توزیع‌های پیوسته: تابع توزیع تجمعی/چگالی، یکنواخت و نمایی

1. «پیوسته» یعنی چه

برای هر متغیر تصادفی حقیقی $X$، تابع توزیع تجمعی (CDF) عبارت است از

$F_X(x)=P(X\le x),\qquad x\in\mathbb{R}.$

متغیر $X$ را (مطلقاً) پیوسته می‌نامیم هرگاه تابع انتگرال‌پذیر $f_X\ge 0$ — یعنی تابع چگالی احتمال (pdf) — موجود باشد به‌طوری‌که

$F_X(x)=\int_{-\infty}^{x}f_X(t)\,dt,\qquad\text{equivalently}\qquad f_X(x)=F_X'(x)$

در هر نقطه‌ای که $F_X$ مشتق‌پذیر است. سه نتیجهٔ آن تقریباً در هر سؤال کنکور به کار می‌آید:

• $P(X=a)=0$ برای یک نقطهٔ تکی، پس $P(a<X<b)=P(a\le X\le b)=F(b)-F(a)$: نامساوی اکید در برابر نامساوی نااکید هرگز پاسخ یک توزیع پیوسته را تغییر نمی‌دهد.
• $f$ یک چگالی است، نه احتمال — مقدار $f(x)>1$ کاملاً مجاز است (برای $U(0,\tfrac12)$ داریم $f\equiv 2$). تنها قید موجود $\int_{\mathbb{R}}f=1$ است.
• همواره تکیه‌گاه را درون خود فرمول نگه دارید: $f(x)=(\dots)\mathbf{1}_{\{x\in S\}}$. بیشتر گزینه‌های نادرست از انتگرال‌گیری روی بازهٔ اشتباه پدید می‌آیند.

به‌طور کلی‌تر $P(X\in B)=\int_{B}f(x)\,dx$ برای هر مجموعهٔ (بورلی) $B$ برقرار است، و همین اتحاد پشتوانهٔ بخش ۵ است: هر پیشامدی دربارهٔ $X$، هرقدر هم عجیب به نظر برسد، انتگرالی از $f$ روی مجموعهٔ $x$هایی است که در آن صدق می‌کنند.

2. اصول موضوعهٔ تابع توزیع — ثابت‌های «آزاد» هرگز آزاد نیستند

قضیهٔ مشخص‌سازی. تابع $F:\mathbb{R}\to[0,1]$ تابع توزیع تجمعی یک متغیر تصادفی است اگر و تنها اگر

1. $F$ ناکاهشی باشد؛
2. $F$ راست‌پیوسته باشد: $F(x^{+})=F(x)$ برای هر $x$؛
3. $\displaystyle\lim_{x\to-\infty}F(x)=0$ و $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}F(x)=1$.

پرش $F$ در یک نقطه دقیقاً برابر جرم نقطه‌ای (اتم) همان نقطه است:

$P(X=a)=F(a)-F(a^{-}),$

پس $X$ پیوسته است $\iff$ تابع $F$ هیچ پرشی ندارد. یک $F$ (یا $f$) تکه‌ای که حروف مجهول دارد، آرایش استاندارد کنکور است و هر اصل موضوعه یک معادله در اختیار می‌گذارد:

پس دو حرف مجهول در یک تابع توزیع تکه‌ای داده‌های گم‌شده نیستند: آن‌ها با دنباله‌ها تعیین می‌شوند، و تنها آخرین اطلاعِ صورت سؤال (یک میانه، یک احتمال، یک میانگین) پارامتر واقعی را مشخص می‌کند.

2b. از چگالی تکه‌ای به تابع توزیع آن (قاعدهٔ آفستِ تجمعی)

وقتی $f$ روی بلوک‌های متوالی $[x_0,x_1],[x_1,x_2],\dots$ با فرمول‌های متفاوت داده شده است، بلوک‌به‌بلوک انتگرال بگیرید و جرم انباشته را با خود ببرید: برای $x$ در بلوک $k$-ام،

$F(x)=\underbrace{\int_{-\infty}^{x_{k-1}}f}_{=\,F(x_{k-1})\ \text{(already accumulated)}}+\int_{x_{k-1}}^{x}f(t)\,dt .$

ویژگی‌هایی که ارزش حفظ کردن دارند:

• $F$ همه‌جا پیوسته است (چگالی هیچ اتمی ندارد) اما فقط تکه‌ای هموار است: در نقطهٔ شکستِ $f$، تابع $F$ یک شکستگی (kink) دارد، هرگز پرش ندارد.
• جرم بلوک‌ها یعنی $m_k=\int_{x_{k-1}}^{x_k}f$ باید در $\sum_k m_k=1$ صدق کند — سریع‌ترین آزمون مجاز بودنِ یک چگالیِ پیشنهادی.
• در نتیجه $F(x_k)=m_1+\cdots+m_k$؛ همین مجموع‌های جزئی همان آفست‌هایی هستند که اضافه می‌کنید.

