آماره‌های ترتیبی و حدهای مقادیر کرانی

۱. تعریف و واژه‌نامهٔ پایه

فرض کنید نمونهٔ تصادفی $X_1,\dots,X_n$ (مستقل و هم‌توزیع با تابع توزیع تجمعی $F$ و چگالی $f$) داده شده است؛ مقادیر مشاهده‌شده را به ترتیب صعودی مرتب می‌کنیم: $X_{(1)} \le X_{(2)} \le \dots \le X_{(n)}.$ مقدار $k$-اُم یعنی $X_{(k)}$ را آمارهٔ ترتیبی $k$-اُم می‌نامند. دو مورد از آن‌ها ویژه‌اند: کمینهٔ نمونه $X_{(1)}=\min_i X_i$ و بیشینهٔ نمونه $X_{(n)}=\max_i X_i$. دامنهٔ نمونه برابر $R = X_{(n)}-X_{(1)}$، میان‌دامنه برابر $M=\tfrac12\bigl(X_{(1)}+X_{(n)}\bigr)$، و (برای $n=2m+1$ فرد) میانهٔ نمونه برابر $X_{(m+1)}$ است.

کل این مبحث بر یک ترجمهٔ ساده میان پیشامدها استوار است: $\{X_{(n)}\le x\} \equiv \{\text{every } X_i \le x\}, \qquad \{X_{(1)} > x\} \equiv \{\text{every } X_i > x\}.$

برای جامعهٔ پیوسته، احتمال تساوی‌ها برابر $0$ است، نامساوی‌ها تقریباً حتماً اکید‌اند، و بردار مرتب‌شده چگالی توأم زیر را دارد: $f_{X_{(1)},\dots,X_{(n)}}(y_1,\dots,y_n) = n!\prod_{i=1}^{n} f(y_i), \qquad y_1<y_2<\dots<y_n,$ که در آن ضریب $n!$ تعداد ترتیب‌های نمونهٔ مرتب‌نشده‌ای را می‌شمارد که به یک بردار مرتب‌شدهٔ یکسان می‌انجامند. هر فرمول این کارت، یک حاشیه‌ای یا یک حد از همین شیء واحد است.

یک واقعیت ساختاری که پیوسته به کار می‌آید: آماره‌های ترتیبی نسبت به نگاشت‌های صعودی هم‌وردا هستند. اگر $g$ اکیداً صعودی باشد آنگاه $\bigl(g(X)\bigr)_{(k)} = g\bigl(X_{(k)}\bigr)$؛ به‌ویژه برای $Y = a + cX$ با $c>0$ داریم $Y_{(k)} = a + c\,X_{(k)}$ و در نتیجه $\mathbb{E}[Y_{(k)}] = a + c\,\mathbb{E}[X_{(k)}]$. یک نگاشت نزولی رتبه‌ها را معکوس می‌کند: $\bigl(-X\bigr)_{(k)} = -X_{(n-k+1)}$؛ به همین دلیل است که هر حکمی دربارهٔ بیشینه‌ها یک حکم آینه‌ای رایگان دربارهٔ کمینه‌ها دارد — و همان‌طور که بخش ۴ نشان می‌دهد، به همین دلیل جامعه‌های متقارن انتگرال‌های کامل را از میان برمی‌دارند.

واقعیت ساختاری دوم: بردار مرتب‌شده یک زنجیرهٔ مارکوف است. به شرط $X_{(k)}=t$، بلوک پایینی $\bigl(X_{(1)},\dots,X_{(k-1)}\bigr)$ مانند آماره‌های ترتیبی $k-1$ مشاهدهٔ مستقل و هم‌توزیع از $F$ بریده‌شده روی $(-\infty,t]$ توزیع می‌شود، بلوک بالایی $\bigl(X_{(k+1)},\dots,X_{(n)}\bigr)$ مانند $n-k$ مشاهدهٔ مستقل و هم‌توزیع از $F$ بریده‌شده روی $[t,\infty)$، و این دو بلوک مستقل‌اند. هر محاسبهٔ شرطی روی آماره‌های ترتیبی نمونه‌ای از همین حکم است.

۲. آماره‌های ترتیبی کرانی (این‌ها را حفظ کنید)

چون $X_i$ها مستقل‌اند، دو پیشامد بالا به حاصل‌ضرب تجزیه می‌شوند:

چگالی‌ها با مشتق‌گیری به دست می‌آیند: $f_{X_{(n)}}(x) = n\,[F(x)]^{n-1}f(x), \qquad f_{X_{(1)}}(x) = n\,[1-F(x)]^{n-1}f(x).$

تنها فرضی که اینجا اهمیت دارد استقلال است — هم‌توزیع‌بودن لازم نیست. برای $X_i$های مستقل ولی با توزیع‌های متفاوت: $F_{\max}(x)=\prod_{i=1}^{n}F_i(x), \qquad P(\min>x)=\prod_{i=1}^{n}\bigl[1-F_i(x)\bigr].$ اگر نمونه وابسته باشد، هیچ‌یک از این‌ها برقرار نیست و باید از قانون توأم انتگرال بگیرید.

