هم‌مجموعه‌ها، لاگرانژ، قضایای اندیس و سیلو

هم‌مجموعه‌ها، قضیهٔ لاگرانژ، حساب اندیس و قضایای سیلو ستون فقرات نظریهٔ گروه‌های متناهی‌اند: این‌ها با هم حسابِ $|G|$ را به واقعیت‌های ساختاری دربارهٔ زیرگروه‌های آن تبدیل می‌کنند. روی این پایه سه مفهوم ظریف‌تر سوار می‌شود که کنکور مدام به آن‌ها بازمی‌گردد — مجموعه‌های حاصل‌ضرب $HK$ با اصول شمارشی‌شان، زیرگروه‌های مشخصه (پایداری تحت همهٔ خودریختی‌ها، نه فقط درونی‌ها) و زیرگروه‌های ماکسیمال (بالاترین لایهٔ مشبکهٔ زیرگروه‌ها). همین ماشین اندیس، اگر وارونه به کار رود، تعیین می‌کند که کدام گروه‌های نامتناهی اصلاً زیرگروه سره با اندیس متناهی می‌پذیرند. این کارت همهٔ این‌ها را به‌طور کامل بسط می‌دهد؛ برای مرتبهٔ عناصر، گروه‌های دوری و $\operatorname{Aut}(\mathbb{Z}_n)$ به کارت همراه Group Theory Essentials مراجعه کنید.

۱. هم‌مجموعه‌ها و اندیس

برای زیرگروه $H\le G$ و $g\in G$، هم‌مجموعهٔ چپ عبارت است از $gH=\{\,gh : h\in H\,\}$ (هم‌مجموعهٔ راست $Hg$ به‌طور مشابه). واقعیت‌های اساسی:

• هم‌مجموعه‌های چپِ متمایز مجزا هستند و اجتماعشان تمام $G$ است — یعنی $G$ را افراز می‌کنند.
• هر هم‌مجموعه همان اندازهٔ $H$ را دارد: نگاشت $h\mapsto gh$ یک تناظر یک‌به‌یک $H\to gH$ است، پس $|gH|=|H|$.
• آزمون عضویت: $aH=bH\iff a^{-1}b\in H$؛ به‌ویژه $gH=H\iff g\in H$. یک هم‌مجموعه تنها وقتی زیرگروه است که خودِ $H$ باشد.
• تعداد هم‌مجموعه‌های چپ اندیس $[G:H]$ است؛ این عدد با تعداد هم‌مجموعه‌های راست برابر است.

قضیهٔ لاگرانژ. اگر $G$ متناهی و $H\le G$ باشد، آنگاه $|G|=[G:H]\,|H|,$ پس $|H|\bigm||G|$ و $\operatorname{ord}(g)\bigm||G|$ برای هر $g$ (مرتبهٔ هر عنصر، مرتبهٔ گروه را عاد می‌کند).

قانون برج (ضربی‌بودن اندیس). اگر $K\le H\le G$ آنگاه $[G:K]=[G:H]\,[H:K]$ — این حکم حتی برای گروه‌های نامتناهی نیز برقرار است.

فرمول حاصل‌ضرب. برای زیرگروه‌های متناهی $H,K\le G$، مجموعهٔ $HK=\{hk: h\in H,\ k\in K\}$ در رابطهٔ زیر صدق می‌کند $|HK|=\frac{|H|\,|K|}{|H\cap K|},$ حتی وقتی $HK$ زیرگروه نباشد ($HK\le G$ دقیقاً وقتی که $HK=KH$، که اگر $H$ یا $K$ نرمال باشد خودبه‌خود برقرار است). این فرمول در کنار لاگرانژ استدلال‌های استاندارد «مرتبه‌های نسبت‌به‌هم اول $\Rightarrow H\cap K=\{e\}$» و «$|H||K|>|G|\Rightarrow H\cap K\ne\{e\}$» را می‌دهد. دو حالت خاصِ به‌ظاهر بدیهی ولی پرتکرار در آزمون: $K\subseteq H\Rightarrow HK=H$، و $H\cap K=\{e\}\Rightarrow|HK|=|H||K|$.

$\lvert HK\rvert$ چه مقادیری می‌تواند بگیرد؟ چون $\lvert H\cap K\rvert$ باید یک مقسوم‌علیه مشترک $\lvert H\rvert$ و $\lvert K\rvert$ باشد، مجموعهٔ حاصل‌ضرب فقط می‌تواند یکی از تعداد متناهی اندازهٔ $\lvert H\rvert\lvert K\rvert/d$ را داشته باشد که در آن $d\bigm|\gcd(\lvert H\rvert,\lvert K\rvert)$. پس هر مقدار پیشنهادی بیرون از این فهرست کوتاه، بدون هیچ کار اضافه‌ای غلط است: مثلاً با $\lvert H\rvert=25$ و $\lvert K\rvert=5$ تنها امکان‌ها $125$ (اگر $H\cap K=\{e\}$) و $25$ (اگر $K\subseteq H$) هستند — هرگز $50$.

کران تقاطع پوانکاره. $[G:H\cap K]\le[G:H]\,[G:K]$؛ در نتیجه تقاطع متناهیِ زیرگروه‌های با اندیس متناهی، باز هم اندیس متناهی دارد.

