فضاهای متریک: کامل بودن، کرانداری و همبندی

یک فضای متریک $(X,d)$ مجموعه‌ای است $X$ همراه با فاصله‌ای $d:X\times X\to[0,\infty)$ که برای هر $x,y,z\in X$ در شرایط زیر صدق می‌کند:

1. (نامنفی بودن و اینهمانیِ تمیزناپذیرها) $d(x,y)\ge 0$ و $d(x,y)=0\iff x=y$؛
2. (تقارن) $d(x,y)=d(y,x)$؛
3. (نامساوی مثلثی) $d(x,z)\le d(x,y)+d(y,z)$.

یک نتیجهٔ بی‌درنگ، نامساوی مثلثی وارون $|d(x,z)-d(y,z)|\le d(x,y)$ است که همین‌جا خودِ فاصله را لیپشیتس می‌کند. برای رد کردن متریک بودنِ یک نامزد، کافی است یکی از اصول را با یک مثال نقض بشکنید؛ برای اثبات آن، هر سه اصل باید برای همهٔ نقاط برقرار باشند.

آیا متریک است؟ ارزان‌ترین اصول را اول بیازمایید

بنویسید $r=|x-y|$ برای فاصلهٔ معمولی روی $\mathbb{R}$. بیشترِ «متریک‌های» قلابی، خیلی پیش از نامساوی مثلثی، روی اصل ۱ یا ۲ از پا درمی‌آیند:

تنها همان یکی که جان سالم به‌در برده است نیاز به اثبات کاملِ نامساوی مثلثی دارد. برای یک فاصلهٔ بازشکل‌داده‌شده $d(x,y)=f(r)$ آزمون تمیز این است: $f:[0,\infty)\to[0,\infty)$ با $f(0)=0$، $f(t)>0$ برای $t>0$، ناکاهشی، و زیرجمعی $f(a+b)\le f(a)+f(b)$ (تقارن خودبه‌خود برقرار است). هر $f$ مقعّر با $f(0)=0$ به‌طور خودکار زیرجمعی است، پس $\ln(1+t)$ و $\tfrac{t}{1+t}$ قبول می‌شوند، حال آنکه $e^{t}$ و $\lfloor t\rfloor$ در اصل ۱ مردود می‌شوند.

توپولوژی متریک — گوی‌ها، باز/بسته، نقاط منزوی

هر چیزِ توپولوژیک توسط گوی‌های باز $B(x,r)=\{y:d(x,y)<r\}$ تولید می‌شود. مجموعهٔ $U$ باز است اگر و تنها اگر هر نقطهٔ آن گویی درون آن داشته باشد؛ $F$ بسته است اگر و تنها اگر $X\setminus F$ باز باشد. بستار در این شرط صدق می‌کند: $x\in\overline{A}\iff$ هر گویِ حولِ $x$ مجموعهٔ $A$ را قطع می‌کند $\iff$ دنباله‌ای در $A$ به $x$ همگراست. نقطه‌ای منزوی است هرگاه گویی حولِ آن برابر تک‌عضویِ $\{x\}$ باشد. هر فضای متریک هاسدورف، شمارای نخست و نرمال است — پس وقتی متریکی عجیب به نظر می‌رسد، یک گوی حساب کنید و توپولوژی را از روی آن بخوانید.

چهار رده‌بندیِ نقاط را باید اکیداً از هم جدا نگه داشت، چون کنکور آنها را میان گزینه‌ها جابه‌جا می‌کند:

• $x$ یک نقطهٔ درونی از $A$ است هرگاه برای بعضی $r>0$ داشته باشیم $B(x,r)\subseteq A$؛ $\operatorname{int}(A)$ بزرگ‌ترین مجموعهٔ باز درون $A$ است.
• $x$ یک نقطهٔ حدی (انباشت) از $A$ است هرگاه برای هر $r>0$ داشته باشیم $\bigl(B(x,r)\setminus\{x\}\bigr)\cap A\ne\varnothing$؛ این نقاط مجموعهٔ مشتق $A'$ را می‌سازند و $\overline{A}=A\cup A'$.
• $x\in A$ یک نقطهٔ منزوی از $A$ است هرگاه نقطهٔ حدیِ $A$ نباشد، یعنی $B(x,r)\cap A=\{x\}$ برای بعضی $r>0$.
• $A$ در خود چگال است هرگاه هیچ نقطهٔ منزوی نداشته باشد ($A\subseteq A'$)، و کامل (perfect) است هرگاه علاوه بر آن بسته باشد ($A=A'$).

توجه کنید کدام سور کدام مفهوم را تعریف می‌کند: درون و منزوی‌بودن به بعضی گوی نیاز دارند، نقاط حدی و بستار به هر گوی. همین یک تمایز، هر مقایسه‌ای میان دو متریک را تعیین می‌کند (پایین‌تر را ببینید).

نمونهٔ حل‌شده. روی $\mathbb{R}$ فرض کنید $d(x,y)=\max\{|x|,|y|\}$ برای $x\ne y$ (و $0$ روی قطر). برای $x\ne 0$ داریم $\max\{|x|,|y|\}\ge|x|$، پس $B(x,|x|)=\{x\}$: هر نقطهٔ ناصفر منزوی است. برای $x=0$، $B(0,r)=(-r,r)$ یک بازهٔ معمولی است، پس $0$ تنها نقطهٔ غیرمنزوی است. بنابراین مجموعه‌ای باز است $\iff$ یا $0$ را نداشته باشد یا یک بازهٔ کاملِ $(-r,r)$ را در بر بگیرد. پس اعداد گنگ $\mathbb{Q}^{c}$ باز هستند (چون $0$ را ندارند)، حال آنکه $\mathbb{Q}$، $(-1,0]$ و $[-2,-1]\cup\{0\}$ باز نیستند (هر کدام شاملِ $0$ هستند بدون آنکه بازه‌ای حولِ آن داشته باشند). بازبودن را گوی‌هایی تعیین می‌کنند که متریک واقعاً تولید می‌کند، نه ظاهرِ مجموعه روی خط معمولی.