۳. آمارهٔ ترتیبی عمومی $k$-اُم

برای آنکه $X_{(k)}$ نزدیک $x$ قرار گیرد، باید یک مشاهده روی $x$ بنشیند، دقیقاً $k-1$ مشاهده پایین‌تر و $n-k$ مشاهده بالاتر بیفتند. شمارش چندجمله‌ای می‌دهد: $f_{X_{(k)}}(x) = \frac{n!}{(k-1)!\,(n-k)!}\,[F(x)]^{k-1}\,[1-F(x)]^{n-k}\,f(x).$ تابع توزیع تجمعی شکل هم‌ارز «دست‌کم $k$ موفقیت» (دوجمله‌ای) دارد که غالباً در یک سؤال چهارگزینه‌ای سریع‌تر است: $F_{X_{(k)}}(x)=P\bigl(X_{(k)}\le x\bigr)=\sum_{j=k}^{n}\binom{n}{j}[F(x)]^{j}[1-F(x)]^{n-j}.$

یک نتیجهٔ تمیز: اگر $X_i\sim\mathrm{Uniform}(0,1)$ آنگاه $F(x)=x$، پس $X_{(k)}\sim \mathrm{Beta}(k,\,n-k+1)$ و در نتیجه $\mathbb{E}[X_{(k)}]=\frac{k}{n+1},\qquad \operatorname{Var}\bigl(X_{(k)}\bigr)=\frac{k(n-k+1)}{(n+1)^{2}(n+2)}$ — یعنی نمونه بازهٔ $(0,1)$ را به $n+1$ فاصله با امید ریاضی برابر افراز می‌کند.

این یک حالت خاص نیست: به کمک تبدیل انتگرال احتمال $U_i=F(X_i)\sim\mathrm{U}(0,1)$ (برای $F$ پیوسته)، پس برای هر جامعهٔ پیوسته $F\bigl(X_{(k)}\bigr)\sim\mathrm{Beta}(k,\,n-k+1), \qquad X_{(k)} \stackrel{d}{=} F^{-1}\bigl(U_{(k)}\bigr).$ بنابراین هر مسئلهٔ آماره‌های ترتیبی را می‌توان به حالت یکنواخت منتقل کرد و سپس با $F^{-1}$ بازگرداند.

دو آماره با هم. برای $i<j$ چگالی توأم برابر است با $f_{X_{(i)},X_{(j)}}(u,v)=\frac{n!}{(i-1)!\,(j-i-1)!\,(n-j)!}[F(u)]^{i-1}[F(v)-F(u)]^{j-i-1}[1-F(v)]^{n-j}f(u)f(v),\quad u<v,$ و همین است که برای دامنهٔ $R=X_{(n)}-X_{(1)}$ (با $i=1$، $j=n$) و برای هر پیشامدی که دو رتبه را به هم گره می‌زند — یک مجموع $X_{(i)}+X_{(j)}$، یک تفاضل، یا ناحیه‌ای در صفحهٔ $(u,v)$ — از آن انتگرال می‌گیرید. این حالت آن‌قدر مهم است که بخش جداگانه‌ای دارد.

۴. زوج کمینه–بیشینه: دامنه، میان‌دامنه و تقارن بازتابی

قرار دادن $i=1$ و $j=n$ در رابطهٔ بالا، ابزار اصلی هر پرسش «کمینه و بیشینه» را می‌دهد: $f_{X_{(1)},X_{(n)}}(u,v)=n(n-1)\,[F(v)-F(u)]^{\,n-2}\,f(u)\,f(v),\qquad u<v .$ تفسیر ترکیبیاتی آن چنین است: انتخاب کنید کدام مشاهده کمینه است ($n$ حالت) و کدام بیشینه ($n-1$ حالت)، آن‌ها را در $u$ و $v$ بگذارید، و $n-2$ مشاهدهٔ باقی‌مانده را به بازهٔ باز $(u,v)$ ببرید که هرکدام با احتمال $F(v)-F(u)$ در آن می‌افتند.