لم اول‌بودن نسبیِ اندیس و مرتبه. اگر $N\trianglelefteq G$ با $[G:N]=n$ و $a\in G$ با $\operatorname{ord}(a)=m$ و $\gcd(m,n)=1$ باشد، آنگاه $a\in N$. اثبات: در $G/N$ عنصر $aN$ در $\operatorname{ord}(aN)\mid m$ صدق می‌کند (تصویر همریختی) و $\operatorname{ord}(aN)\mid n=\lvert G/N\rvert$ (لاگرانژ)، پس $\operatorname{ord}(aN)=1$، یعنی $a\in N$. بدون شرط نرمال‌بودن، همین نتیجه هرگاه $\gcd(m,n!)=1$ برقرار است، با اعمال روی هستهٔ نرمالِ بخش ۳. این همان راه تمیز برای اثبات احکامی مانند «هر عنصر از مرتبهٔ $p$ در $H$ قرار دارد» است وقتی $[G:H]$ نسبت به $p$ اول باشد.

قضیهٔ کوشی (عکسِ جزئی). اگر عدد اول $p$ عددِ $|G|$ را عاد کند، آنگاه $G$ عنصری (و در نتیجه زیرگروهی) از مرتبهٔ $p$ دارد.

قضیهٔ لاگرانژ عکس کامل ندارد: مقسوم‌علیه $d\mid|G|$ لزوماً مرتبهٔ هیچ زیرگروهی نیست. شاهد استاندارد $A_4$ (از مرتبهٔ $12$) است که هیچ زیرگروهی از مرتبهٔ $6$ ندارد. (عکس قضیه برای $p$-گروه‌ها، برای مقسوم‌علیه‌های توان-اولِ هر مرتبه، و برای گروه‌های آبلی متناهی برقرار است — بخش‌های ۵ و ۸ را ببینید.)

لم متمم هم‌مجموعه. اگر $H<G$ زیرگروهی سره باشد، $g\in G\setminus H$ دلخواهی انتخاب کنید. آنگاه تمام هم‌مجموعهٔ $gH$ از $H$ مجزاست، پس $gH\subseteq G\setminus H$ با $|gH|=|H|$؛ در نتیجه $|H|\le|G\setminus H|$. پیامد: اگر متمم $G\setminus H$ (برای $H$ سره) متناهی باشد، آنگاه $H$ — و بنابراین $G=H\cup(G\setminus H)$ — متناهی است. سره‌بودن دقیقاً همان چیزی است که وجود چنین $g$ را تضمین می‌کند؛ فرض‌های «$H$ متناهی» یا «$H$ نامتناهی» هیچ کنترلی نمی‌دهند (مثلاً $G=\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}_2$، $H=\{0\}\times\mathbb{Z}_2$ متناهی است ولی $G$ نامتناهی).

۲. مجموعه‌های حاصل‌ضرب $HK$: معیار زیرگروه‌بودن، شمارش، و اصل زیرمجموعه‌های بزرگ

برای زیرمجموعه‌های $A,B\subseteq G$ می‌نویسیم $AB=\{ab: a\in A,\ b\in B\}$ و $A^{-1}=\{a^{-1}: a\in A\}$. همواره $\lvert AB\rvert\le\lvert A\rvert\lvert B\rvert$، و $AB$ حتی وقتی هر دو عامل زیرگروه باشند لزوماً زیرگروه نیست.

معیار زیرگروه‌بودن. برای $H,K\le G$، $HK\le G\iff HK=KH\iff HK=\langle H,K\rangle .$ اگر یکی از دو عامل نرمال باشد، این معیار خودبه‌خود برقرار است؛ به‌ویژه $NH=HN\le G$ برای هر $N\trianglelefteq G$ و هر $H\le G$ — به همین دلیل است که $Z(G)H$، $[G,G]H$ و $PH$ (برای سیلوِ نرمالِ $P$) همیشه زیرگروه‌اند.

قضیهٔ دوم یکریختی. اگر $N\trianglelefteq G$ و $H\le G$، آنگاه $HN\le G$، $H\cap N\trianglelefteq H$ و $HN/N\cong H/(H\cap N),\qquad\text{hence}\qquad [HN:N]=[H:H\cap N].$ این نسخهٔ ظریف‌ترِ فرمول حاصل‌ضرب در سطح اندیس است، و در گروه‌های نامتناهی نیز کار می‌کند.

فرمول حاصل‌ضرب، بازنویسی. برای زیرگروه‌های متناهی، $\lvert HK\rvert=\lvert H\rvert\lvert K\rvert/\lvert H\cap K\rvert$، زیرا هر $x\in HK$ دقیقاً $\lvert H\cap K\rvert$ تجزیهٔ $x=hk$ دارد ($(h,k)$ را با $(hd,d^{-1}k)$ که $d\in H\cap K$ جایگزین کنید). این فرمول نیازمند آن است که $H,K$ زیرگروه باشند — دربارهٔ زیرمجموعه‌های دلخواه چیزی نمی‌گوید.

اصل زیرمجموعه‌های بزرگ (لانهٔ کبوتری). فرض کنید $G$ گروهی متناهی و $A,B\subseteq G$ زیرمجموعه‌هایی دلخواه باشند با $\lvert A\rvert+\lvert B\rvert>\lvert G\rvert .$ آنگاه $AB=G$.