نمونهٔ متعارف. اگر $f(x)=x^{2}$ روی $(0,1)$ و $f(x)=\tfrac23$ روی $[1,2)$ باشد، جرم‌ها برابر $\tfrac13$ و $\tfrac23$ هستند (مجموع $1$، پس $f$ مجاز است) و

$F(x)=\begin{cases}0,&x\le 0,\\[2pt] \dfrac{x^{3}}{3},&0<x\le 1,\\[4pt] \dfrac13+\dfrac23(x-1),&1<x\le 2,\\[4pt] 1,&x>2.\end{cases}$

اکنون هر احتمالِ روی یک بازه فقط یک تفریق است، مثلاً $P(X<1.5)=F(1.5)=\tfrac13+\tfrac13=\tfrac23$.

3. چندک‌ها، میانه و مُد

تابع چندک وارون تعمیم‌یافتهٔ زیر است

$F^{-1}(p)=\inf\{x\in\mathbb{R}:F(x)\ge p\},\qquad 0<p<1,$

و میانه برابر $m=F^{-1}(\tfrac12)$ است، یعنی هر جواب معادلهٔ $F(m)=\tfrac12$. اگر $F$ روی تکیه‌گاه پیوسته و اکیداً صعودی باشد، $m$ یکتاست و با حل یک معادله به دست می‌آید. مُد بیشینه‌ساز $f$ است؛ میانگین برابر $\int x f(x)\,dx$ است (که در بخش ۴ و در کارت امید ریاضی بسط داده شده). برای یک توزیع با چولگی به راست مانند نمایی داریم $\text{mode}<\text{median}<\text{mean}$ — سرچشمهٔ یک گزینهٔ انحرافیِ کلاسیک.

4. ثابت‌های بهنجارش و گشتاورها

چگالی‌ای که «تا یک ثابت» به شما داده شده، یعنی $f(x)=c\,g(x)\mathbf{1}_{\{x\in S\}}$ با $g\ge0$، دقیقاً یک ثابت پذیرفتنی دارد:

$c=\frac{1}{\displaystyle\int_{S}g(x)\,dx}>0 .$

پس از آن، هر امید ریاضی از قانون آماردانِ ناآگاه (LOTUS) به دست می‌آید

$E[\varphi(X)]=\int_{-\infty}^{\infty}\varphi(x)f(x)\,dx,\qquad\text{in particular}\qquad E[X]=\int_{S}xf(x)\,dx,\quad \operatorname{Var}(X)=E[X^{2}]-\bigl(E[X]\bigr)^{2},$

مشروط بر آنکه انتگرال‌ها مطلقاً همگرا باشند (روی تکیه‌گاه کراندار همیشه چنین است). هرگز $E[X]$ را پیش از تعیین $c$ حساب نکنید، و هرگز خودِ $c$ را به‌عنوان پاسخ گزارش نکنید — این جابه‌جایی یک گزینهٔ انحرافیِ همیشگی است.

خانوادهٔ توانی $f(x)=c\,x^{n}$ روی $[a,b]$ (با $0\le a<b$، $n\ge0$) بیشتر این‌گونه سؤالات را به‌صورت بسته پوشش می‌دهد:

$c=\frac{n+1}{b^{\,n+1}-a^{\,n+1}},\qquad E[X]=\frac{n+1}{n+2}\cdot\frac{b^{\,n+2}-a^{\,n+2}}{b^{\,n+1}-a^{\,n+1}} .$

دو وارسی رایگان که پیش از هر انتگرال‌گیری گزینه‌ها را حذف می‌کنند:

• کران تکیه‌گاه. اگر $P(a\le X\le b)=1$ آنگاه $a\le E[X]\le b$؛ به‌طور کلی‌تر $E[X]$ در پوش محدب تکیه‌گاه قرار دارد. هر گزینهٔ بیرون از $[a,b]$ ناممکن است.
• چولگی چگالی. اگر $f$ روی $[a,b]$ صعودی باشد، جرم نزدیک $b$ انباشته می‌شود و $E[X]>\tfrac{a+b}{2}$؛ اگر $f$ نزولی باشد $E[X]<\tfrac{a+b}{2}$؛ و اگر $f$ حول نقطهٔ میانی متقارن باشد دقیقاً $\tfrac{a+b}{2}$ به دست می‌آید.