فاصله تا یک مجموعه و پیوستگی

برای $\varnothing\ne A\subseteq X$ قرار دهید $d(x,A)=\inf_{a\in A}d(x,a)$. دو واقعیت کارِ بسیار زیادی انجام می‌دهند:

• $x\mapsto d(x,A)$ یک تابع $1$-لیپشیتس است: $|d(x,A)-d(y,A)|\le d(x,y)$ (نامساوی مثلثی وارون)، پس پیوسته است؛
• $d(x,A)=0\iff x\in\overline{A}$، پس برای $A$ی بسته، $d(x,A)=0\iff x\in A$.

نگاشت $f:(X,d)\to(Y,\rho)$ در $x$ پیوسته است اگر و تنها اگر $\forall\varepsilon\,\exists\delta:\ d(x,y)<\delta\Rightarrow\rho(f(x),f(y))<\varepsilon$؛ و چون فضاهای متریک دنباله‌ای‌اند، این معادل است با $x_n\to x\Rightarrow f(x_n)\to f(x)$. نردبان شدت $\text{Lipschitz}\ \Rightarrow\ \text{uniformly continuous}\ \Rightarrow\ \text{continuous}$ در حالت کلی هرگز برنمی‌گردد، که در آن لیپشیتس یعنی $\rho(f(x),f(y))\le L\,d(x,y)$ برای یک ثابتِ واحد $L$.

حالت خاصِ $A=\{x_0\}$ نامِ ویژهٔ خود را می‌طلبد: تابع فاصله تا یک نقطهٔ پایه $f_{x_0}(x)=d(x,x_0)$ روی هر فضای متریک $1$-لیپشیتس و در نتیجه پیوسته است. این تابع پلی است که فرض‌های توپولوژیک روی $X$ را به گزاره‌های عددی دربارهٔ $f_{x_0}(X)\subseteq[0,\infty)$ تبدیل می‌کند — پربارترین حرکت در کل این مبحث.

متریک در هر دو مؤلفه پیوسته است — نامساوی چهارضلعی

ثابت‌کردن یک آرگومان تنها نیمی از ماجرا بود. با دو بار به‌کارگیریِ نامساوی مثلثی، $d(a,b)\le d(a,a')+d(a',b')+d(b',b)$ و به‌طور متقارن، به نامساوی چهارضلعی (چهارنقطه‌ای) می‌رسیم: $\bigl\lvert d(a,b)-d(a',b')\bigr\rvert\ \le\ d(a,a')+d(b,b')\qquad\text{for all }a,b,a',b'\in X.$ پس $d:X\times X\to\mathbb{R}$ نسبت به متریک مجموع روی ضرب دکارتی $1$-لیپشیتس و در نتیجه پیوستهٔ توأم است. سه نتیجهٔ همواره پرکاربرد:

• اگر $u,v:Z\to X$ روی هر فضای $Z$ پیوسته باشند، آنگاه $z\mapsto d\bigl(u(z),v(z)\bigr)$ پیوسته است، چون برابر $d\circ(u,v)$ است.
• تابع جابه‌جایی. برای یک خودنگاشتِ پیوستهٔ $f:X\to X$، تابع $g(x)=d\bigl(f(x),x\bigr)$ پیوسته است — کافی است $u=f$ و $v=\mathrm{id}$ بگیرید؛ به‌طور مشخص $\lvert g(x)-g(y)\rvert\le d(f(x),f(y))+d(x,y)$. مجموعهٔ صفرهای آن دقیقاً مجموعهٔ نقاط ثابتِ $f$ است، که بنابراین بسته است.
• روی $X$ی فشرده، تابع پیوستهٔ $g$ کمینهٔ خود را اختیار می‌کند، پس یک نگاشتِ انقباضی ($d(f(x),f(y))<d(x,y)$ برای $x\ne y$) باید $\min g=0$ داشته باشد: وگرنه در نقطهٔ کمینه‌ساز $g(f(x_\ast))<g(x_\ast)$ می‌شد. این قضیهٔ نقطهٔ ثابتِ ادلشتاین است، عموزادهٔ فشردهٔ قضیهٔ باناخ.

به‌طور کلی‌تر $x\mapsto d(x,A)$، $x\mapsto\operatorname{diam}(A\cup\{x\})$، $(x,y)\mapsto d(x,y)$ و هر ترکیبی از اینها با نگاشت‌های پیوسته، پیوسته‌اند — پس گزینه‌ای که صرفاً از فاصله‌های نگاشت‌های پیوسته فرمولی می‌سازد تقریباً همیشه درست است.