اثبات. نخست، دو زیرمجموعه از یک مجموعهٔ متناهی که مجموع اندازه‌هایشان از $\lvert G\rvert$ بیشتر است باید اشتراک داشته باشند — وگرنه $\lvert A\cup B\rvert=\lvert A\rvert+\lvert B\rvert>\lvert G\rvert$، که ناممکن است. حال $g\in G$ را ثابت بگیرید و $A$ را با مجموعهٔ وارونِ انتقال‌یافتهٔ $gB^{-1}=\{gb^{-1}: b\in B\}$ مقایسه کنید. وارون‌گیری و انتقال چپ تناظرهای یک‌به‌یک $G$ هستند، پس $\lvert gB^{-1}\rvert=\lvert B\rvert$ و $\lvert A\rvert+\lvert gB^{-1}\rvert>\lvert G\rvert$. بنابراین برای یک $a\in A$ داریم $a=gb^{-1}$، یعنی $g=ab\in AB$. چون $g$ دلخواه بود، $G\subseteq AB\subseteq G$. $\blacksquare$

چهار پیامد که باید به خاطر سپرد:

• هیچ فرضِ زیرگروه‌بودنی به کار نرفته است. فرضِ «مجموع اندازه‌ها» یک فرض شمارشی است؛ دست‌بردن به فرمول حاصل‌ضرب در آنجا خطای کلاسیک است.
• صورت چگالی. اگر $\lvert A\rvert>\lvert G\rvert/2$ و $\lvert B\rvert>\lvert G\rvert/2$ آنگاه $AB=G$؛ به‌ویژه $AA=G$ برای هر زیرمجموعه با چگالی $>\tfrac12$.
• اکیدبودن نامساوی ضروری است. در $S_3$ بگیرید $A=B=A_3$: آنگاه $\lvert A\rvert+\lvert B\rvert=6=\lvert G\rvert$ ولی $AB=A_3\ne G$. همین اتفاق برای هر زیرگروه از اندیس $2$ رخ می‌دهد.
• برای زیرگروه‌ها این فرض تباه‌شده است. اگر $H,K\le G$ هر دو سره باشند، لاگرانژ می‌دهد $\lvert H\rvert\le\lvert G\rvert/2$ و $\lvert K\rvert\le\lvert G\rvert/2$، پس همواره $\lvert H\rvert+\lvert K\rvert\le\lvert G\rvert$. بنابراین $\lvert H\rvert+\lvert K\rvert>\lvert G\rvert$ ایجاب می‌کند $H=G$ یا $K=G$؛ آنگاه $H\cap K$ صرفاً همان زیرگروه دیگر است که می‌تواند بدیهی باشد ($G=\mathbb{Z}_2$، $H=\{e\}$، $K=G$). پس «$H\cap K\ne\{e\}$» نتیجهٔ یک فرضِ مجموع نیست.

همراهِ ضربی (معیار درستِ تقاطع). برای زیرگروه‌ها، $\lvert HK\rvert\le\lvert G\rvert$ به‌همراه فرمول حاصل‌ضرب می‌دهد $\lvert H\rvert\,\lvert K\rvert>\lvert G\rvert\ \Longrightarrow\ H\cap K\ne\{e\}.$ به‌ویژه دو زیرگروه از مرتبهٔ $>\sqrt{\lvert G\rvert}$ باید تقاطع غیربدیهی داشته باشند. و اگر $H,K$ زیرگروه‌های ناتباه با $\lvert H\rvert+\lvert K\rvert>\lvert G\rvert$ باشند، آنگاه $H\cap K=\{e\}$ می‌داد $\lvert H\rvert\lvert K\rvert\le\lvert G\rvert<\lvert H\rvert+\lvert K\rvert$، یعنی $(\lvert H\rvert-1)(\lvert K\rvert-1)<1$ — که جز در حالتی که یکی از آن‌ها بدیهی باشد ناممکن است.

۳. زیرگروه‌های نرمال، هسته‌ها و خارج‌قسمت‌ها

$N\trianglelefteq G$ (نرمال) وقتی که $gNg^{-1}=N$ برای هر $g\in G$؛ هم‌ارز با اینکه هر هم‌مجموعهٔ چپ یک هم‌مجموعهٔ راست باشد ($gN=Ng$)، هم‌ارز با $N=\ker\varphi$ برای همریختی‌ای مانند $\varphi$. دقیقاً در این حالت هم‌مجموعه‌ها یک گروه تشکیل می‌دهند، گروه خارج‌قسمتی $G/N$ از مرتبهٔ $[G:N]$، با عمل $(aN)(bN)=abN$.

هسته‌ها: منبع جهانی زیرگروه‌های نرمال. برای هر همریختی $\varphi:G\to K$، $\ker\varphi=\{g\in G:\varphi(g)=e\}\ \trianglelefteq\ G,$ زیرا $\varphi(aga^{-1})=\varphi(a)\varphi(g)\varphi(a)^{-1}=e$ هرگاه $\varphi(g)=e$؛ و برعکس، هر زیرگروه نرمال هستهٔ یک همریختی است (هستهٔ $\pi:G\to G/N$). این سریع‌ترین اثبات نرمال‌بودن در جهان است: اگر زیرگروهی با یک معادله توصیف شده باشد — «$\det A=1$»، «$\operatorname{sgn}\sigma=+1$»، «$g$ با همه جابه‌جا می‌شود» — آن را به‌صورت $\ker\varphi$ بشناسید و نرمال‌بودن رایگان به دست می‌آید.