5. پیشامدهایی که تابعی از $X$ هستند — نخست به بازه فرو بکاهید

صورت سؤال ممکن است پیشامد را پشت یک عبارت پنهان کند: $P\bigl(g(X)>h(X)\bigr)$، $P(X^{2}<c)$، $P(e^{-X}>t)$، $P(\lfloor X\rfloor=k)$. قاعده همیشه یکی است:

$P\bigl(g(X)>h(X)\bigr)=P(X\in A),\qquad A=\{x\in S:\;g(x)>h(x)\},\qquad P(X\in A)=\int_{A}f(x)\,dx .$

پس نخست نامساوی را حل کنید (جبر محض، فقط روی تکیه‌گاه)، سپس انتگرال بگیرید. این جبر تله‌های همیشگی خود را دارد:

• به توان دو رساندن تنها وقتی هم‌ارزی است که هر دو طرف $\ge0$ باشند؛ روی تکیه‌گاهی که در $[0,\infty)$ قرار دارد این خودکار است، در غیر این صورت نه.
• ضرب/تقسیم در یک کمیت، وقتی آن کمیت منفی باشد جهت نامساوی را برمی‌گرداند؛ به‌جای آن تجزیه کنید و جدول علامت بسازید.
• برای $\varphi$ی اکیداً یکنوا: $\varphi(X)>c\iff X>\varphi^{-1}(c)$ اگر $\varphi$ صعودی باشد، و $\iff X<\varphi^{-1}(c)$ اگر نزولی باشد. برای $\varphi$ی نایکنوا، مجموعهٔ $A$ یک اجتماع از بازه‌هاست (مثلاً $X^{2}<c\iff -\sqrt{c}<X<\sqrt{c}$).
• پیش از انتگرال‌گیری، $A$ را با تکیه‌گاه اشتراک بگیرید؛ یک متغیر یک‌طرفه نیمی از یک پیشامد متقارن را نابود می‌کند.
• نقاط انتهایی بی‌اهمیت‌اند ($P(X=a)=0$)، اما نقاط شکستِ $f$ چنین نیستند: انتگرال $\int_A f$ را در هر نقطهٔ شکستی که بازه از آن می‌گذرد بشکنید.

یک الگوی نمونه: روی تکیه‌گاهی که در آن تقریباً حتماً $X>0$ است،

$\sqrt{aX}>X\iff aX>X^{2}\iff X(a-X)>0\iff 0<X<a\qquad(a>0),$

پس آن پیشامدِ به‌ظاهر عجیب چیزی جز $\{X<a\}$ نیست و پاسخ برابر $F(a)$ است.

6. دو توزیع پرکاربرد

یکنواخت $U(a,b)$. $f(x)=\dfrac{1}{b-a}\mathbf{1}_{\{a<x<b\}}$ و $F(x)=\dfrac{x-a}{b-a}$ روی $[a,b]$. احتمال برابر یک نسبت طول است:

$P(X\in I)=\frac{\operatorname{length}\bigl(I\cap(a,b)\bigr)}{b-a},$

و به همین دلیل است که هر سؤال «احتمال هندسی» به اندازه‌گیری یک مجموعه فرو می‌کاهد. میانگین $=\tfrac{a+b}{2}=$ میانه، واریانس $=\tfrac{(b-a)^2}{12}$.

نمایی $\mathrm{Exp}(\lambda)$ با $\lambda>0$.

$f(x)=\lambda e^{-\lambda x}\mathbf{1}_{\{x>0\}},\qquad F(x)=1-e^{-\lambda x}\ (x\ge0),\qquad S(t)=P(X>t)=e^{-\lambda t}.$

میانگین $=1/\lambda$، واریانس $=1/\lambda^{2}$ (پس $\sigma=\mu$)، میانه $=\ln 2/\lambda$. پارامتر را از صورت سؤال درست بخوانید: طول عمری «با میانگین $\mu$» نرخ $\lambda=1/\mu$ دارد (میانگین $10$ سال $\Rightarrow\lambda=0.1$ بر سال)، و آنگاه همهٔ زمان‌ها باید با همان یکا بیان شوند. ویژگی ساختاریِ تعریف‌کنندهٔ آن بی‌حافظگی است:

$P(X>s+t\mid X>s)=P(X>t)\qquad\text{for all }s,t\ge0,$

و نمایی تنها توزیع پیوسته با این ویژگی است (هندسی همتای گسستهٔ آن است). همراهان سودمند: $cX\sim\mathrm{Exp}(\lambda/c)$ برای $c>0$؛ اگر $X_1,\dots,X_n$ مستقل با نرخ‌های $\lambda_i$ باشند آنگاه $\min_i X_i\sim\mathrm{Exp}(\sum_i\lambda_i)$؛ و $\lfloor X\rfloor$ روی $\{0,1,2,\dots\}$ هندسی با احتمال موفقیت $1-e^{-\lambda}$ است.

6b. بقا، نرخ خطر و «فرسودگی» — نظریهٔ پشت بی‌حافظگی

برای طول عمر نامنفی $X$ بنویسید $S(t)=P(X>t)=1-F(t)$. شرطی کردن بر سن همیشه یک نسبت است:

$P(X>s+t\mid X>s)=\frac{P(X>s+t)}{P(X>s)}=\frac{S(s+t)}{S(s)},\qquad f_{X\mid X>s}(x)=\frac{f(x)}{S(s)}\ \ (x>s),$

زیرا $\{X>s+t\}\subset\{X>s\}$. نرخ خطر (نرخ خرابی) ریسک لحظه‌ای به شرط بقا را می‌سنجد:

$h(x)=\frac{f(x)}{S(x)}=-\frac{d}{dx}\ln S(x),\qquad\text{hence}\qquad S(t)=\exp\!\left(-\int_{0}^{t}h(u)\,du\right),$

پس نرخ خطر توزیع را به‌طور کامل تعیین می‌کند. اکنون مشخص‌سازی شفاف است: ثابت بودن $h\equiv\lambda$ $\iff S(t)=e^{-\lambda t}\iff$ بی‌حافظگی. (از دید تحلیلی، رابطهٔ $S(s+t)=S(s)S(t)$ با راست‌پیوستگی $S$ و $S(0)=1$ ایجاب می‌کند $S(t)=e^{-\lambda t}$ — همان معادلهٔ تابعی کوشی.) در یک سؤال نمایی «کارکرده = نو» است: سن سپری‌شده را حذف کنید.

تنها سطر نخست اجازه می‌دهد $s$ را فراموش کنید؛ برای هر توزیع دیگری باید $S(s+t)/S(s)$ را صادقانه حساب کنید.

7. دستور کار

1. بهنجار کنید / ثابت‌ها را میخکوب کنید. حدهای دنباله را بر $F$ اعمال کنید، راست‌پیوستگی را در هر نقطهٔ شکست، و $\int f=1$ را بر چگالی (فقط روی تکیه‌گاه اعلام‌شده). هر قید علامتی را که این حدها تحمیل می‌کنند یادداشت کنید.
2. توزیع را نام‌گذاری کنید. $1-e^{-cx}$ روی $x>0$ همان $\mathrm{Exp}(c)$ است؛ $F$ خطی یعنی یکنواخت؛ $x^{2}$ روی $[0,1]$ یعنی مثلثی. نام‌گذاری، میانگین، واریانس، میانه و بی‌حافظگی را رایگان به شما می‌دهد. اگر توزیع نامی ندارد، $F$ را با قاعدهٔ آفستِ تجمعیِ بخش 2b بسازید.
3. پیشامد را به بازه‌ها فرو بکاهید (بخش ۵): نامساوی $g(x)>h(x)$ را روی تکیه‌گاه حل کنید، با تکیه‌گاه اشتراک بگیرید، و در نقاط شکست بشکنید.
4. سؤال را به $F$ یا $S$ ترجمه کنید. «حداکثر» $\Rightarrow F$؛ «بیش از / دوام می‌آورد» $\Rightarrow S=1-F$؛ «بین» $\Rightarrow F(b)-F(a)$؛ «میانه/صدک» $\Rightarrow$ حل $F(x)=p$؛ «به شرط آنکه پیش‌تر $s$ دوام آورده» $\Rightarrow S(s+t)/S(s)$؛ «امید ریاضی» $\Rightarrow$ LOTUS پس از معلوم شدن $c$؛ «فاصله از میانگین» $\Rightarrow$ یک پیشامد دوطرفه، سپس اشتراک با تکیه‌گاه.
5. از تکیه‌گاه بهره ببرید. برای متغیر نامنفی، نیمی از یک پیشامد متقارن تهی است؛ همین یک ملاحظه بسیاری از سؤالات را فرو می‌ریزد.
6. وارسی نهایی: علامت پارامتر، قرار گرفتن احتمال در $[0,1]$، قرار گرفتن میانگین درون تکیه‌گاه، و (برای توزیع‌های چوله) برقراری میانه $<$ میانگین.