واژه‌نامهٔ دنباله‌ای — فضاهای متریک شمارای نخست‌اند

چون هر نقطه پایهٔ همسایگیِ شمارای $\{B(x,\tfrac1n)\}_{n\ge1}$ دارد، دنباله‌ها تمام توپولوژی یک فضای متریک را می‌بینند (در یک فضای توپولوژیکِ عمومی چنین نیست — آنجا به تور نیاز است). این واژه‌نامه را در هر دو جهت بیاموزید:

سطر آخر معجزهٔ فضاهای متریک است: در یک فضای متریک فشرده $\iff$ فشردهٔ دنباله‌ای $\iff$ فشردهٔ شمارا (که همگی در توپولوژی عمومی نادرست‌اند). سورهای آن را مثل یک وکیل بخوانید، چون گزینهٔ نادرستِ کلاسیک همیشه تضعیفِ خاموشِ یکی از آنهاست:

پس سه تا از این چهار گزارهٔ دنباله‌ای — بستار، بسته‌بودن، چگالی، در خود چگال بودن — در هر فضای متریک قضیه‌های اصیل‌اند و تنها سطر فشردگی شکننده است. به‌ویژه «دنباله‌های کراندار کافی‌اند» رایج‌ترین خطای کاشته‌شده است: $\mathbb{R}$ و $\mathbb{Z}$ در آن صدق می‌کنند و فشرده نیستند.

کرانداری، قطر و تماماً کرانداری

مجموعهٔ $A\subseteq X$ کراندار است اگر درون گویی جا شود، $A\subseteq B(x_0,R)$؛ هم‌ارز با اینکه قطر آن $\operatorname{diam}(A)=\sup_{x,y\in A}d(x,y)$ متناهی باشد. نامساوی مثلثی هرگاه $A\subseteq B(x_0,R)$ نتیجه می‌دهد $\operatorname{diam}(A)\le 2R$، و برای $A\ne\varnothing$ مرکز اهمیتی ندارد: کراندار حولِ یک نقطه $\Rightarrow$ کراندار حولِ هر نقطه. $A$ تماماً کراندار است اگر برای هر $\varepsilon>0$ متناهی گویِ $\varepsilon$-شعاعی آن را بپوشانند.

استلزام‌ها اکیدند، $\text{compact}\ \Rightarrow\ \text{totally bounded}\ \Rightarrow\ \text{bounded},$ و هیچ‌کدام برنمی‌گردند: $[0,1]\cap\mathbb{Q}$ تماماً کراندار است ولی فشرده نیست، و گوی واحد بستهٔ $\ell^{2}$ کراندار است ولی تماماً کراندار نیست (بردارهای یکه $e_n$ به فاصلهٔ $\sqrt{2}$ از هم می‌مانند). مشخصه‌سازی دقیق چنین است: $\textbf{compact}\iff\textbf{complete}+\textbf{totally bounded}\iff\textbf{sequentially compact}.$

دو هشدار که کنکور از آنها تغذیه می‌کند:

• کرانداری متریک است، نه توپولوژیک. $(\mathbb{R},|x-y|)$ ناکراندار است حال آنکه $\left(\mathbb{R},\tfrac{|x-y|}{1+|x-y|}\right)$ قطر $1$ دارد — با مجموعه‌های بازِ یکسان. تنها هم‌ارزیِ قوی (لیپشیتسی) کرانداری را حفظ می‌کند.
• «بسته و کراندار» در حالت کلی هیچ معنایی ندارد. هاینه–بورل (بسته $+$ کراندار $\iff$ فشرده) قضیه‌ای دربارهٔ $\mathbb{R}^{n}$ است؛ در یک فضای متریک دلخواه، $X$ در خودش بسته است و ممکن است کراندار هم باشد اما نه فشرده و نه حتی کامل.

فشردگی در یک فضای متریک — همهٔ صورت‌های هم‌ارز، و آزمون‌های تابعی

برای یک فضای متریک $(X,d)$ گزاره‌های زیر همگی هم‌ارزند و کنکور بی‌سروصدا یکی را با دیگری عوض می‌کند:

1. هر پوشش باز زیرپوشش متناهی دارد (فشرده)؛
2. هر دنباله زیردنباله‌ای همگرا در $X$ دارد (فشردهٔ دنباله‌ای)؛
3. هر زیرمجموعهٔ نامتناهی نقطهٔ حدی در $X$ دارد (فشردهٔ نقطه‌حدی / شمارا)؛
4. $X$ کامل و تماماً کراندار است؛
5. هر تابع پیوستهٔ $f:X\to\mathbb{R}$ کراندار است (شبه‌فشرده)؛
6. هر تابع پیوستهٔ $f:X\to\mathbb{R}$ سوپریمم و اینفیمم خود را اختیار می‌کند.

بندهای ۵–۶ همان‌هایی هستند که ارزش دارد برای خودتان ثابت کنید، چون سرچشمهٔ تلهٔ کلاسیک‌اند. اگر $X$ فشرده نباشد، دنباله‌ای $(x_n)$ از نقاط متمایز بدون زیردنبالهٔ همگرا انتخاب کنید؛ آنگاه $S=\{x_n\}$ بسته و گسسته است، پس $r_n:=\tfrac13 d\bigl(x_n,S\setminus\{x_n\}\bigr)>0$ و گوی‌های $B(x_n,r_n)$ دوبه‌دو جدا هستند. تابعِ برآمدگیِ چسبانده‌شدهٔ $f(x)=\sum_{n\ge1} n\,\max\Bigl\{0,\ 1-\tfrac{d(x,x_n)}{r_n}\Bigr\}$ پیوسته است (نزدیک هر نقطه تنها یک جمله ناصفر است) و $f(x_n)=n$ دارد، پس ناکراندار است. بنابراین نافشرده $\Rightarrow$ تابعی پیوستهٔ حقیقی‌مقدارِ ناکراندار وجود دارد، که همان ۵ $\Rightarrow$ ۱ است.