قضیهٔ اول یکریختی — اندیس از روی تصویر. $G/\ker\varphi\cong\operatorname{im}\varphi$، پس $[G:\ker\varphi]=\lvert\operatorname{im}\varphi\rvert .$ بنابراین اندیس هرگز با فهرست‌کردن هم‌مجموعه‌ها محاسبه نمی‌شود: تصویر را مشخص کنید (برای هر مقدار یک پیش‌تصویر نشان دهید) و اندازهٔ آن را بخوانید.

روی یک میدان متناهی، این مرتبه‌ها ارزش حفظ‌کردن دارند: $\lvert\mathrm{GL}_n(\mathbb{F}_q)\rvert=\prod_{i=0}^{n-1}\left(q^{n}-q^{i}\right),\qquad \lvert\mathrm{SL}_n(\mathbb{F}_q)\rvert=\frac{\lvert\mathrm{GL}_n(\mathbb{F}_q)\rvert}{q-1}.$ توجه کنید که اندیس $[\mathrm{GL}_n(\mathbb{F}_q):\mathrm{SL}_n(\mathbb{F}_q)]=q-1$ برابر اندازهٔ گروه ضربی $\mathbb{F}_q^{\times}$ است — یعنی $q-1$، نه $q$، و به $n$ وابسته نیست.

نرمال‌بودن در اندیسِ کوچک‌ترین عدد اول. اگر $[G:H]=p$ و $p$ کوچک‌ترین عدد اول عادکنندهٔ $|G|$ باشد، آنگاه $H\trianglelefteq G$. به‌ویژه هر زیرگروه با اندیس $2$ نرمال است.

کنش روی هم‌مجموعه‌ها و هستهٔ نرمال. اگر $[G:H]=n$، با کنش جایگشتی $G$ روی $n$ هم‌مجموعهٔ چپ، همریختی $\varphi:G\to S_n$ به دست می‌آید با $\ker\varphi=\operatorname{Core}_G(H)=\bigcap_{g\in G}gHg^{-1},$ که بزرگ‌ترین زیرگروه نرمال $G$ است که در $H$ قرار دارد؛ بنابراین $[G:\operatorname{Core}_G(H)]\mid n!$. پیامدها: (i) اگر $|G|\nmid n!$ آنگاه $G$ ساده نیست؛ (ii) با $n=p_{\min}$ قضیهٔ کوچک‌ترین اندیس اول بازیابی می‌شود؛ (iii) زیرگروهی با اندیس $2$ هستهٔ نرمال خودش است، یعنی نرمال است؛ (iv) هر زیرگروه با اندیس متناهی شامل یک زیرگروه نرمال با اندیس متناهی است — پس هر پرسشی دربارهٔ اندیس متناهی را می‌توان به خارج‌قسمت‌های متناهی تحویل داد.

قضیهٔ تناظر (مشبکه). برای $N\trianglelefteq G$ با نگاشت خارج‌قسمتی $\pi:G\to G/N$، زیرگروه‌های $G/N$ با زیرگروه‌های $G$ که شامل $N$ هستند در تناظری یک‌به‌یک قرار دارند که شمول، اندیس و نرمال‌بودن را حفظ می‌کند، از طریق $\overline{K}\mapsto\pi^{-1}(\overline{K})$. بنابراین زیرگروه‌های ماکسیمالِ $G$ که شامل $N$ هستند با زیرگروه‌های ماکسیمال $G/N$ متناظرند، و $[G:\pi^{-1}(\overline K)]=[G/N:\overline K]$. صورت کاربردی: برای یافتن زیرگروه $H$ با $N\subseteq H\subseteq G$، در گروه کوچکِ شناخته‌شدهٔ $G/N$ کار کنید و لاگرانژ را همان‌جا به کار ببرید.

هشدار: دوری (یا آبلی) بودن $G/N$ ایجاب نمی‌کند که $G$ دوری (یا آبلی) باشد؛ تنها ایجاب می‌کند $N\supseteq[G,G]$، یعنی زیرگروه جابه‌جاگر. (برعکس، هر $H\supseteq[G,G]$ خودبه‌خود نرمال با خارج‌قسمت آبلی است — یک آزمون نرمال‌بودن تک‌خطی دیگر.)

۴. زیرگروه‌های مشخصه

تعریف. $H\le G$ در $G$ مشخصه است، به‌صورت $H\ \mathrm{ch}\ G$ نوشته می‌شود، هرگاه $\tau(H)\le H\qquad\text{for every }\tau\in\operatorname{Aut}(G).$

گام ۰ — تعریف خودش را به تساوی ارتقا می‌دهد. اعمال آن روی $\tau^{-1}$ (که آن هم خودریختی است) می‌دهد $\tau^{-1}(H)\le H$، پس $H\le\tau(H)$، و در نتیجه $\tau(H)=H\quad\text{for all }\tau\in\operatorname{Aut}(G),\qquad\text{and}\qquad \tau|_{H}\in\operatorname{Aut}(H).$ اینکه تحدید نگاشت یک تناظر یک‌به‌یک از $H$ روی خودش است، موتور محرک همهٔ اثبات‌های زیر است؛ هرگز فقط از شمول یک‌طرفه استدلال نکنید.