8. مثال‌های کوتاه حل‌شده (الگوهای متعارف)

الف. حروف مجهول در یک تابع توزیع تکه‌ای. فرض کنید

$F(x)=\begin{cases} a, & x\le 0,\\ b-e^{-cx}, & x>0,\end{cases}$

و میانهٔ $X$ برابر $1$ باشد؛ $c$ را بیابید.

گام ۱ (اصول موضوعه). $\lim_{x\to-\infty}F(x)=a=0$. برای آنکه دنبالهٔ راست به $1$ همگرا شود باید $c>0$ باشد و آنگاه $b-e^{-cx}\to b=1$. راست‌پیوستگی در $0$: $F(0)=0$ و $\lim_{x\to0^{+}}(1-e^{-cx})=0$ — تکه‌ها به هم می‌چسبند، پس در مبدأ هیچ اتمی وجود ندارد.

گام ۲ (تشخیص). $F(x)=1-e^{-cx}$ روی $x>0$، یعنی $X\sim\mathrm{Exp}(c)$ با چگالی $f(x)=c\,e^{-cx}\mathbf{1}_{\{x>0\}}$.

گام ۳ (به‌کارگیری داده). $F(1)=\tfrac12\Rightarrow 1-e^{-c}=\tfrac12\Rightarrow e^{-c}=\tfrac12\Rightarrow c=\ln 2$. هم‌ارز آن: فرمول $\text{median}=\ln2/\lambda$ را بنویسید و برابر $1$ قرار دهید.

وارسی. $c=\ln2\approx0.693>0$ و میانگین $1/\ln2\approx1.44$ از میانهٔ $1$ بزرگ‌تر است — همان چولگی به راستِ آشنا.

ب. ثابت بهنجارش و سپس میانگین. فرض کنید $f(x)=c\,x^{2}$ روی $1\le x\le2$ و در جای دیگر $0$ باشد؛ $E[X]$ را بیابید.

$1=\int_{1}^{2}cx^{2}\,dx=c\left[\frac{x^{3}}{3}\right]_{1}^{2}=\frac{7c}{3}\;\Rightarrow\;c=\frac37,\qquad E[X]=\frac37\int_{1}^{2}x^{3}\,dx=\frac37\cdot\frac{15}{4}=\frac{45}{28}\approx1.607 .$

وارسی. $\tfrac{45}{28}\in[1,2]$ چنان‌که تکیه‌گاه ایجاب می‌کند، و چون $f$ روی $[1,2]$ صعودی است از نقطهٔ میانی $1.5$ بزرگ‌تر است — دقیقاً همان دو وارسی رایگان بخش ۴. (این عضو $n=2$ و $[a,b]=[1,2]$ از خانوادهٔ توانی است.)

ج. پیشامدی پنهان پشت یک تابع، روی چگالی تکه‌ای. با $f(x)=x^{2}$ روی $(0,1)$ و $f(x)=\tfrac23$ روی $[1,2)$، مقدار $P\bigl(\sqrt{1.5X}>X\bigr)$ را حساب کنید.

چون تقریباً حتماً $X>0$ است، به توان دو رساندن مجاز است: $\sqrt{1.5X}>X\iff X(1.5-X)>0\iff X<1.5$. سپس در نقطهٔ شکست $x=1$ بشکنید:

$P(0<X<1.5)=\int_{0}^{1}x^{2}\,dx+\int_{1}^{1.5}\frac23\,dx=\frac13+\frac23\cdot\frac12=\frac23=F(1.5).$

وارسی. استفاده از شاخهٔ نخست پس از نقطهٔ شکست می‌داد $\int_{0}^{1.5}x^{2}dx=1.125>1$ — که ناممکن است، و همین راه تشخیص فوری خطاست.