دامنه. $R=X_{(n)}-X_{(1)}$ چگالی و تابع توزیع زیر را دارد: $f_R(r)=n(n-1)\!\int_{-\infty}^{\infty}\!\bigl[F(u+r)-F(u)\bigr]^{n-2}f(u)f(u+r)\,du,\qquad P(R\le r)=n\!\int_{-\infty}^{\infty}\!\bigl[F(u+r)-F(u)\bigr]^{n-1}f(u)\,du,$ برای $r>0$ (شکل تابع توزیع می‌گوید: کمینه در $u$ می‌نشیند و $n-1$ مشاهدهٔ دیگر همگی در $(u,u+r]$ می‌افتند).

برای $\mathrm{U}(0,1)$ همه‌چیز فرو می‌ریزد، زیرا $f_{X_{(1)},X_{(n)}}(u,v)=n(n-1)(v-u)^{n-2}$ روی $0<u<v<1$: $R\sim\mathrm{Beta}(n-1,2),\qquad f_R(r)=n(n-1)r^{n-2}(1-r),\qquad P(R\le r)=n r^{\,n-1}-(n-1)r^{\,n},$ $\mathbb{E}[R]=\frac{n-1}{n+1},\qquad \operatorname{Var}(R)=\frac{2(n-1)}{(n+1)^{2}(n+2)} .$ روی $\mathrm{U}(a,b)$ کافی است در $b-a$ ضرب کنید (هم‌وردایی نسبت به نگاشت اکید صعودی هم‌ریخت).

لم بازتاب — تقارنی که انتگرال را از بین می‌برد. فرض کنید جامعه حول $c$ متقارن باشد، یعنی $2c-X\stackrel{d}{=}X$ (توزیع یکنواخت روی $(a,b)$ حول $c=\tfrac{a+b}{2}$؛ $\mathcal{N}(\mu,\sigma^{2})$ حول $\mu$؛ هر چگالی زوج حول $0$). نگاشت $x\mapsto 2c-x$ نزولی است، پس اعمال آن بر کل نمونه، نمونه‌ای با همان توزیع ولی با رتبه‌های معکوس می‌دهد: $\bigl(X_{(1)},X_{(2)},\dots,X_{(n)}\bigr)\ \stackrel{d}{=}\ \bigl(2c-X_{(n)},\,2c-X_{(n-1)},\dots,\,2c-X_{(1)}\bigr).$ سه نتیجه، همگی بدون هیچ انتگرالی:

1. رتبه‌های آینه‌ای. $X_{(k)}\stackrel{d}{=}2c-X_{(n+1-k)}$، پس $\mathbb{E}\bigl[X_{(k)}\bigr]+\mathbb{E}\bigl[X_{(n+1-k)}\bigr]=2c$. (وارسی با توزیع یکنواخت: $a+\tfrac{k}{n+1}(b-a)$ و $a+\tfrac{n+1-k}{n+1}(b-a)$ واقعاً به $a+b$ می‌رسند.)
2. میان‌دامنه. $S=X_{(1)}+X_{(n)}$ در $S\stackrel{d}{=}4c-S$ صدق می‌کند، پس $S$ حول $2c$ متقارن است و $M=S/2$ حول $c$ متقارن است. برای جامعهٔ پیوسته $P(S=2c)=0$، بنابراین $\boxed{\;P\bigl(X_{(1)}+X_{(n)}\le 2c\bigr)=P(M\le c)=\tfrac12\quad\text{for every }n\ge 1 .\;}$ حجم نمونه یک گزینهٔ فریب است: پاسخ برای هر $n$ و هر جامعهٔ متقارن برابر $\tfrac12$ است.
3. ناورداها. دامنهٔ $R$ زیر این بازتاب تغییر نمی‌کند، و برای $n$ فرد میانهٔ نمونه خودش حول $c$ متقارن است (پس میانهٔ آن برابر $c$ است).

برای $\mathrm{U}(0,1)$ (یعنی $c=\tfrac12$) نتیجهٔ ۲ به این صورت خوانده می‌شود: $P\bigl(X_{(1)}+X_{(n)}\le1\bigr)=\tfrac12$؛ آنجا میان‌دامنه حتی چگالی صریح $f_M(m)=n\bigl(2\min(m,1-m)\bigr)^{n-1}$ روی $(0,1)$ دارد که آشکارا حول $\tfrac12$ متقارن است.

هرگاه جامعه متقارن نباشد، یا پیشامد تصویر آینه‌ای متمم خود نباشد، به چگالی توأم برگردید و روی ناحیه انتگرال بگیرید — هر دو راه را در بخش ۷(ج) کنار هم ببینید.