تلهٔ هم‌دامنه. همه‌چیز به این بستگی دارد که توابع آزمون کجا می‌نشینند:

سطر خودنگاشت خرابکاری محض است: چون $f(X)\subseteq X$، این فرض برای هر فضای کراندار خودبه‌خود برقرار است و بنابراین هیچ اطلاعی دربارهٔ فشردگی حمل نمی‌کند — و کرانداری خاصیتی متریک است، نه توپولوژیک.

فشردگی سپس سودهای همیشگی را می‌پردازد، که گزینه‌ها دوست دارند همه را بازگو کنند: تصویر پیوستهٔ یک فضای فشرده فشرده است (پس در فضای مقصد بسته و کراندار است)؛ هاینه–کانتور، هر نگاشت پیوسته روی یک فضای متریک فشرده پیوستهٔ یکنواخت است؛ لم عدد لبگ، هر پوشش بازِ یک فضای متریک فشرده $\delta>0$ی دارد که هر مجموعه با قطر $<\delta$ درون یکی از اعضای پوشش جا می‌گیرد؛ و یک فضای متریک فشرده کامل، تفکیک‌پذیر، شمارای دوم و کراندار است.

همبندی: یک فاصلهٔ ممنوع به کرانی سراسری بدل می‌شود

قضیه. فرض کنید $(X,d)$ همبند باشد، $x_0\in X$ و $c>0$ ثابت باشند و برای هر $x\in X$ داشته باشیم $d(x,x_0)\ne c$. آنگاه $X\subseteq B(x_0,c)$؛ به‌ویژه $\operatorname{diam}(X)\le 2c$، پس $X$ کراندار است.

اثبات — الگوی سه‌خطی که ارزش حفظ‌کردن دارد. قرار دهید $f(x)=d(x,x_0)$؛ بنا بر نامساوی مثلثی وارون $f$ یک تابع $1$-لیپشیتس و در نتیجه پیوسته است. تصویر پیوستهٔ یک فضای همبند همبند است، پس $f(X)\subseteq[0,\infty)$ یک بازه است (همان قضیهٔ مقدار میانی در لباس مبدل). این بازه شاملِ $0=f(x_0)$ است و $c$ را ندارد. اگر برای نقطه‌ای $x_1$ داشتیم $f(x_1)>c$، آنگاه بازهٔ $f(X)$ باید کل پارهٔ $[0,f(x_1)]\ni c$ را در بر می‌گرفت — تناقض. پس $f(X)\subseteq[0,c)$، یعنی $d(x,x_0)<c$ برای هر $x$، و $\operatorname{diam}(X)\le d(x,x_0)+d(x_0,y)<2c$. $\square$

همان ایدهٔ «برد تابع فاصله یک بازه است» دو نتیجهٔ ساختاری می‌دهد:

• یک فضای متریک همبند با دست‌کم دو نقطه، برای بعضی $\delta>0$ دارای $f_{x_0}(X)\supseteq[0,\delta]$ است، پس ناشمارا است؛ همچنین هیچ نقطهٔ منزوی ندارد، زیرا یک نقطهٔ منزویِ $x$ مجموعهٔ $\{x\}$ را باز-بسته می‌کند و $X$ را ناهمبند می‌سازد.
• تنها چیزی که به دست می‌آورید کرانداری است. هیچ چیز قوی‌تری تحمیل نمی‌شود: روی $X=\left(0,\tfrac12\right)\subset\mathbb{R}$ با $x_0=\tfrac14$ هر فاصله $<1$ است و $X$ همبند است، با این حال $X$ فشرده نیست ($\tfrac1n$ حدی در $X$ ندارد) و کامل نیست ($\tfrac1n$ کوشی است بدون حد در $X$) و در $\mathbb{R}$ بسته نیست، پس زیرمجموعه‌ای کامل (perfect) هم نیست؛ و فضای تک‌نقطه‌ایِ $X=\{x_0\}$ به‌طور تهی در فرض صدق می‌کند حال آنکه از یک نقطهٔ منزوی تشکیل شده است.

مؤلفه‌ها و ناهمبندی کامل

مؤلفهٔ همبندیِ $x$ اجتماع همهٔ زیرمجموعه‌های همبندِ شاملِ $x$ است — بزرگ‌ترین مجموعهٔ همبندِ گذرنده از $x$. مؤلفه‌ها همواره $X$ را افراز می‌کنند و همواره بستهاند، ولی لازم نیست باز باشند (در $\mathbb{Q}$ هر مؤلفه یک نقطه است، با این حال هیچ تک‌عضوی باز نیست). $X$ تماماً ناهمبند است هرگاه هر مؤلفه تک‌عضوی باشد، یعنی هیچ زیرمجموعهٔ همبندی دو نقطه نداشته باشد.

پس گسسته $\Rightarrow$ تماماً ناهمبند، و هرگز برعکس: $\mathbb{Q}$ و مجموعهٔ کانتور تماماً ناهمبندند بدون هیچ نقطهٔ منزوی. در $\mathbb{R}$ مجموعه‌های همبند دقیقاً بازه‌ها هستند (احتمالاً تباهیده)، و به همین دلیل است که استدلالِ تابع فاصلهٔ بالا چیزی جز قضیهٔ مقدار میانی نیست.

