,7\}$ مرتبهٔ $\varphi(8)=4$ دارد و $3^{2}\equiv5^{2}\equiv7^{2}\equiv1\pmod 8$، پس هیچ عنصری مرتبهٔ $4$ ندارد: $(\mathbb{Z}/8)^{\times}\cong V_4$ — دقیقاً حالت $k=3$ از $(\mathbb{Z}/2^{k})^{\times}\cong\mathbb{Z}_2\times\mathbb{Z}_{2^{k-2}}$.

۳. اشتراک، اجتماع و حاصل‌ضرب زیرگروه‌ها

فرض کنید $H,K\le G$.

• $H\cap K\le G$ همواره برقرار است؛ اما $H\cup K$ تنها وقتی زیرگروه است که یکی دیگری را دربر بگیرد. اجتماع تولیدشده $\langle H\cup K\rangle$ کوچک‌ترین زیرگروه شامل هر دو است.
• مجموعهٔ $HK=\{hk:h\in H,k\in K\}$ زیرگروه است اگر و تنها اگر $HK=KH$ — که وقتی $G$ آبلی باشد یا یکی از دو عامل نرمال باشد خودبه‌خود برقرار است؛ در آن صورت $HK=\langle H\cup K\rangle$.
• فرمول حاصل‌ضرب (یک حکم شمارشی که حتی وقتی $HK$ فقط یک زیرمجموعه است نیز معتبر است): برای $H,K$ متناهی، $|HK|=\frac{|H|\,|K|}{|H\cap K|}.$
• نتیجه‌ها: $|H\cap K|$ مقسوم‌علیه $\gcd(|H|,|K|)$ است، پس زیرگروه‌هایی با مرتبه‌های نسبت‌به‌هم اول تنها در عضو همانی مشترک‌اند؛ و اگر $|H|\,|K|>|G|$ آنگاه $H\cap K\ne\{e\}$ — یعنی دو زیرگروه ناگزیر هم‌پوشانی دارند.

مثال کوچک حل‌شده (محاسبهٔ کلاسیک در $\mathbb{Z}_n$). در $G=\mathbb{Z}_{36}$ بگیرید $H=\langle3\rangle$ و $K=\langle2\rangle$.

$|H|=\frac{36}{\gcd(3,36)}=12,\qquad|K|=\frac{36}{\gcd(2,36)}=18.$

اجتماع: $H+K=\langle\gcd(2,3)\rangle=\langle1\rangle=\mathbb{Z}_{36}$ از مرتبهٔ $36$ (به‌طور ملموس، $3-2=1$ همین حالا در $H+K$ قرار دارد). اشتراک: $H\cap K=\langle\operatorname{lcm}(2,3)\rangle=\langle6\rangle$ از مرتبهٔ $36/6=6$. وارسی با فرمول حاصل‌ضرب: $12\cdot18/6=36$، سازگار است. توجه کنید $12\cdot18=216>36$، پس اشتراک بدیهی از همان ابتدا ناممکن بود.

۴. شمارش عنصرهای با مرتبهٔ داده‌شده

حالت دوری. $\mathbb{Z}_n$ برای هر $d\mid n$ دقیقاً $\varphi(d)$ عنصر از مرتبهٔ $d$ دارد و هیچ عنصری با مرتبه‌ای دیگر ندارد.

حالت آبلی متناهی. در $A=\mathbb{Z}_{n_1}\times\cdots\times\mathbb{Z}_{n_r}$ از شمارشِ «مرتبه بر $k$ بخش‌پذیر است» آغاز کنید که به حاصل‌ضرب تجزیه می‌شود: $N(k):=\#\{g\in A:\ kg=0\}=\prod_{i=1}^{r}\gcd(k,n_i).$ سپس مقسوم‌علیه‌های سره را با اصل شمول و عدم شمول (وارون‌سازی موبیوس) حذف کنید: تعداد عنصرهایی که مرتبهٔ آن‌ها دقیقاً $m$ است برابر است با $\#\{g:\operatorname{ord}(g)=m\}=\sum_{d\mid m}\mu\!\left(\frac{m}{d}\right)N(d)=N(m)-\sum_{p\mid m}N\!\left(\frac{m}{p}\right)+\sum_{p<q}N\!\left(\frac{m}{pq}\right)-\cdots,$ که مجموع‌ها روی عوامل اول متمایز $m$ گرفته می‌شوند.

روش جایگزین (نمایهٔ مرتبه‌ها). جدولی از تعداد عنصرهای هر مرتبه در هر عامل بسازید، سپس $\prod_i n_{d_i}$ را روی همهٔ چندتایی‌های $(d_1,\dots,d_r)$ با شرط $\operatorname{lcm}(d_1,\dots,d_r)=m$ جمع بزنید. کندتر است، اما وارسی متقابل بسیار خوبی به دست می‌دهد.