۵. امیدهای ریاضی و گشتاورها

سطر آخر دو اتحاد رایگان برای هر زوج (مستقل یا نه) می‌دهد: $\mathbb{E}[\max]+\mathbb{E}[\min]=\mathbb{E}[X]+\mathbb{E}[Y],\qquad \mathbb{E}[\max]-\mathbb{E}[\min]=\mathbb{E}\lvert X-Y\rvert .$ و چون $\max$ تابعی محدب از $(X,Y)$ است، نامساوی ینسن ایجاب می‌کند $\mathbb{E}[\max(X,Y)]\ \ge\ \max\bigl(\mathbb{E}X,\mathbb{E}Y\bigr),$ با تساوی تنها در حالت‌های تباهیده — پس گزینه‌ای که ادعا کند $\mathbb{E}[\max]=\max(\mathbb{E}X,\mathbb{E}Y)$ (که برای جامعهٔ متقارن معمولاً «صفر» می‌شود) همیشه نادرست است.

۶. روش — دستور کار کنکوری

1. توزیع جامعه و تابع توزیع تجمعی $F$ آن را شناسایی کنید (یا فقط همان احتمال تک‌مشاهده‌ای که لازم دارید).
2. پیشامد مقدار کرانی را به یک پیشامد «همه» بازنویسی کنید. «بیشینه $<c$» $\Rightarrow$ همه $<c$؛ «کمینه $>c$» $\Rightarrow$ همه $>c$.
3. احتمال تک‌مشاهده را به توان $n$ برسانید. $P(\max<c)=[F(c)]^n$، $P(\min>c)=[1-F(c)]^n$.
4. برای آمارهٔ میانی یا میانه، از چگالی نوع $\mathrm{Beta}$ در بخش ۳ (یا شکل تابع توزیع دوجمله‌ای) استفاده کنید.
5. برای دو رتبه به‌طور هم‌زمان (یک مجموع $X_{(i)}+X_{(j)}$، یک دامنه، یا پیشامدی در صفحهٔ $(u,v)$): نخست جامعه را از نظر تقارن حول نقطهٔ $c$ بیازمایید — اگر پیشامد تصویر آینه‌ای متمم خودش باشد، پاسخ $\tfrac12$ است و هیچ انتگرالی لازم نیست (بخش ۴). در غیر این صورت از چگالی توأم بخش‌های ۳ و ۴ روی ناحیه انتگرال بگیرید و ابتدا روی $u$ برش بزنید.
6. برای امید ریاضی، به این ترتیب اولویت بدهید: (الف) یک فرم بستهٔ شناخته‌شده (قاعدهٔ یکنواخت $k/(n+1)$، نمایی $H_n/\lambda$، فاصله‌های رنیی) که با قاعدهٔ آفین/هم‌وردایی منتقل شود؛ (ب) انتگرال تابع بقا؛ (ج) انتگرال‌گیری مستقیم نسبت به $f_{X_{(k)}}$.
7. برای پرسش مجانبی ($n\to\infty$ با مقیاسی مانند $nY_n$ یا $X_{(n)}/n^{1/\alpha}$) به بخش ۹ بروید: آستانهٔ مقیاس‌شده را در $[1-F]^n$ یا $[F]^n$ بگذارید و از $\bigl(1-\tfrac{\lambda}{n}\bigr)^{n}\to e^{-\lambda}$ استفاده کنید.

۷. مثال‌های کوتاه حل‌شده

(الف) یک احتمال دنباله‌ای. فرض کنید $X\sim\mathrm{Uniform}(a,b)$ و نمونه‌ای به حجم $n$ گرفته‌ایم؛ $P(\max < c)$ را برای $a<c<b$ بیابید. یک مشاهدهٔ منفرد در $P(X<c)=\dfrac{c-a}{b-a}$ صدق می‌کند. چون «بیشینه $<c$» یعنی هر $n$ مشاهده $<c$ است، $P(X_{(n)}<c)=\left(\frac{c-a}{b-a}\right)^{n}.$ با $a=5,b=25,c=10,n=3$: $P=\left(\tfrac{5}{20}\right)^3=\left(\tfrac14\right)^3=\tfrac1{64}$. مقیاس جامعه ($a,b$) فقط از راه همین یک نسبت وارد می‌شود؛ توان همان حجم نمونه است.