تابع جداسازِ اوریسون (فضاهای متریک نرمال‌اند)

فرض کنید $A,B\subseteq X$ جدا از هم، ناتهی و بسته باشند؛ تعریف کنید $f(x)=\frac{d(x,A)}{d(x,A)+d(x,B)}\in[0,1].$ مخرج هرگز صفر نمی‌شود (وگرنه $x\in\overline{A}\cap\overline{B}=A\cap B=\varnothing$). چون هر $d(\cdot,S)$ یک تابع $1$-لیپشیتس است و مخرج مثبت است، $f$ پیوسته است، با مجموعه‌های ترازِ $f^{-1}(0)=A$ و $f^{-1}(1)=B$ — اثباتی سازنده بر اینکه هر فضای متریک نرمال است. دو ظرافت که کنکور دوست دارد آنها را در برابر هم بگذارد:

• پیوستگی یکنواخت، وقتی مجموعه‌ها به‌طور مثبت جدا باشند. اگر $\delta:=\inf\{d(a,b):a\in A,\ b\in B\}>0$، آنگاه برای هر $x$ داریم $d(x,A)+d(x,B)\ge\delta/2$، که مخرج را از $0$ دور نگه می‌دارد و $f$ را لیپشیتس و در نتیجه پیوستهٔ یکنواخت می‌کند.
• پوشایی بر $[0,1]$ خودبه‌خود برقرار نیست. $f$ مقادیر $0$ و $1$ را اختیار می‌کند، ولی رسیدن به هر مقدار میانی به قضیهٔ مقدار میانی یعنی همبندیِ $X$ نیاز دارد. روی فضایی ناهمبند، $f$ از مقادیری می‌پرد: برای $X=\{a,b\}$ی گسسته با $A=\{a\},\ B=\{b\}$ داریم $f(X)=\{0,1\}\ne[0,1]$.

متریک‌های هم‌ارز — «یکسان» یعنی چه

دو متریکِ $d,d'$ روی $X$ توپولوژیکی هم‌ارز هستند اگر و تنها اگر مجموعه‌های بازِ یکسانی القا کنند، هم‌ارز با دنباله‌های همگرای یکسان: $x_n\to x$ در $d\iff x_n\to x$ در $d'$. شدت در جدول رو به پایین افزایش می‌یابد:

هر پله اکیداً قوی‌تر از پلهٔ بالای خود است و یک مثال برای هر شکاف، روی $X=\mathbb{R}$، مطلب را فیصله می‌دهد:

• $\rho(x,y)=\lvert\arctan x-\arctan y\rvert$ با $\lvert x-y\rvert$ توپولوژیکی هم‌ارز است ولی کوشی-هم‌ارز نیست: $x_n=n$ نسبت به $\rho$ کوشی است بدون حد، پس $(\mathbb{R},\rho)$ حتی ناکامل است.
• $\rho(x,y)=\lvert x^{3}-y^{3}\rvert$ با $\lvert x-y\rvert$ کوشی-هم‌ارز هست (هر دو فضا کامل، با دنباله‌های همگرای یکسان) ولی یکنواخت هم‌ارز نیست، چون $t\mapsto t^{3}$ روی $\mathbb{R}$ پیوستهٔ یکنواخت نیست.
• $\rho=\min\{1,\lvert x-y\rvert\}$ با $\lvert x-y\rvert$ یکنواخت هم‌ارز است ولی لیپشیتس-هم‌ارز نیست: $\rho\le1$ حال آنکه $d$ ناکراندار است، پس هیچ ثابتِ $\alpha$ نمی‌تواند $d\le\alpha\rho$ بدهد.

(اینکه کوشی-هم‌ارزی بالاتر از هم‌ارزی توپولوژیک می‌نشیند یک‌خطی است: اگر $x_n\xrightarrow{d}x$، درهم‌بافته بسازید $x_1,x,x_2,x,\dots$ که $d$-کوشی و پس $d'$-کوشی است؛ این دنباله زیردنباله‌ای ثابت $\equiv x$ دارد و دنبالهٔ کوشیِ دارای زیردنبالهٔ همگرا، همگراست، پس $x_n\xrightarrow{d'}x$.)

نگاشت همانی، سنگ محک است

گفتن اینکه «$\mathrm{id}:(X,d)\to(X,\rho)$ یک هومئومورفیسم است» دقیقاً یعنی $\tau_d=\tau_\rho$: همانی پیوسته است اگر و تنها اگر هر مجموعهٔ $\rho$-باز، $d$-باز باشد، و وارون آن — که باز هم همانی است — پیوسته است اگر و تنها اگر عکسِ آن برقرار باشد. پس چهار گزارهٔ زیر همگی یک حرف‌اند و گزینه‌ای که هر یک از آنها را عرضه کند، بازگویی است نه اطلاعات تازه:

سطر مجموعه‌های فشرده ظریف‌ترین است. اگر دو خانوادهٔ مجموعه‌های فشرده بر هم منطبق باشند، آنگاه روی هر فشردهٔ $K$ دو توپولوژی زیرفضایی یکی می‌شوند (یک زیرمجموعهٔ $d$-بستهٔ $K$، $d$-فشرده است، پس $\rho$-فشرده، پس $\rho$-بسته چون زیرمجموعه‌های فشردهٔ یک فضای هاسدورف بسته‌اند — و به‌طور متقارن). و هر فضای متریک یک $k$-فضا است: $A$ بسته است $\iff$ برای هر فشردهٔ $K$، $A\cap K$ در $K$ بسته باشد (اگر $x\in\overline A$، دنبالهٔ $a_n\to x$ در $A$ بگیرید و $K=\{a_n\}\cup\{x\}$ را که فشرده است بیازمایید). ترکیب این دو، $\tau_d=\tau_\rho$ را می‌دهد.