مثال کوچک حل‌شده. $\mathbb{Z}_6\times\mathbb{Z}_6$ چند عنصر از مرتبهٔ $6$ دارد؟ با $m=6=2\cdot3$، $N(6)=6\cdot6=36,\quad N(3)=3\cdot3=9,\quad N(2)=2\cdot2=4,\quad N(1)=1,$ پس پاسخ $36-9-4+1=24$ است. وارسی با نمایهٔ مرتبه‌ها: در $\mathbb{Z}_6$ شمارش‌ها $n_1=1,\ n_2=1,\ n_3=2,\ n_6=2$ هستند و زوج‌هایی که $\operatorname{lcm}=6$ دارند عبارت‌اند از $(1,6),(6,1),(2,3),(3,2),(2,6),(6,2),(3,6),(6,3),(6,6)$، که $2+2+2+2+2+2+4+4+4=24$ می‌دهد.

قضیهٔ فروبنیوس (برای هر گروه متناهی $G$): اگر $d\mid|G|$ آنگاه $\#\{x\in G:x^{d}=e\}$ مضربی از $d$ است — یک وارسی سریع برای درستی هر چنین شمارشی.

۵. قضیهٔ لاگرانژ، هم‌مجموعه‌ها و اندیس

برای $H\le G$، هم‌مجموعه‌های چپ $gH$ مجموعهٔ $G$ را افراز می‌کنند و همگی اندازهٔ $|H|$ دارند (نگاشت $h\mapsto gh$ یک تناظر یک‌به‌یک $H\to gH$ است)؛ تعداد آن‌ها اندیس $[G:H]$ نامیده می‌شود. پس برای $G$ متناهی $|G|=[G:H]\,|H|\quad\Longrightarrow\quad|H|\ \big|\ |G|,\qquad\operatorname{ord}(g)\ \big|\ |G|.$ حکم افراز برای گروه‌های نامتناهی نیز برقرار است؛ تنها بخش حسابی به شرط $|G|<\infty$ نیاز دارد.

نتیجه‌های استاندارد:

• $g^{|G|}=e$ برای هر $g$ (درون $(\mathbb{Z}/n)^{\times}$ این همان قضیهٔ اویلر $a^{\varphi(n)}\equiv1\pmod n$ است).
• گروهی با مرتبهٔ اول دوری است، با هر عنصر غیرهمانی تولید می‌شود و هیچ زیرگروه سرهٔ ناتریویال ندارد.
• قانون برج: $K\le H\le G\Rightarrow[G:K]=[G:H]\,[H:K]$.
• زیرگروهی با اندیس $2$ همواره نرمال است (هم‌مجموعه‌های چپ و راست آن بر هم منطبق‌اند).
• عکس قضیهٔ لاگرانژ نادرست است: $|A_4|=12$ اما $A_4$ زیرگروهی از مرتبهٔ $6$ ندارد. عکس‌های جزئی: کوشی (هر عدد اول $p\mid|G|$ وجود عنصری، و در نتیجه زیرگروهی، از مرتبهٔ $p$ را الزام می‌کند) و سیلو (وجود زیرگروهی از مرتبهٔ $p^{k}$ برای هر توان اول $p^{k}\mid|G|$)؛ درون هر گروه آبلی متناهی عکس کامل برقرار است.

لم هم‌مجموعه در متمم. اگر $H<G$ زیرگروهی سره باشد و $g\notin H$، آنگاه تمام هم‌مجموعهٔ $gH$ در $G\setminus H$ قرار دارد و $|gH|=|H|$، پس $|H|\le|G\setminus H|.$

مثال. اگر برای زیرگروه سرهٔ $H$ مجموعهٔ $G\setminus H$ متناهی باشد، این لم ایجاب می‌کند $|H|\le|G\setminus H|<\infty$، پس $H$ متناهی است و $G=H\cup(G\setminus H)$ متناهی می‌شود. (عکس آن نادرست است: متناهی‌بودن $H$ متمم را متناهی نمی‌کند — $G=\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}_2$ و $H=\{0\}\times\mathbb{Z}_2$ را بگیرید.)