د. بقای شرطی یک طول عمر بی‌حافظه. $X$ نمایی با میانگین $\mu$ است؛ پیش‌تر $s$ دوام آورده؛ احتمال آنکه $t$ واحد دیگر دوام بیاورد برابر است با

$P(X>s+t\mid X>s)=\frac{e^{-(s+t)/\mu}}{e^{-s/\mu}}=e^{-t/\mu},$

مستقل از $s$. مثلاً $\mu=10$، $s=7$ و $t=5$ مقدار $e^{-0.5}$ می‌دهد — عددِ سپری‌شدهٔ $7$ اصلاً وارد نمی‌شود. در مقابل برای $U(0,b)$ همان پرسش مقدار $\dfrac{b-s-t}{b-s}$ را می‌دهد که به $s$ وابسته است.

9. گونه‌های پرتکرار و حالت‌های مرزی

10. دنبالهٔ دقیق در برابر کران‌های مستقل از توزیع

برای هر $X$ با واریانس متناهی $\sigma^{2}$ و هر $k>0$، نامساوی چبیشف می‌دهد

$P\bigl(\lvert X-\mu\rvert\ge k\bigr)\le\frac{\sigma^{2}}{k^{2}},$

که فقط یک کران بالاست — هرگز تضمین نمی‌کند که یک احتمال «دست‌کم» مقداری باشد. برای $\mathrm{Exp}(\lambda)$ تصادفِ $\mu=\sigma=1/\lambda$ باعث می‌شود انحراف $k$ دقیقاً برابر $k\lambda$ انحراف معیار باشد، پس کران به‌صورت $1/(k\lambda)^{2}$ خوانده می‌شود. مقدار دقیق معمولاً بسیار کوچک‌تر است، زیرا شرط $X\ge0$ نیمهٔ پایینی پیشامد را از بین می‌برد:

$P\bigl(\lvert X-\mu\rvert>k\bigr)=P(X>\mu+k)=e^{-\lambda(\mu+k)}\quad\text{whenever }k\ge\mu .$

با $\lambda=1$ و $k=2$: چبیشف می‌گوید $\le\tfrac14$، حال آنکه مقدار واقعی $e^{-3}\approx0.05$ است. وقتی چهار گزینه کران‌اند، ممکن است چند گزینه درست باشند («حداکثر $\tfrac12$» از «حداکثر $\tfrac14$» نتیجه می‌شود)؛ پاسخ همواره دقیق‌ترین حکم درست است، و هر گزینهٔ «دست‌کم» نادرست است مگر آنکه واقعاً یک کران پایین باشد.

نکتهٔ کنکوری: حروف مجهول در یک تابع توزیع تکه‌ای تزئین‌اند — آن‌ها را با $F(-\infty)=0$، $F(+\infty)=1$ و راست‌پیوستگی از بین ببرید؛ ضریب مجهول در یک چگالی با $\int f=1$ از بین می‌رود؛ و پیشامد عجیب با حل نامساوی‌اش روی تکیه‌گاه از بین می‌رود. تنها آنگاه توزیع را تشخیص دهید: به‌محض آنکه صورت سؤال به $\mathrm{Exp}(\lambda)$ یا $U(a,b)$ فرو کاسته شد، رابطهٔ حفظ‌شده ($\text{median}=\ln2/\lambda$، $S(t)=e^{-\lambda t}$، $\mu=\sigma=1/\lambda$، احتمال $=$ نسبت طول) سؤال را در یک گام پاسخ می‌دهد، و گزینه‌های انحرافی دقیقاً همین‌ها هستند: جابه‌جایی میانگین با میانه، گزارش $c$ به‌جای $E[X]$، دنبالهٔ نامشروط به‌جای دنبالهٔ شرطی، علامت یا وارونِ نادرست $\lambda$، و کرانِ درست اما ضعیف‌تر.

تلهٔ رایج: دو قاتل خاموش. (i) نقطهٔ شکستِ یک چگالی تکه‌ای نقطهٔ انتهایی نیست که بتوان نادیده‌اش گرفت — نقاط انتهایی رایگان‌اند ($P(X=a)=0$)، اما نقاط شکست شکستن انتگرال را می‌طلبند، و انتگرال‌گیری از یک شاخه فراتر از بلوکش معمولاً «احتمالی» بزرگ‌تر از $1$ می‌دهد که همان خودآزماست. (ii) در دفترچهٔ فارسی جداکنندهٔ اعشار «/» (یا «٫») است، پس نمایی که به‌صورت «۱/۲» چاپ شده یعنی عدد $1.2$، نه کسر $\tfrac12$؛ اگر آن را کسر بخوانید، یک گزینهٔ انحرافی از نظر عددی از پاسخ درست تفکیک‌ناپذیر می‌شود.