سلسله‌مراتب. با $\operatorname{End}(G)$ به معنای درون‌ریختی‌ها، $\text{fully invariant }\bigl(\varphi(H)\le H\ \ \forall\varphi\in\operatorname{End}(G)\bigr)\ \Longrightarrow\ H\ \mathrm{ch}\ G\ \Longrightarrow\ H\trianglelefteq G,$ که گام آخر به این دلیل است که هر مزدوج‌سازی $c_g(x)=gxg^{-1}$ یک خودریختی درونی است. هر دو پیکان اکید هستند: در $V_4=\mathbb{Z}_2\times\mathbb{Z}_2$ هر زیرگروه نرمال است (گروه آبلی است) ولی $\operatorname{Aut}(V_4)\cong S_3$ سه زیرگروه از مرتبهٔ $2$ را جابه‌جا می‌کند، پس هیچ‌کدام مشخصه نیستند؛ و $Z(G)$ مشخصه است ولی همیشه تماماً پایا نیست (در $G=\mathbb{Z}_2\times S_3$ درون‌ریختی $(a,x)\mapsto(1,t^{\varepsilon(a)})$ با $t$ یک ترانهش، مرکز را بیرون از خودش می‌برد).

قوانین زنجیره — کل جدول کنکوری در یک جدول.

اثبات تعدی‌پذیری. فرض کنید $\tau\in\operatorname{Aut}(G)$. چون $H\ \mathrm{ch}\ G$، گام ۰ می‌دهد $\tau(H)=H$، پس $\tau|_H\in\operatorname{Aut}(H)$؛ و چون $K\ \mathrm{ch}\ H$، آن خودریختیِ $H$ زیرگروه $K$ را ثابت نگه می‌دارد: $\tau(K)=\tau|_H(K)=K$. بنابراین $K\ \mathrm{ch}\ G$. $\blacksquare$

اثبات «مشخصه درون نرمال، نرمال است». $g\in G$ را ثابت بگیرید. چون $H\trianglelefteq G$ داریم $c_g(H)=H$، پس $c_g|_H\in\operatorname{Aut}(H)$؛ و چون $K\ \mathrm{ch}\ H$ این می‌دهد $gKg^{-1}=K$ برای هر $g$، یعنی $K\trianglelefteq G$. $\blacksquare$

چرا نرمال‌بودن به‌تنهایی کافی نیست. در $A_4$ گروه کلاین $V_4=\{e,(12)(34),(13)(24),(14)(23)\}$ نرمال است (در واقع مشخصه — چون یگانه زیرگروه سیلوِ $2$ است)، و $K=\langle(12)(34)\rangle\trianglelefteq V_4$ زیرا $V_4$ آبلی است. ولی مزدوج‌سازی با $(123)$ عنصر $(12)(34)$ را به $(23)(14)\notin K$ می‌برد، پس $K\not\trianglelefteq A_4$. تقویت حلقهٔ درونی از نرمال به مشخصه دقیقاً همان ترمیم لازم است.

مرکز مشخصه است. فرض کنید $\tau\in\operatorname{Aut}(G)$، $z\in Z(G)$ و $g\in G$. پوشایی می‌دهد $g=\tau(g')$، پس $\tau(z)g=\tau(z)\tau(g')=\tau(zg')=\tau(g'z)=\tau(g')\tau(z)=g\,\tau(z),$ در نتیجه $\tau(z)\in Z(G)$ و $Z(G)\ \mathrm{ch}\ G$. $\blacksquare$

دستورالعمل. هر زیرگروهی که با شرطی صرفاً نظریه-گروهی مشخص شود مشخصه است، زیرا هر یکریختی چنین شرطی را منتقل می‌کند. فهرست مرجع:

انتقال نرمال‌بودن به بالا. چون «مشخصه درون نرمال، نرمال است»: برای هر $N\trianglelefteq G$ زیرگروه‌های $Z(N)$، $[N,N]$، $\Phi(N)$ و یگانه زیرگروه سیلوِ $N$ خودبه‌خود در $G$ نرمال‌اند. به‌طور کلی‌تر $H\ \mathrm{ch}\ G\trianglelefteq M\Rightarrow H\trianglelefteq M$.

۵. مرکز، مرکزسازها، نرمال‌سازها و معادلهٔ رده‌ها

برای $x\in G$، $S\subseteq G$ و $H\le G$ تعریف می‌کنیم $C_G(x)=\{g\in G: gx=xg\},\qquad Z(G)=\bigcap_{x\in G}C_G(x),\qquad N_G(H)=\{g\in G: gHg^{-1}=H\},$ و برای زیرمجموعهٔ $S$ می‌گذاریم $C_G(S)=\bigcap_{s\in S}C_G(s)$. همهٔ این‌ها زیرگروه‌اند. $Z(G)\trianglelefteq G$ (در واقع مشخصه، و آبلی)؛ $N_G(H)$ بزرگ‌ترین زیرگروه $G$ است که $H$ در آن نرمال است، پس $H\trianglelefteq G\iff N_G(H)=G$. شمول‌های پایه‌ای که دائماً به کار می‌روند: $\langle x\rangle\subseteq C_G(x),\qquad Z(G)\subseteq C_G(x)\ \ \text{for every }x,\qquad x\in Z(G)\iff C_G(x)=G,\qquad C_G(S)=G\iff S\subseteq Z(G).$ مرکزساز یک عنصر لزوماً نرمال نیست؛ مرکز همیشه نرمال است. به هم‌ارزی آخر توجه کنید: برای اثبات مرکزی‌بودن یک مجموعه کافی است نشان دهید مرکزساز آن تمام $G$ است — حرکت استاندارد وقتی دو زیرگروه آبلی هر دو آن را مرکزسازی می‌کنند (بخش ۶).