آنچه هم‌ارز نیست — و در هر نسخهٔ «کدام گزینه هم‌ارز نیست؟» پاسخ کاشته‌شده است — کرانِ دوطرفهٔ کمّی با ثابت‌های یکنواخت است: $\exists\,\alpha,\beta>0\ \ \forall x,y:\qquad d(x,y)\le\alpha\,\rho(x,y)\quad\text{and}\quad\rho(x,y)\le\beta\,d(x,y),$ یعنی هم‌ارزی قوی (لیپشیتسی). این هم‌ارزیِ توپولوژیک را نتیجه می‌دهد (هر گوی، گویی از متریک دیگر را در بر می‌گیرد، با نسبتی سراسری) ولی اکیداً قوی‌تر است؛ بریدنِ $\rho=\min\{1,d\}$، مقیاس‌دهیِ کراندارِ $\rho=\tfrac{d}{1+d}$، توانِ سومِ $\lvert x^{3}-y^{3}\rvert$ و متریک آرک‌تانژانت همگی آن را می‌شکنند در حالی که توپولوژی را حفظ می‌کنند. یکسانیِ کیفی هرگز ثابت‌های یکنواخت نمی‌دهد.

بازشکل‌دهی با یک تابع. اگر $d'=\phi\circ d$ با $\phi:[0,\infty)\to[0,\infty)$ پیوسته، اکیداً صعودی و $\phi(0)=0$ باشد (مقعّر، پس زیرجمعی، پس $d'$ یک متریک اصیل است)، آنگاه $d'$ با $d$ توپولوژیکی هم‌ارز است: چون $\phi$ و وارون موضعی‌اش در $0$ پیوسته و برابر صفرند، داریم $d(x_n,x)\to 0\iff\phi(d(x_n,x))\to 0$. متریک‌های کراندارِ استاندارد $\min\{1,d\},\qquad \frac{d}{1+d},\qquad \frac{d}{1+2d},\qquad \ln(1+d)$ دقیقاً همین ساختارند — همگی با $d$ هم‌ارزند و صرفاً نزدیک بی‌نهایت مقیاس‌دهی/سقف‌گذاری شده‌اند. توجه کنید این چه چیزی را ثابت می‌کند: هر فضای متریک با یک فضای کراندار هومئومورف است، پس کرانداری هرگز نمی‌تواند ناوردایی توپولوژیک باشد.

بازشکل‌دهی با یک دوسویی (پس‌کشش). برای یک دوسوییِ $f:X\to X$، رابطهٔ $d'(x,y)=d(f(x),f(y))$ همواره یک متریک است، ولی اکنون $x_n\to x$ در $d'\iff f(x_n)\to f(x)$ در $d$ — که با همگرایی در $d$ تنها وقتی $f$ هومئومورفیسم باشد یکی می‌شود. یک دوسوییِ صِرف مجموعه را کنترل می‌کند، هرگز توپولوژی را: روی $\mathbb{R}$ فقط $0\leftrightarrow 1$ را جابه‌جا کنید و بقیه را ثابت بگذارید؛ آنگاه $x_n=\tfrac{1}{n+1}\to 0$ در $d$، حال آنکه $d'(x_n,0)=|f(x_n)-f(0)|\to|0-1|=1$، پس همگرایی می‌شکند.

متریک‌های مقایسه‌پذیر: $d_1\le d_2$ و اینکه هر خاصیت به کدام سو سفر می‌کند

هم‌ارزی حالت دوطرفه است؛ کنکور بیشتر اوقات تنها یک نامساوی به شما می‌دهد. فرض کنید $d_1,d_2$ متریک‌هایی روی مجموعهٔ یکسانِ $X$ باشند با $d_1(x,y)\le d_2(x,y)\qquad\text{for all }x,y\in X.$ آنگاه $d_2(x,y)<r\Rightarrow d_1(x,y)<r$، یعنی $B_{d_2}(x,r)\subseteq B_{d_1}(x,r)\qquad(\text{bigger distances}\ \Rightarrow\ \text{smaller balls}),$ پس هر مجموعهٔ $d_1$-باز، $d_2$-باز است (کافی است درون همان $d_1$-گویی که دارید یک $d_2$-گویِ کوچک بگذارید): $\tau_{d_1}\subseteq\tau_{d_2}:\qquad d_2\ \textbf{finer (stronger)},\qquad d_1\ \textbf{coarser (weaker)}.$ معیار کلیِ پشت این مطلب: $\tau_{d_1}\subseteq\tau_{d_2}$ اگر و تنها اگر برای هر $x$ و هر $\varepsilon>0$ عددی $\delta>0$ باشد با $B_{d_2}(x,\delta)\subseteq B_{d_1}(x,\varepsilon)$. کرانِ سراسریِ $d_1\le C\,d_2$ شرط کافیِ راحتی است؛ برابریِ توپولوژی‌ها به کرانی در هر دو جهت (یا پیمانه‌ای در هر دو جهت) نیاز دارد — یک نامساوی به‌تنهایی هرگز آن را نمی‌دهد.

همین‌که بدانید کدام توپولوژی ریزتر است، هر گزینه خودش را پاسخ می‌دهد: کافی است بپرسید آیا آن خاصیت با بعضی مجموعهٔ باز گواهی می‌شود یا در برابر هر مجموعهٔ باز / هر پوشش آزموده می‌شود:

به زبان نماد، با $\tau_{d_1}\subseteq\tau_{d_2}$: $\operatorname{int}_{d_1}(A)\subseteq\operatorname{int}_{d_2}(A)$ حال آنکه $\overline{A}^{\,d_2}\subseteq\overline{A}^{\,d_1}$ و $A'_{d_2}\subseteq A'_{d_1}$ — با ریزتر شدن توپولوژی، درون‌ها بزرگ و بستارها/مجموعه‌های مشتق کوچک می‌شوند.