(ب) یک امید ریاضی. برای $X_1,\dots,X_n\stackrel{iid}{\sim}\mathrm{U}(a,b)$ مقدار $\mathbb{E}[\max]$ را حساب کنید. بنویسید $X_i=a+(b-a)U_i$ با $U_i\sim\mathrm{U}(0,1)$؛ چون نگاشت صعودی است، $X_{(n)}=a+(b-a)U_{(n)}$ و $U_{(n)}\sim\mathrm{Beta}(n,1)$ میانگین $\tfrac{n}{n+1}$ دارد، پس $\mathbb{E}[X_{(n)}]=a+\frac{n}{n+1}(b-a).$ برای $n=2$ روی بازهٔ متقارن $(-1,1)$ این مقدار برابر $-1+\tfrac23\cdot 2=\tfrac13$ می‌شود — مثبت، همان‌طور که ینسن حکم می‌کند، و نه $\max(\mathbb{E}X_1,\mathbb{E}X_2)=0$. وارسی مستقیم: $f_{X_{(2)}}(t)=2F(t)f(t)=\tfrac{t+1}{2}$ روی $(-1,1)$ و $\int_{-1}^{1}t\tfrac{t+1}{2}dt=\tfrac13$؛ یا از راه بخش ۵، $\mathbb{E}[\max]=\tfrac12\mathbb{E}\lvert X_1-X_2\rvert=\tfrac12\cdot\tfrac23=\tfrac13$.

(ج) کمینه و بیشینه با هم — الگوی متعارف دو‌رتبه‌ای. برای $X_1,\dots,X_n\stackrel{iid}{\sim}\mathrm{U}(0,1)$ مقدار $P\bigl(X_{(1)}+X_{(n)}\le 1\bigr)$ را بیابید.

راه تقارن (یک خط). $Y_i=1-X_i$ باز هم نمونه‌ای از $\mathrm{U}(0,1)$ است و نگاشت رتبه‌ها را معکوس می‌کند، پس $Y_{(1)}=1-X_{(n)}$، $Y_{(n)}=1-X_{(1)}$ و $Y_{(1)}+Y_{(n)}=2-\bigl(X_{(1)}+X_{(n)}\bigr)$. بنابراین $S=X_{(1)}+X_{(n)}$ در $S\stackrel{d}{=}2-S$ صدق می‌کند: متقارن حول $1$ و پیوسته، پس $P(S\le1)=P(S\ge1)=\tfrac12$.

راه انتگرال‌گیری (وارسی، $n=4$). اینجا $f_{X_{(1)},X_{(4)}}(u,v)=4\cdot3\,(v-u)^{2}=12(v-u)^{2}$ روی $0<u<v<1$. قید $u+v\le1$ همراه با $u<v$ ایجاب می‌کند $u<\tfrac12$ و $v\in(u,1-u)$: $\int_{u}^{1-u}12(v-u)^{2}\,dv=4(v-u)^{3}\Big|_{u}^{1-u}=4(1-2u)^{3},\qquad \int_{0}^{1/2}4(1-2u)^{3}\,du=\frac{4}{8}=\frac12 .$ هر دو راه به $\tfrac12$ می‌رسند، و راه نخست نشان می‌دهد پاسخ برای $n=2,3,4,\dots$ و نیز برای جامعهٔ نرمال، مثلثی متقارن، یا هر $\mathrm{U}(a,b)$ با آستانهٔ $2c=a+b$ یکسان است.

۸. سه میان‌بُر تقارنی که کنکور عاشق آن‌هاست

آستانه = میانه. بنا به تعریف میانهٔ $m$، برای هر جامعهٔ پیوسته $P(X>m)=\tfrac12$. پس $P(\min>m)=(\tfrac12)^n$ و $P(\max<m)=(\tfrac12)^n$ صرف‌نظر از توزیع — نام خانوادهٔ توزیع (گاما، نمایی، نرمال و …) یک شاه‌ماهی قرمز است. به‌طور کلی‌تر، اگر آستانه چندک $p$-اُم باشد، پاسخ‌ها $(1-p)^n$ و $p^{\,n}$ خواهند بود.

تعویض‌پذیری / «چه کسی کرانی است». اگر $m$ متغیر مستقل و هم‌توزیع با تابع توزیع پیوسته باشند، احتمال تساوی برابر $0$ است، پس بنا به تقارن احتمال کوچک‌ترین (یا بزرگ‌ترین) بودن برای هرکدام یکسان و برابر $\tfrac1m$ است. بنابراین برای متغیر مستقل اضافی $Y$ با همان توزیع: $P(Y \le X_{(1)}) = P(Y=\min\{Y,X_1,\dots,X_n\}) = \frac{1}{n+1},\quad\text{so } P(Y>X_{(1)})=1-\frac{1}{n+1}.$ هیچ انتگرالی لازم نیست — فقط $n+1$ قهرمان هم‌احتمال را بشمارید. نسخهٔ ناهم‌توزیع: برای $X_i\sim\mathrm{Exp}(\lambda_i)$های مستقل، $\min_i X_i\sim\mathrm{Exp}\Bigl(\textstyle\sum_i\lambda_i\Bigr),\qquad P\bigl(X_i=\min\bigr)=\frac{\lambda_i}{\sum_j\lambda_j},$ که وقتی همهٔ نرخ‌ها برابر باشند به $1/m$ فرو می‌ریزد.