مدار–پایاساز برای مزدوج‌سازی. ردهٔ مزدوجی $x$ و مجموعهٔ مزدوج‌های $H$ اندازه‌های زیر را دارند $\lvert x^{G}\rvert=[G:C_G(x)],\qquad \#\,\{gHg^{-1}\}=[G:N_G(H)],$ پس هر دو مقسوم‌علیه $|G|$ هستند.

معادلهٔ رده‌ها. با $x_1,\dots,x_r$ به‌عنوان نمایندگان رده‌های با اندازهٔ $>1$، $|G|=\lvert Z(G)\rvert+\sum_{i=1}^{r}[G:C_G(x_i)],\qquad [G:C_G(x_i)]>1,\ \ [G:C_G(x_i)]\bigm||G| .$

قضیهٔ $G/Z(G)$. اگر $G/Z(G)$ دوری باشد آنگاه $G$ آبلی است. بنابراین برای $G$ ناآبلی، اندیس $[G:Z(G)]$ هرگز $1$ و هرگز عددی اول نیست؛ کوچک‌ترین مقدار ممکن $p^{2}$ است و در آن صورت لزوماً $G/Z(G)\cong\mathbb{Z}_p\times\mathbb{Z}_p$ (آبلی مقدماتی، نه $\mathbb{Z}_{p^{2}}$). گروه‌هایی که این حالت را محقق می‌کنند: $D_4$ و $Q_8$ برای $p=2$، و به‌طور کلی گروه هایزنبرگ از مرتبهٔ $p^{3}$.

ساندویچ مرکزساز (لم اندیس $p$). فرض کنید $x\in G\setminus Z(G)$. آنگاه $Z(G)\subsetneq C_G(x)\subsetneq G$ — اکید از سمت چپ چون $x\in C_G(x)\setminus Z(G)$، و اکید از سمت راست چون $C_G(x)=G$ یعنی $x$ مرکزی است. چون $Z(G)\trianglelefteq G$ درون $C_G(x)$ قرار دارد، قضیهٔ تناظر $C_G(x)/Z(G)$ را به‌صورت زیرگروهی سرهٔ ناتباه از $G/Z(G)$ می‌نشاند. اگر $[G:Z(G)]=p^{2}$ باشد (مثلاً $G/Z(G)\cong\mathbb{Z}_p\times\mathbb{Z}_p$)، لاگرانژ در آن خارج‌قسمت تنها مرتبهٔ $p$ را باقی می‌گذارد، پس $\lvert C_G(x)\rvert=p\,\lvert Z(G)\rvert,\qquad [G:C_G(x)]=p,\qquad \lvert x^{G}\rvert=p .$ افزون بر این $C_G(x)=\langle Z(G),x\rangle$ آبلی است، اندیس $p$ دارد، پس زیرگروهی ماکسیمال است، و هرگاه $p$ کوچک‌ترین مقسوم‌علیه اول باشد نرمال نیز هست. بنابراین در چنین گروهی هر عنصر نامرکزی دقیقاً $p$ مزدوج دارد.

قضیهٔ $N/C$. $C_G(H)\trianglelefteq N_G(H)$ و $N_G(H)/C_G(H)$ در $\operatorname{Aut}(H)$ نشانده می‌شود — راه استاندارد برای کران‌دارکردن $\lvert N_G(H)\rvert$ از بالا.

واقعیت‌های $p$-گروه‌ها. اگر $|G|=p^{n}$ با $n\ge1$: معادلهٔ رده‌ها به پیمانهٔ $p$ ایجاب می‌کند $Z(G)\ne\{e\}$؛ برای هر $k\le n$ زیرگروهی (حتی نرمال) از مرتبهٔ $p^{k}$ وجود دارد (عکس قضیهٔ لاگرانژ اینجا برقرار است)؛ هر زیرگروه با اندیس $p$ نرمال و ماکسیمال است؛ هر زیرگروه سره اکیداً درون نرمال‌ساز خودش قرار دارد؛ و $|G|=p^{2}\Rightarrow G$ آبلی است ($\cong\mathbb{Z}_{p^{2}}$ یا $\mathbb{Z}_p\times\mathbb{Z}_p$).

۶. زیرگروه‌های ماکسیمال، زیرگروه فراتینی، و زیرگروه‌های ماکسیمالِ آبلی

تعریف. $M<G$ ماکسیمال است اگر $M\ne G$ و هیچ چیزی اکیداً میان آن دو نباشد: $M\le H\le G\Rightarrow H=M$ یا $H=G$.

وجود. هر زیرگروه سرهٔ یک گروه متناهی (به‌طور کلی‌تر، یک گروه متناهیاً تولیدشده، به کمک لم زورن) درون زیرگروهی ماکسیمال قرار دارد. گروه‌های نامتناهی ممکن است هیچ زیرگروه ماکسیمالی نداشته باشند: یک گروه بخش‌پذیر مانند $(\mathbb{Q},+)$ یا گروه پروفر $\mathbb{Z}(p^{\infty})$ اصلاً زیرگروه ماکسیمال ندارد (بخش ۹).