زوج آزمونِ جهانی. روی $X=\mathbb{R}$ بگیرید $d_1(x,y)=\min\{\lvert x-y\rvert,1\}$ (توپولوژی معمولی) و $d_2=$ متریک گسسته؛ آنگاه نقطه‌به‌نقطه $d_1\le d_2$، و یک مثال هم‌زمان هر استلزام وارون را رد می‌کند:

• $(0,1)$ در $d_2$ بسته است (همه‌چیز بسته است) ولی در $d_1$ بسته نیست — پس بسته‌بودن در متریک ریزتر پایین نمی‌آید؛
• $[0,1]$ در $d_1$ فشرده است ولی در $d_2$ فشرده نیست (پوشش با تک‌عضوی‌ها زیرپوشش متناهی ندارد) — فشردگی تنها از ریز $\to$ درشت می‌رود؛
• $0$ یک نقطهٔ درونیِ $\{0\}$ در $d_2$ است ولی $\operatorname{int}_{d_1}\{0\}=\varnothing$ — نقاط درونی تنها از درشت $\to$ ریز می‌روند؛
• $\tfrac1n\to0$ در $d_1$ ولی نه در $d_2$، و $0$ یک نقطهٔ حدیِ $\{1/n\}$ در $d_1$ است ولی نقطهٔ حدیِ $d_2$ نیست.

وقتی تسلط دوطرفه باشد. روی $\mathbb{R}^{n}$ متریک‌های ماکسیمم، اقلیدسی و تاکسی‌سواری در $d_{\max}\le d_{\mathrm{euc}}\le d_{\mathrm{taxi}}\le n\,d_{\max}$ صدق می‌کنند، پس لیپشیتس هم‌ارزاند: مجموعه‌های باز یکسان، دنباله‌های کوشیِ یکسان، مجموعه‌های کراندار یکسان. این همان قضیهٔ هم‌ارزیِ نُرم‌ها در بُعد متناهی است؛ در بُعد نامتناهی نقض می‌شود، جایی که تسلط یک‌طرفه واقعاً یک‌طرفه است.

کوشی و کامل بودن — متریک، نه توپولوژیک

$(a_n)$ کوشی است اگر و تنها اگر $\forall\varepsilon\,\exists N\,\forall m,n\ge N:\ d(a_m,a_n)<\varepsilon$، و $(X,d)$ کامل است اگر و تنها اگر هر دنبالهٔ کوشی همگرا باشد. هر دو به متریک وابسته‌اند و ناوردای توپولوژیک نیستند: $(0,1)$ و $\mathbb{R}$ هومئومورف‌اند ولی تنها دومی کامل است، و $d(x,y)=\dfrac{|x-y|}{\sqrt{1+x^{2}}\,\sqrt{1+y^{2}}}$ باعث می‌شود $a_n=n$ کوشی و بدون حد باشد، پس $(\mathbb{R},d)$ ناکامل است هرچند توپولوژی معمولی را حمل می‌کند. کامل بودن تحت هم‌ارزیِ یکنواخت (و نه صرفاً توپولوژیک) حفظ می‌شود، و به همین دلیل $\tfrac{d}{1+d}$ کامل بودنِ $\mathbb{R}$ را نگه می‌دارد ولی یک متریکِ هم‌ارزِ دلخواه لازم نیست چنین کند.

به بیان هم‌ارزِ $\lim_{n,m\to\infty}d(a_n,a_m)=0$ توجه کنید (یک حدِ دوگانه، با هر دو اندیس آزاد) — این عیناً همان شرط کوشی است، نه تضعیف آن. و در هر فضای متریک، کامل یا ناکامل، دنبالهٔ کوشی کراندار است: با $\varepsilon=1$ عددی $N$ بیابید که برای $n\ge N$ داشته باشیم $d(a_n,a_N)<1$، آنگاه $M=\max\{d(a_1,a_N),\dots,d(a_{N-1},a_N),1\}$ کل دنباله را در $\bar B(a_N,M)$ جا می‌دهد.

سه شدتِ «گام‌ها کوچک می‌شوند»

پربارترین تمایز در این مبحث، تمایز میان کنترلِ جمله‌های متوالی و کنترلِ همهٔ زوج‌های جمله‌های دور از هم است:

هر دو پیکان تنها رو به پایینِ جدول‌اند و هر دو اکیدند:

• جمع‌پذیر $\Rightarrow$ کوشی (تلسکوپی). برای $m>n$، زنجیرکردن نامساوی مثلثی در طول $x_n,x_{n+1},\dots,x_m$ می‌دهد $d(x_n,x_m)\ \le\ \sum_{k=n}^{m-1}d(x_k,x_{k+1})\ \le\ R_n:=\sum_{k\ge n}d(x_k,x_{k+1}),$ و دنبالهٔ باقی‌مانده $R_n\to0$ چون سری همگراست. این دقیقاً همان برآوردی است که قضیهٔ نقطهٔ ثابت باناخ را اثبات می‌کند، جایی که یک انقباض با نسبت $q<1$ می‌دهد $d(x_n,x_{n+1})\le q^{\,n}d(x_0,x_1)$ و در نتیجه کرانِ پیشینِ $d(x_n,x^\ast)\le\tfrac{q^{\,n}}{1-q}d(x_0,x_1)$.
• کوشی $\not\Rightarrow$ جمع‌پذیر. در $\mathbb{R}$ مجموع‌های جزئیِ سری همساز متناوب را بگیرید، $x_n=\sum_{k\le n}\tfrac{(-1)^{k+1}}{k}\to\ln2$. همگرا و پس کوشی است، با این حال $d(x_n,x_{n+1})=\tfrac1{n+1}$ و $\sum\tfrac1{n+1}=\infty$.
• کوشی $\Rightarrow$ شبه‌کوشی به‌طور بدیهی (کافی است $m=n+1$).
• شبه‌کوشی $\not\Rightarrow$ کوشی — و کامل بودن نمی‌تواند آن را جبران کند. در فضای کاملِ $\mathbb{R}$ مجموع‌های جزئیِ سری همساز، $a_n=\sum_{k\le n}\tfrac1k$، دارای $d(a_n,a_{n+1})=\tfrac1{n+1}\to0$ هستند ولی $a_{2n}-a_n\ge\tfrac12$، پس $(a_n)$ کوشی نیست؛ در واقع $a_n\to+\infty$، پس حتی کراندار هم نیست. به همان خوبی: $a_n=\sqrt n$ یا $a_n=\ln n$.

