نوسان‌های کوچک و مُدهای طبیعی سامانه‌های جفت‌شده

۱. ایدهٔ اصلی و دامنهٔ کاربرد

تقریباً هر سامانهٔ مکانیکی مقید که نزدیک یک تعادل پایدار نگه داشته شود و تنها اندکی آشفته گردد، مانند مجموعه‌ای از نوسانگرهای هماهنگ مستقل رفتار می‌کند. تمام محتوای نظریهٔ نوسان‌های کوچک همین است: برای جابه‌جایی‌هایی که به‌قدر کافی کوچک باشند تا پتانسیل را بتوان در مرتبهٔ دوم قطع کرد، معادلات حرکت خطی می‌شوند و یک سامانهٔ خطی با $n$ درجهٔ آزادی دارای $n$ مُد طبیعی است — حرکت‌های جمعی ویژه‌ای که در آن‌ها همهٔ مختصات با فرکانس یکسان و رابطهٔ فاز ثابت نوسان می‌کنند.

فرض کنید سامانه‌ای پایستار با مختصات تعمیم‌یافتهٔ $q_1,\dots,q_n$، پتانسیل $U(q)$ و انرژی جنبشی $T=\tfrac12\sum_{ij}m_{ij}(q)\,\dot q_i\dot q_j$ توصیف شود. یک تعادل $q^{(0)}$ در شرط زیر صدق می‌کند:

$\left.\frac{\partial U}{\partial q_i}\right|_{q^{(0)}} = 0 \qquad (i=1,\dots,n).$

قرار می‌دهیم $\eta_i = q_i - q_i^{(0)}$ و بسط می‌دهیم. جملهٔ خطی طبق تعریف تعادل حذف می‌شود، ثابت $U(q^{(0)})$ بی‌اهمیت است، و در $T$ کافی است $m_{ij}$ را در نقطهٔ تعادل ارزیابی کنیم (وابستگی آن به $q$ تنها در مرتبهٔ سوم کمیت‌های کوچک $\eta,\dot\eta$ سهم دارد). بنابراین تا مرتبهٔ دوم:

$T = \frac{1}{2}\sum_{i,j} M_{ij}\,\dot\eta_i\dot\eta_j, \qquad U = \frac{1}{2}\sum_{i,j} V_{ij}\,\eta_i\eta_j,$

$M_{ij} = m_{ij}\!\left(q^{(0)}\right), \qquad V_{ij} = \left.\frac{\partial^{2} U}{\partial q_i \partial q_j}\right|_{q^{(0)}}.$

هر دو ماتریس $\mathbf{M}$ (ماتریس جرم/اینرسی) و $\mathbf{V}$ (ماتریس سختی) حقیقی و متقارن‌اند؛ $\mathbf{M}$ همواره معین مثبت است (انرژی جنبشی مثبت است) و تعادل پایدار است اگر و تنها اگر $\mathbf{V}$ معین مثبت باشد.

این دستگاه، ستون فقرات مسائل زیر است: آونگ‌های جفت‌شده و زنجیره‌های جرم–فنر، ارتعاش‌های مولکولی (طیف‌های IR/رامان)، فونون‌ها در یک شبکه، تحلیل پایداری هر تعادل در مکانیک لاگرانژی، شبکه‌های مدار LC، و — با یک جملهٔ اضافه — نوسانگرهای میرا و واداشته.

۲. روابط و قضایای کلیدی

معادلات حرکت. با $L = T - U = \tfrac12\dot{\boldsymbol\eta}^{\mathsf T}\mathbf{M}\dot{\boldsymbol\eta} - \tfrac12\boldsymbol\eta^{\mathsf T}\mathbf{V}\boldsymbol\eta$، معادلات اویلر–لاگرانژ به سامانهٔ خطی زیر می‌انجامند:

$\mathbf{M}\,\ddot{\boldsymbol\eta} + \mathbf{V}\,\boldsymbol\eta = 0 .$

حدس مُد طبیعی. قرار دهید $\boldsymbol\eta(t) = \mathbf{a}\,e^{i\omega t}$ (بخش حقیقی مقصود است). آنگاه

$\left(\mathbf{V} - \omega^{2}\mathbf{M}\right)\mathbf{a} = 0 \;\Longrightarrow\; \det\!\left(\mathbf{V} - \omega^{2}\mathbf{M}\right) = 0 .$