واقعیت‌های اصلی:

• دو زیرگروه ماکسیمال متمایز، کل گروه را تولید می‌کنند. اگر $H\ne K$ ماکسیمال باشند، هیچ‌کدام دیگری را در بر نمی‌گیرد (شمول به‌همراه ماکسیمال‌بودن $H=K$ یا $H=G$ را ایجاب می‌کرد)، پس $\langle H,K\rangle\supsetneq H$ و ماکسیمال‌بودن می‌دهد $\langle H,K\rangle=G$.
• ماکسیمالِ نرمال $\Rightarrow$ اندیس اول. اگر $M$ ماکسیمال و $M\trianglelefteq G$ باشد، قضیهٔ تناظر می‌گوید $G/M$ زیرگروه سرهٔ ناتباه ندارد، پس $G/M\cong\mathbb{Z}_p$ و $[G:M]=p$.
• زیرگروهی با اندیس $2$ — یا با کوچک‌ترین اندیس اول — هم ماکسیمال است و هم نرمال.
• در یک $p$-گروه هر زیرگروه ماکسیمال نرمال و با اندیس $p$ است؛ یک گروه متناهی پوچ‌توان است اگر و تنها اگر هر زیرگروه ماکسیمال آن نرمال باشد.
• زیرگروه فراتینی $\Phi(G)=\bigcap\{M: M\ \text{maximal in}\ G\}$ مشخصه است (خودریختی‌ها زیرگروه‌های ماکسیمال را جابه‌جا می‌کنند)، دقیقاً از «ناتولیدکننده‌ها» تشکیل شده، و برای $G$ متناهی پوچ‌توان است؛ برای یک $p$-گروه $\Phi(G)=G^{p}[G,G]$ با $G/\Phi(G)$ آبلی مقدماتی.
• تناظر: برای $N\trianglelefteq G$، زیرگروه‌های ماکسیمال $G$ که شامل $N$ هستند با زیرگروه‌های ماکسیمال $G/N$ متناظرند.
• یک گروه متناهی دقیقاً وقتی اجتماع زیرگروه‌های ماکسیمالش است که دوری نباشد (بخش ۷).

لم (مرکز در هر زیرگروه ماکسیمالِ آبلی قرار دارد). فرض کنید $G$ ناآبلی و $M$ زیرگروهی ماکسیمال و آبلی باشد. آنگاه $Z(G)\subseteq M$.

اثبات. $Z=Z(G)\trianglelefteq G$، پس $ZM$ زیرگروهی است با $M\subseteq ZM\subseteq G$؛ ماکسیمال‌بودن تنها $ZM=M$ یا $ZM=G$ را باقی می‌گذارد. اگر $ZM=G$، بنویسید $g_i=z_im_i$ با $z_i\in Z$، $m_i\in M$؛ عناصر مرکزی با همه جابه‌جا می‌شوند و $M$ آبلی است، پس $g_1g_2=z_1z_2m_1m_2=z_2z_1m_2m_1=g_2g_1$ و $G$ آبلی می‌شد — که مستثنا شده است. بنابراین $ZM=M$، یعنی $Z\subseteq M$. $\blacksquare$

قضیه (دو زیرگروه ماکسیمالِ آبلی، مرکز را تعیین می‌کنند). اگر $G$ ناآبلی باشد و $H\ne K$ زیرگروه‌های ماکسیمالِ آبلی $G$ باشند، آنگاه $H\cap K=Z(G).$

اثبات. بگذارید $D=H\cap K$. ($D\subseteq Z(G)$، از راه مرکزساز.) $H$ آبلی است و $D\subseteq H$، پس هر عنصر $H$ با هر عنصر $D$ جابه‌جا می‌شود: $H\subseteq C_G(D)$؛ به‌همین ترتیب $K\subseteq C_G(D)$. چون $C_G(D)$ زیرگروهی شامل هر دو است، $C_G(D)\supseteq\langle H,K\rangle=G$، پس $C_G(D)=G$، که دقیقاً یعنی $D\subseteq Z(G)$. ($Z(G)\subseteq D$، از راه ماکسیمال‌بودن.) بنا بر لم $Z(G)\subseteq H$ و $Z(G)\subseteq K$، پس $Z(G)\subseteq D$. $\blacksquare$

آنچه این قضیه به‌طور کلی از میان برمی‌دارد: هر دو شمول اکید ($Z(G)\subsetneq H\cap K$ و $H\cap K\subsetneq Z(G)$) ناممکن‌اند، و «$H\cap K=\{e\}$» تنها گزاره‌ای گاهی-درست است — دقیقاً وقتی برقرار است که $Z(G)=\{e\}$. سه نمونه موضوع را روشن می‌کنند:

نتیجه (مرتبهٔ $p^{3}$). اگر $\lvert G\rvert=p^{3}$ و $G$ ناآبلی باشد، آنگاه $\lvert Z(G)\rvert=p$ و $G/Z(G)\cong\mathbb{Z}_p\times\mathbb{Z}_p$ (بخش ۵)؛ هر زیرگروه ماکسیمال مرتبهٔ $p^{2}$ دارد، پس آبلی است، و هر دو زیرگروه ماکسیمال متمایز دقیقاً در $Z(G)$ اشتراک دارند.