دو نتیجهٔ کنکوری. نخست، چون جمله‌های $d(x_n,x_{n+1})$ نامنفیاند، «سری همگراست» و «مجموع‌های جزئی کراندارند» یک فرض‌اند — دو گزینه با این دو عبارت منطقاً یکی‌اند و می‌توان هر دو را کنار گذاشت. دوم، شبه‌کوشی‌بودن مجموعهٔ نقاط انباشت را مقید می‌کند: برای یک دنبالهٔ حقیقیِ کراندار با $a_{n+1}-a_n\to0$، مجموعهٔ حدهای زیردنباله‌ای کل بازهٔ $[\liminf a_n,\limsup a_n]$ است (به‌طور کلی‌تر، در یک فضای متریک فشرده مجموعهٔ نقاط انباشتِ یک دنبالهٔ شبه‌کوشی همبند است). این ناکرانداری است که به مثال همساز اجازهٔ فرار کامل می‌دهد.

چه چیزی کامل بودن را تحمیل می‌کند — و چه چیزی نه

لم (اسب بارکش). دنبالهٔ کوشی‌ای که زیردنباله‌ای همگرا داشته باشد، به همان حد همگراست. با $\varepsilon>0$ داده‌شده، $N$ی بیابید با $d(x_n,x_m)<\varepsilon/2$ برای $n,m\ge N$، سپس $n_k\ge N$ با $d(x_{n_k},x)<\varepsilon/2$؛ آنگاه برای هر $n\ge N$، $d(x_n,x)\le d(x_n,x_{n_k})+d(x_{n_k},x)<\varepsilon$.

دو واقعیت همراه: هر دنبالهٔ کوشی کراندار است (با $\varepsilon=1$ دنبالهٔ باقی‌مانده در $B(x_N,1)$ می‌نشیند و متناهی جملهٔ ابتدایی فقط شعاع را بزرگ می‌کنند)، و زیرمجموعهٔ بستهٔ یک فضای کامل، کامل است، و برعکس زیرفضای کاملِ هر فضای متریک، در آن بسته است.

کامل بودن و فشردگی موضعی منطقاً مستقلاند: $(0,1)$ موضعاً فشرده ولی ناکامل است، حال آنکه یک فضای باناخِ بی‌نهایت‌بُعدی مانند $\ell^{2}$ کامل است ولی موضعاً فشرده نیست (ریس: گوی واحد بسته تنها در بُعد متناهی فشرده است). دلیل عمیقِ «خیر» بودنِ آن سطرها ساختاری است — فشردگی موضعی، تفکیک‌پذیری، همبندی، گسستگیِ توپولوژی و شمارایی دوم همگی توپولوژیکاند، و هیچ فرض توپولوژیکی نمی‌تواند خاصیتِ متریکِ کامل بودن را نتیجه دهد، چون در آن صورت $(0,1)\cong\mathbb{R}$ یک تناقض می‌شد.

قضیهٔ مجموعه‌های تودرتوی کانتور، بئر، باناخ و تکمیل

• کانتور. $(X,d)$ کامل است $\iff$ هر زنجیرِ نزولیِ مجموعه‌های بستهٔ ناتهیِ $F_1\supseteq F_2\supseteq\cdots$ با $\operatorname{diam}(F_k)\to0$ دارای $\bigcap_k F_k$ برابر با دقیقاً یک نقطه باشد. هر دو فرض مهم‌اند: روی $\mathbb{R}$ مجموعه‌های بستهٔ تودرتوی $F_k=[k,\infty)$ اشتراک تهی دارند، ولی قطرهایشان بی‌نهایت است.
• بئر. در یک فضای متریک کامل، اشتراک شمارایی از مجموعه‌های بازِ چگال، چگال است؛ هم‌ارز با اینکه $X$ اجتماع شمارایی از مجموعه‌های هیچ‌جا-چگال نیست.
• نقطهٔ ثابت باناخ. روی $X$ی کامل، یک انقباض $d(f(x),f(y))\le q\,d(x,y)$ با $q<1$ یک نقطهٔ ثابتِ یکتا دارد که با تکرار به دست می‌آید — و اثبات دقیقاً همان «گام‌های هندسی $\Rightarrow$ جمع‌پذیر $\Rightarrow$ کوشی $\Rightarrow$ همگرا» است. کامل بودن ضروری است: $f(x)=x/2$ روی $X=(0,1]$ انقباضی بدون نقطهٔ ثابت است.
• تکمیل. هر فضای متریک به‌طور ایزومتریک به‌عنوان زیرمجموعه‌ای چگال در فضایی کامل $\widehat{X}$ نشانده می‌شود، که تا حدِ ایزومتری یکتاست — و دقیقاً به همین دلیل است که سطر «زیرمجموعهٔ چگال» در بالا کامل بودن را مشخصه‌سازی می‌کند.