بازتاب حول مرکز (بخش ۴). برای جامعهٔ متقارن حول $c$، رتبهٔ $k$ آینهٔ رتبهٔ $n+1-k$ است؛ پس $\mathbb{E}[X_{(k)}]+\mathbb{E}[X_{(n+1-k)}]=2c$ و $P\bigl(X_{(1)}+X_{(n)}\le 2c\bigr)=\tfrac12$ برای هر $n$. هر پرسشی که پیشامدش با $x\mapsto 2c-x$ به متمم خودش برود، پاسخ $\tfrac12$ دارد.

۹. حدهای مقادیر کرانی ($n\to\infty$)

مقادیر کرانی نرمال‌نشده تباهیده‌اند. با $\theta_-=\inf\{x: F(x)>0\}$ و $\theta_+=\sup\{x:F(x)<1\}$ به‌عنوان دو انتهای تکیه‌گاه، $X_{(1)}\xrightarrow{\ P\ }\theta_-,\qquad X_{(n)}\xrightarrow{\ P\ }\theta_+ .$ پس «تباهیده در نقطهٔ انتهایی» تنها زمانی پاسخ درست است که هیچ مقیاس‌بندی‌ای اعمال نشده باشد و آن نقطهٔ انتهایی متناهی باشد؛ اگر $\theta_+=\infty$ باشد بیشینهٔ نرمال‌نشده صرفاً واگرا می‌شود و هیچ پاسخ تباهیده‌ای در دسترس نیست. حد غیربدیهی دقیقاً وقتی ظاهر می‌شود که مقدار کرانی با نرمال‌سازی مجدد آفین درست $a_n^{-1}\bigl(X_{(n)}-b_n\bigr)$ بزرگ‌نمایی شود.

لم اصلی. اگر $n\,g_n\to\lambda\in[0,\infty)$ آنگاه $(1-g_n)^{n}\to e^{-\lambda}$؛ نمونهٔ کارآمد آن $\bigl(1-\tfrac{y}{n}\bigr)^{n}\to e^{-y}$ است و به‌طور کلی‌تر $\bigl(1-\tfrac{y}{n}\bigr)^{\beta n}\to e^{-\beta y}$.

معیار اصلی (جانشین همهٔ بررسی حالت‌ها). چون $[F]^{n}=\exp\bigl\{n\log\bigl(1-(1-F)\bigr)\bigr\}\approx\exp\bigl\{-n(1-F)\bigr\}$، $\frac{X_{(n)}-b_n}{a_n}\xrightarrow{\ d\ }G \iff n\bigl[1-F(b_n+a_n y)\bigr]\longrightarrow -\log G(y)$ در هر $y$ با $G(y)>0$. پس: آستانهٔ مقیاس‌شده را جای‌گذاری کنید، $n\bigl[1-F(\cdot)\bigr]$ را حساب کنید و از قرینهٔ آن نمایی بگیرید.

۹.۱ کمینه در نقطهٔ انتهایی چپِ متناهی

فرض کنید تکیه‌گاه از $\theta$ آغاز شود و تابع توزیع تجمعی دنبالهٔ چپ توانی داشته باشد: $F(\theta+t)=c\,t^{\alpha}+o(t^{\alpha})\quad (t\downarrow 0),\qquad c>0,\ \alpha>0 .$ آنگاه با $Y_n=X_{(1)}$، $P\Bigl(n^{1/\alpha}\bigl(Y_n-\theta\bigr)>y\Bigr)=\Bigl[1-F\bigl(\theta+y\,n^{-1/\alpha}\bigr)\Bigr]^{n}\longrightarrow e^{-c\,y^{\alpha}},\qquad y>0,$ پس حد یک قانون وایبول با پارامتر شکل $\alpha$ است. حالتی که در کنکور به‌شدت رایج است $\alpha=1$ است، یعنی جامعه‌ای که چگالی‌اش در نقطهٔ انتهایی چپ مثبت و پیوسته است؛ آنگاه $c=f(\theta^{+})$ و $\boxed{\,n\bigl(X_{(1)}-\theta\bigr)\ \xrightarrow{\ d\ }\ \mathrm{Exp}\bigl(\text{rate }f(\theta^{+})\bigr),\qquad \text{mean }\frac{1}{f(\theta^{+})}.\,}$ شعار به‌یادماندنی: برای کمینه، تنها چگالی در نقطهٔ انتهایی چپ باقی می‌ماند؛ مقیاس $n$ است و نمایی حدی نرخ $f(\theta^{+})$ دارد.