۶. مرکز، مرکزسازها و قضیهٔ $G/Z$

$Z(G)=\{\,z\in G:\ zg=gz\ \text{for all }g\in G\,\}=\bigcap_{x\in G}C_G(x),\qquad C_G(x)=\{\,g\in G:gx=xg\,\}.$

$Z(G)$ زیرگروهی آبلی و نرمال (و در واقع مشخصه) است، و $G$ آبلی است $\iff Z(G)=G$. عنصرهای $Z(G)$ دقیقاً همان‌هایی هستند که ردهٔ مزدوجی‌شان تک‌عضوی است — و این همان معادلهٔ رده‌ای برای $G$ متناهی است: $|G|=|Z(G)|+\sum_i[G:C_G(x_i)],$ که مجموع روی نماینده‌های رده‌های مزدوجی با اندازهٔ بزرگ‌تر از $1$ گرفته می‌شود (هر یک از این اندیس‌ها مقسوم‌علیه $|G|$ و بزرگ‌تر از $1$ است).

قضیهٔ $G/Z$. اگر $G/Z(G)$ دوری باشد آنگاه $G$ آبلی است (پس $Z(G)=G$ و خارج‌قسمت بدیهی است). طرح اثبات: اگر $G/Z=\langle gZ\rangle$ باشد، هر عنصر به شکل $g^{i}z$ با $z\in Z$ است و هر دو عنصر از این شکل با هم جابه‌جا می‌شوند.

نتیجه‌هایی که کنکور روی آن‌ها تکیه می‌کند:

• $[G:Z(G)]$ هرگز عدد اول نیست. مقادیر ممکن عبارت‌اند از $1$ (یعنی $G$ آبلی) یا یک عدد مرکب $\ge4$؛ اندیس $4$ واقعاً رخ می‌دهد، مثلاً $D_4$ و $Q_8$ مرکزی از مرتبهٔ $2$ دارند.
• $|G|=p^{2}$ با $p$ اول $\Rightarrow$ $G$ آبلی است، پس $G\cong\mathbb{Z}_{p^{2}}$ یا $\mathbb{Z}_p\times\mathbb{Z}_p$.
• هر $p$-گروه متناهیِ ناتریویال مرکز ناتریویال دارد (معادلهٔ رده‌ای را به پیمانهٔ $p$ بخوانید).

دستور «عنصرهای بیرون مرکز». فرض کنید دقیقاً $k>0$ عنصر از یک گروه متناهی بیرون $Z(G)$ باشند، یعنی $|G|=|Z(G)|+k$. آنگاه:

1. بنا بر لاگرانژ $|Z|$ مقسوم‌علیه $|G|$ است و چون $k=|G|-|Z|$، در نتیجه $|Z|\ \big|\ k$ — که معمولاً فهرست بسیار کوتاهی از نامزدها می‌دهد؛
2. هر نامزدی را که برای آن $[G:Z]$ برابر $1$ یا یک عدد اول شود کنار بگذارید، زیرا دوری‌بودن $G/Z$ $\Rightarrow$ آبلی‌بودن $G$ $\Rightarrow$ $k=0$؛
3. سپس $|G|=|Z|+k$ را بخوانید.

همین استدلال دوخطی برای هر زیرگروه $H$ به‌جای $Z$ در گام ۱ عیناً کار می‌کند ($|H|\mid|G|$ و $|G|=|H|+k$ نتیجه می‌دهند $|H|\mid k$)؛ تنها گام ۲ ویژهٔ مرکز است.

مثال کوچک حل‌شده. فرض کنید دقیقاً $p$ عنصر ($p$ اول) بیرون $Z(G)$ باشند. آنگاه $|Z|\mid p$، پس $|Z|\in\{1,p\}$. اگر $|Z|=p$ باشد آنگاه $|G|=2p$ و $[G:Z]=2$ اول است — که بنا بر قضیهٔ $G/Z$ ناممکن است. پس $|Z|=1$ و $|G|=p+1$. این وضعیت تحقق‌پذیر است: $p=5$ با $G=S_3$ ($|S_3|=6$، مرکز بدیهی، $5$ عنصر نامرکزی)، $p=11$ با $G=A_4$، و $p=23$ با $G=S_4$.

مرکزهایی که ارزش حفظ‌کردن دارند

۷. مرتبه‌های کوچک و درگیرها (عنصرهای مرتبهٔ ۲)

دو واقعیت دربارهٔ عنصرهای مرتبهٔ $2$ که پیوسته تکرار می‌شوند:

• اگر $x^{2}=e$ برای هر $x\in G$ برقرار باشد آنگاه $G$ آبلی است و در حالت متناهی $G\cong(\mathbb{Z}_2)^{k}$ — یک $2$-گروه آبلی مقدماتی، پس $|G|=2^{k}$. ($(xy)^{2}=e$ را باز کنید و از $x^{-1}=x$ استفاده کنید.)
• هر گروه با مرتبهٔ زوج عنصری از مرتبهٔ $2$ دارد (هر $x$ را با $x^{-1}$ جفت کنید؛ این همان قضیهٔ کوشی برای $p=2$ است). اگر گروهی متناهی دقیقاً یک عنصر از مرتبهٔ $2$ داشته باشد، آن عنصر مرکزی است.