تلهٔ اصطلاحی: زیرگروه ماکسیمالِ آبلی (ماکسیمال در کل مشبکهٔ زیرگروه‌ها، و آبلی) همان زیرگروه آبلیِ ماکسیمال (ماکسیمال در میان زیرگروه‌های آبلی، مثلاً بسیاری از مرکزسازها) نیست. هر دو گام اثبات از ماکسیمال‌بودن در کل مشبکه استفاده می‌کنند — $\langle H,K\rangle=G$ و $ZM\in\{M,G\}$ — پس قضیه به مفهوم دوم منتقل نمی‌شود.

۷. پوشاندن یک گروه با زیرگروه‌های سره

قضیه. یک گروه اجتماع تعداد متناهی زیرگروه سره است اگر و تنها اگر دوری نباشد. کوچک‌ترین شاهد، گروه چهارتایی کلاین است $V_4=\mathbb{Z}_2\times\mathbb{Z}_2=\langle a\rangle\cup\langle b\rangle\cup\langle ab\rangle,$ یعنی اجتماع سه زیرگروه از مرتبهٔ $2$ آن. (هم‌ارزاً، یک گروه متناهی دقیقاً وقتی اجتماع زیرگروه‌های ماکسیمال خود است که دوری نباشد — یک مولد باید از هر زیرگروه سره‌ای بیرون بماند.) ترکیب این حکم با قضیهٔ تناظر از حرکت‌های محبوب کنکور است: اگر $N\trianglelefteq G$ با $[G:N]=4$ و $G/N$ دوری نباشد (پس $G/N\cong V_4$)، سه زیرگروهِ اندیس-$2$ گروه $G/N$ به سه زیرگروه سره با اندیس $2$ در $G$ برمی‌گردند: $A=\pi^{-1}(\langle\bar a\rangle)$، $B$، $C$، که هر یک شامل $N$ هستند، با $G=A\cup B\cup C.$

۸. قضایای سیلو

بنویسید $|G|=p^{a}m$ با $p\nmid m$. یک زیرگروه سیلوِ $p$ زیرگروهی از مرتبهٔ $p^{a}$ است (یک $p$-زیرگروه ماکسیمال). تعداد آن‌ها را $n_p$ می‌نامیم.

1. وجود. زیرگروه‌های سیلوِ $p$ وجود دارند؛ بیش از این، هر $p$-زیرگروه $G$ درون یکی از زیرگروه‌های سیلوِ $p$ قرار می‌گیرد.
2. مزدوجی. هر دو زیرگروه سیلوِ $p$ در $G$ مزدوج‌اند.
3. تعداد. $n_p=[G:N_G(P)]$ برای هر زیرگروه سیلوِ $p$ مانند $P$، و $n_p\equiv 1\pmod{p},\qquad n_p\mid m.$

نتیجهٔ کلیدی. $n_p=1$ اگر و تنها اگر زیرگروه سیلوِ $p$ نرمال باشد (مزدوجِ یگانه نرمال است). این ابزار اصلی برای اثبات ساده‌نبودن یک گروه است: عدد اولی مانند $p$ بیابید که $n_p$ ناگزیر برابر $1$ شود. همچنین توجه کنید که $n_p>1$ ایجاب می‌کند $n_p\ge p+1$، پس اگر هر مقسوم‌علیه $m$ در $\le p$ صدق کند خودبه‌خود $n_p=1$.

جذب توسط یک زیرگروه سیلوِ یگانه (نرمال). اگر $n_p=1$ با زیرگروه سیلوِ $p$ یگانهٔ $P$ باشد، آنگاه $P=\{\,g\in G:\operatorname{ord}(g)\ \text{is a power of}\ p\,\},$ یعنی $P$ شامل هر عنصر — و هر زیرگروه — از مرتبهٔ توان-$p$ است. اثبات: $\langle g\rangle$ یک $p$-زیرگروه است، پس بنا بر سیلوِ I درون یکی از زیرگروه‌های سیلوِ $p$ قرار دارد، و تنها یکی وجود دارد. پیامدهایی که ارزش بردن به جلسهٔ آزمون را دارند:

• $G$ دقیقاً $p^{a}$ عنصر از مرتبهٔ توان-$p$ دارد (همه درون $P$)، و $\lvert G/P\rvert=m$ نسبت به $p$ اول است.
• برای هر $K\le G$ از مرتبهٔ توان-$p$، $K\subseteq P$، پس مجموعهٔ حاصل‌ضرب فرومی‌ریزد: $KP=PK=P$ و $\lvert KP\rvert=\lvert P\rvert$.
• $P$ در $G$ مشخصه است (خودریختی‌ها زیرگروه‌های سیلوِ $p$ را جابه‌جا می‌کنند؛ اینجا فقط یکی برای جابه‌جایی هست)، پس $P$ در هر گروهی که $G$ را به‌عنوان زیرگروه نرمال در بر داشته باشد نرمال می‌ماند — همان سازوکار بخش ۴.
• اثبات تک‌خطی هم‌ارز برای جذب، بدون سیلوِ I/II: $P\trianglelefteq G$، پس $\lvert G/P\rvert=m$؛ اگر $\operatorname{ord}(g)=p^{k}$ آنگاه $\operatorname{ord}(gP)$ هم $p^{k}$ و هم $m$ را عاد می‌کند که نسبت به هم اول‌اند — این دقیقاً همان لم اول‌بودن نسبیِ اندیس و مرتبه در بخش ۱ است.