نمونهٔ حل‌شده (الگوی متعارف). خانوادهٔ $f(x)=\beta(1-x)^{\beta-1}$ روی $(0,1)$ با $\beta>0$ را در نظر بگیرید (یک قانون $\mathrm{Beta}(1,\beta)$). آنگاه دقیقاً $1-F(t)=(1-t)^{\beta}$ و $\theta=0$، و برای $y>0$ ثابت و $n>y$ $P\bigl(nY_n>y\bigr)=\Bigl[1-F\bigl(\tfrac{y}{n}\bigr)\Bigr]^{n}=\Bigl(1-\frac{y}{n}\Bigr)^{\beta n}\longrightarrow e^{-\beta y}.$ پس $nY_n\xrightarrow{d}\mathrm{Exp}(\beta)$، یعنی تابع توزیع حدی $G(y)=1-e^{-\beta y}$ و میانگین $1/\beta$ — سازگار با $f(0^{+})=\beta$. برای $\beta=2$ (چگالی $2(1-x)$) پاسخ $\mathrm{Exp}(2)$ با میانگین $\tfrac12$ است؛ گزینهٔ انحرافی کلاسیک $\mathrm{Exp}(1)$ است که از به‌کار‌بردن سرسری $1-F(t)\approx 1-t$ به‌جای $(1-t)^{\beta}$، یا از گزارش‌کردن نرخ به‌جای میانگین، پدید می‌آید.

۹.۲ بیشینه در نقطهٔ انتهایی راستِ متناهی

همه‌چیز را از راه $\max(X_i)=-\min(-X_i)$ آینه کنید. اگر $1-F(\theta-t)=c\,t^{\beta}+o(t^{\beta})$ وقتی $t\downarrow0$، آنگاه $n^{1/\beta}\bigl(\theta-X_{(n)}\bigr)\xrightarrow{d}$ به وایبول با $P(>y)=e^{-cy^{\beta}}$؛ برای $\beta=1$ داریم $n\bigl(\theta-X_{(n)}\bigr)\xrightarrow{d}\mathrm{Exp}\bigl(f(\theta^{-})\bigr)$. حالت متعارف $\mathrm{U}(0,1)$: $P\bigl(n(1-X_{(n)})>y\bigr)=(1-\tfrac{y}{n})^{n}\to e^{-y}$، پس $n\bigl(1-X_{(n)}\bigr)\xrightarrow{d}\mathrm{Exp}(1)$، و هم‌ارزاً $n\bigl(X_{(n)}-1\bigr)\xrightarrow{d}$ به قانون وایبولِ وارون $e^{y}$ روی $y<0$.

۹.۳ دنباله‌های بی‌کران و قضیهٔ سه‌گانه

فیشر–تیپت–گندنکو. اگر $a_n^{-1}\bigl(X_{(n)}-b_n\bigr)$ در توزیع به حدی غیرتباهیده همگرا شود، آن حد باید — تا یک تغییر متغیر آفین — یکی از دقیقاً همین سه نوع باشد (گامبل، فرشه، وایبول)؛ کمینه‌ها با بازتاب $\min_i X_i = -\max_i(-X_i)$ پوشش داده می‌شوند. این سه در خانوادهٔ GEV یعنی $G_{\xi}(y)=\exp\bigl\{-(1+\xi y)^{-1/\xi}\bigr\}$ روی $1+\xi y>0$ یکپارچه می‌شوند، که در آن $\xi=1/\alpha>0$ فرشه، $\xi\to0$ گامبل و $\xi<0$ وایبول می‌دهد. قانون نرمال هرگز میان آن‌ها نیست: قضیهٔ حد مرکزی بر مجموع‌ها و میانگین‌ها حاکم است، نه بر مقادیر کرانی.

