سوال ۶۸ کنکور ارشد ریاضی ۱۴۰۲

واقعیت حاکم (گام «لم بئر»). در هر فضای توپولوژیک — و به‌طور خاص در یک فضای متریک $(X,d)$ — اشتراک یک مجموعهٔ باز و چگال با یک مجموعهٔ چگال باز هم چگال است. معیار کاربردی را به یاد آورید:

$D \subseteq X \text{ is dense} \iff U \cap D \neq \emptyset \ \text{ for every nonempty open } U \subseteq X,$

که هم‌ارز است با $\overline{D} = X$، و هم‌ارز با اینکه هر گوی $B(x,r)$ مجموعهٔ $D$ را قطع کند.

گزینهٔ ۳ درست است. فرض کنید $A$ باز و چگال، $B$ چگال، و $U \subseteq X$ یک مجموعهٔ باز ناتهی دلخواه باشد.

1. چون $A$ چگال است، $U \cap A \neq \emptyset$.
2. چون $A$ و $U$ هر دو بازند، $V := U \cap A$ یک مجموعهٔ باز ناتهی است.
3. چون $B$ چگال است، $V \cap B \neq \emptyset$، یعنی $U \cap (A \cap B) \neq \emptyset$.

چون $U$ یک مجموعهٔ باز ناتهی دلخواه بود، $\overline{A \cap B} = X$؛ یعنی مجموعهٔ $A \cap B$ در $X$ چگال است. $\blacksquare$

(به‌طور ملموس: برای $x \in X$ و $r>0$ داده‌شده، چگالی $A$ نقطه‌ای $a \in A \cap B(x,r)$ به دست می‌دهد؛ باز بودن $A$ و باز بودن گوی، وجود $\rho>0$ با $B(a,\rho) \subseteq A \cap B(x,r)$ را نتیجه می‌دهد؛ و چگالی $B$ نقطه‌ای از $B$ در $B(a,\rho)$ می‌دهد، پس نقطه‌ای از $A\cap B$ در $B(x,r)$ وجود دارد.)

چرا سه گزینهٔ دیگر نادرست‌اند — یک مثال نقض هر کدام را رد می‌کند.

همچنین توجه کنید که دو مجموعهٔ چگال می‌توانند جدا از هم باشند ($\mathbb{Q}$ و $\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}$ هر دو در $\mathbb{R}$ چگال و متباین‌اند) — و دقیقاً به همین دلیل است که باز بودنِ یکی از آن دو، فرضِ گریزناپذیر در گزینهٔ ۳ است. نه $\mathbb{Q}$ باز است و نه متمم آن، پس هیچ تناقضی پیش نمی‌آید.

نکتهٔ کنکوری: «چگال $\cap$ چگال» هیچ چیزی نمی‌گوید؛ اما «چگالِ باز $\cap$ چگال» چگال است. این لم یک‌خطی، همان گام استقرایی در اثبات قضیهٔ رستهٔ بئر است (اشتراک شمارای مجموعه‌های باز و چگال در یک فضای متریک کامل، چگال است) — آن را در همین قالب به خاطر بسپارید.