۸. کنکور این مبحث را چگونه می‌سنجد

• مرتبهٔ یک چندتایی در حاصل‌ضرب گروه‌های دوری؛ گزینه‌ها $\operatorname{lcm}$ را در برابر حاصل‌ضرب مرتبه‌ها و مرتبهٔ یکی از مؤلفه‌ها قرار می‌دهند.
• مرتبهٔ $H+K$ و $H\cap K$ درون $\mathbb{Z}_n$ که «به‌ترتیب» پرسیده می‌شود؛ چهار گزینه یک مقدار درست را با شریکی نادرست جفت می‌کنند و طعمهٔ محبوب، اشتراک بدیهی است. هر دو را با $\gcd$/$\operatorname{lcm}$ حساب کنید و با $|HK|=|H||K|/|H\cap K|$ وارسی کنید.
• شمارش عنصرهای مرتبهٔ $d$ در $\mathbb{Z}_n$ یا $\mathbb{Z}_m\times\mathbb{Z}_n$؛ گزینه‌های انحرافی از به‌کاربردن $\varphi$ روی گروهی غیردوری یا از فراموش‌کردن تصحیح شمول و عدم شمول می‌آیند.
• $|\operatorname{Aut}(G)|$، $|(\mathbb{Z}/n)^{\times}|$ یا «کدام گروه از مرتبهٔ $4$ است؟» — که با $\varphi(n)$ به‌علاوهٔ یک وارسیِ به‌توان‌دو‌رساندن پاسخ داده می‌شود.
• قیدهای حسابی برخاسته از لاگرانژ: «دقیقاً $k$ عنصر نامرکزی‌اند / در $H$ نیستند»، با چهار گزینه که عبارت‌هایی محتمل برحسب $p$ هستند؛ بخش‌پذیری $|Z|\mid k$ به‌همراه قضیهٔ $G/Z$ پاسخ را قطعی می‌کند.
• گزاره‌های درست/نادرست دربارهٔ زیرگروه‌ها و هم‌مجموعه‌ها: عکس لاگرانژ، نرمال‌بودن زیرگروه اندیس $2$، و لم هم‌مجموعه در متمم.

مرجع سریع

نکتهٔ کنکوری: هر پرسش را به حساب عددی تبدیل کنید. درون $\mathbb{Z}_n$ یک زیرگروه همان یک مقسوم‌علیه است — $\langle a\rangle=\langle\gcd(a,n)\rangle$ مرتبهٔ $n/\gcd(a,n)$ دارد، اجتماع‌ها $\gcd$ و اشتراک‌ها $\operatorname{lcm}$ می‌شوند. درون حاصل‌ضرب مستقیم، مرتبه‌ها $\operatorname{lcm}$ هستند. و هر گاه صورت سؤال عنصرهای بیرون یک زیرگروه $H$ (یا بیرون $Z(G)$) را می‌شمارد، بنویسید $|G|=|H|+k$ و از $|H|\mid|G|\Rightarrow|H|\mid k$ استفاده کنید: معمولاً همین یک بخش‌پذیری سه گزینه از چهار گزینه را حذف می‌کند.

تلهٔ رایج: چند شیء گوناگون که همگی «$\varphi(n)$» می‌شوند را از خود گروه جدا نگه دارید. $|\mathbb{Z}_n|=n$ است، اما تعداد مولدها، تعداد یکه‌ها، $|\operatorname{Aut}(\mathbb{Z}_n)|$ و تعداد عنصرهای مرتبهٔ $n$ همگی $\varphi(n)$ هستند — در حالی که مرتبهٔ یک عنصر برابر $n/\gcd(n,a)$ است. هرگز $\varphi$ را روی گروهی که دوری‌بودنش را وارسی نکرده‌اید به کار نبرید ($\mathbb{Z}_6\times\mathbb{Z}_6$ هیچ عنصری از مرتبهٔ $36$ ندارد)، در حاصل‌ضرب مستقیم ک.م.م بگیرید نه حاصل‌ضرب (و هنگام خواندن یک چندتایی، مؤلفه را با پیمانهٔ نادرست جفت نکنید)، و هرگز نگذارید $[G:Z(G)]$ برابر $2$ یا یک عدد اول درآید — دوری‌بودن $G/Z$ آبلی‌بودن $G$ را الزام می‌کند.