حالت فرشه با جزئیات (دنباله‌های سنگین / توانی). فرض کنید $1-F(x)=x^{-\alpha}L(x)$ با $L$ کندتغییر و $\alpha>0$؛ نمونهٔ ناب آن پارتو با $F(x)=1-x^{-\alpha}$ روی $x>1$ است. بگیرید $b_n=0$ و $a_n=F^{-1}\bigl(1-\tfrac1n\bigr)=n^{1/\alpha}$. آنگاه برای $y>0$ ثابت و همهٔ $n$های به‌قدر کافی بزرگ که $n^{1/\alpha}y>1$، $P\Bigl(\frac{X_{(n)}}{n^{1/\alpha}}\le y\Bigr)=\Bigl[F\bigl(n^{1/\alpha}y\bigr)\Bigr]^{n}=\Bigl(1-\frac{1}{n\,y^{\alpha}}\Bigr)^{\!n}\longrightarrow \exp\bigl(-y^{-\alpha}\bigr)=\Phi_{\alpha}(y),$ و حد برای $y\le0$ برابر $0$ است (نمونه روی $x>1>0$ زندگی می‌کند). پس یک دنبالهٔ توانی با شاخص $\alpha$ ایجاب می‌کند مقیاس‌بندی چندجمله‌ای $n^{1/\alpha}$ بدون هیچ مرکزی‌سازی و قانون فرشه $\Phi_\alpha$؛ هم‌ارزاً $n\bigl[1-F(n^{1/\alpha}y)\bigr]=y^{-\alpha}$ دقیقاً برقرار است، که همان معیار اصلی در یک گام است. برای $\alpha=2$ مقیاس $\sqrt{n}$ و تابع توزیع حدی $e^{-1/y^{2}}$ روی $y>0$ است.

سه گزینهٔ انحرافی که این الگو همیشه به همراه دارد: (i) پاسخِ نوع جامعه (مثلاً $1-1/y$ روی $y\ge1$) — حدِ بیشینهٔ نرمال‌شده هرگز خودِ قانون جامعه نیست؛ (ii) پاسخ نمایی/گامبل یعنی $1-e^{-y}$ — که به دنباله‌های سبک تعلق دارد نه به دنباله‌های توانی؛ (iii) «تباهیده در یک نقطه» — که اینجا فقط برای کمینه درست است، چون $X_{(1)}\xrightarrow{P}1$ (نقطهٔ انتهایی چپ)، و حتی همان هم پس از مقیاس‌بندی غیرتباهیده می‌شود: بنا به بخش ۹.۱، $n\bigl(X_{(1)}-1\bigr)\xrightarrow{d}\mathrm{Exp}(\alpha)$، زیرا $f(1^{+})=\alpha$.

یک هشدار دربارهٔ گشتاورها: همگرایی در توزیع همگرایی گشتاورها را نتیجه نمی‌دهد. $\Phi_\alpha$ تنها برای $\alpha>1$ میانگین $\Gamma\bigl(1-\tfrac1\alpha\bigr)$ دارد و برای $\alpha\le1$ میانگینش بی‌نهایت است؛ جامعهٔ پارتو$(\alpha\le1)$ برای هر $n$ دارای $\mathbb{E}[X_{(n)}]=\infty$ است.

حالت گامبل با جزئیات (دنباله‌های سبک). برای $\mathrm{Exp}(\lambda)$، با $b_n=\tfrac{\log n}{\lambda}$ و $a_n=\tfrac1\lambda$، $P\bigl(X_{(n)}\le b_n+\tfrac{y}{\lambda}\bigr)=\Bigl(1-\frac{e^{-y}}{n}\Bigr)^{\!n}\longrightarrow \exp\bigl(-e^{-y}\bigr).$ شرط کافی فون‌میزس: اگر $F$ دوبار مشتق‌پذیر باشد با $f>0$ در نزدیکی $\theta_+$ و $\dfrac{d}{dx}\dfrac{1-F(x)}{f(x)}\to0$ وقتی $x\uparrow\theta_+$، آنگاه $F$ در دامنهٔ جذب گامبل قرار دارد با $b_n=F^{-1}\bigl(1-\tfrac1n\bigr)$ و $a_n=\dfrac{1-F(b_n)}{f(b_n)}$ (وارون نرخ خطر در $b_n$). جامعه‌های نرمال، لگ‌نرمال، گاما و لجستیک همگی اینجا می‌افتند.

برگهٔ مرور نرمال‌سازی (حدِ $\bigl(X_{(n)}-b_n\bigr)/a_n$):

انتخاب نرمال‌سازی وقتی به شما داده نشده است. برای بیشینه، معادلهٔ $n\bigl[1-F(b_n)\bigr]\approx 1$ یعنی $b_n\approx F^{-1}\bigl(1-\tfrac1n\bigr)$ را حل کنید؛ برای کمینه، $n\,F\bigl(\theta+\tfrac{1}{a_n}\bigr)\approx 1$ را حل کنید. کنکور معمولاً متغیر مقیاس‌شده را به شما می‌دهد (مثلاً $nY_n$ یا $X_{(n)}/\sqrt{n}$) و فقط شناسایی حد را می‌خواهد — پس آستانهٔ مقیاس‌شده را مستقیماً در $[1-F]^{n}$ یا $[F]^{n}$ بگذارید.