معادلهٔ اخیر همان معادلهٔ سکولار (مشخصه) است: چندجمله‌ای درجهٔ $n$ برحسب $\lambda \equiv \omega^{2}$ که $n$ ریشهٔ آن $\omega_1^2,\dots,\omega_n^2$ مربع فرکانس‌های طبیعی است. چون $\mathbf{M}$ معین مثبت و $\mathbf{V}$ متقارن است، همهٔ $\lambda_r$ ها حقیقی‌اند؛ و دقیقاً وقتی همگی مثبت‌اند که تعادل پایدار باشد. هرگاه $\mathbf{M} = m\mathbf{I}$ باشد، مسئله به قطری‌سازی معمولی فرو می‌کاهد: $\omega_r^{2}$ ها مقادیر ویژهٔ $\mathbf{V}/m$ هستند.

قواعد مجموع و حاصل‌ضرب (سریع‌ترین کنترل درستی):

$\sum_{r=1}^{n}\omega_r^{2} = \operatorname{tr}\!\left(\mathbf{M}^{-1}\mathbf{V}\right), \qquad \prod_{r=1}^{n}\omega_r^{2} = \frac{\det \mathbf{V}}{\det \mathbf{M}} .$

تعامد تعمیم‌یافته. بردارهای ویژهٔ متناظر با فرکانس‌های متمایز نسبت به ماتریس جرم متعامدند و می‌توان آن‌ها را چنان بهنجار کرد که

$\mathbf{a}^{(r)\mathsf T}\mathbf{M}\,\mathbf{a}^{(s)} = \delta_{rs}, \qquad \mathbf{a}^{(r)\mathsf T}\mathbf{V}\,\mathbf{a}^{(s)} = \omega_r^{2}\,\delta_{rs}.$

قرار دادن بردارهای ویژه به‌عنوان ستون‌های $\mathbf{A}$، قطری‌سازی همزمان هم‌نهشتی را می‌دهد: $\mathbf{A}^{\mathsf T}\mathbf{M}\mathbf{A} = \mathbf{I}$، $\mathbf{A}^{\mathsf T}\mathbf{V}\mathbf{A} = \operatorname{diag}(\omega_1^2,\dots,\omega_n^2)$.

مختصات طبیعی. تعریف کنید $\boldsymbol\eta = \mathbf{A}\boldsymbol\xi$، یعنی $\xi_r = \mathbf{a}^{(r)\mathsf T}\mathbf{M}\boldsymbol\eta$. لاگرانژی به مجموعی از نوسانگرهای جفت‌نشده تبدیل می‌شود:

$L = \frac{1}{2}\sum_{r}\left(\dot\xi_r^{2} - \omega_r^{2}\xi_r^{2}\right) \;\Longrightarrow\; \ddot\xi_r + \omega_r^{2}\xi_r = 0 ,$

پس حرکت عمومی برهم‌نهی مُدهاست:

$\boldsymbol\eta(t) = \sum_{r=1}^{n} C_r\,\mathbf{a}^{(r)}\cos\!\left(\omega_r t + \varphi_r\right), \qquad C_r,\varphi_r \ \text{fixed by the } 2n \text{ initial data.}$

یک درجهٔ آزادی. برای $T=\tfrac12 a(q)\dot q^{2}$ و کمینه در $q_0$:

$\omega = \sqrt{\frac{U''(q_0)}{a(q_0)}} \qquad \left(\text{e.g. } \omega=\sqrt{U''(x_0)/m},\quad \omega = \sqrt{g/\ell}\ \text{for the pendulum}\right).$

با میرایی خطی (لزج). تابع اتلاف رِیلی $\mathcal{F}=\tfrac12\sum_{ij}C_{ij}\dot\eta_i\dot\eta_j$ جملهٔ $\mathbf{C}\dot{\boldsymbol\eta}$ را می‌افزاید و به $\mathbf{M}\ddot{\boldsymbol\eta}+\mathbf{C}\dot{\boldsymbol\eta}+\mathbf{V}\boldsymbol\eta=0$ می‌رسیم. در یک بعد، $\ddot\eta + 2\gamma\dot\eta + \omega_0^{2}\eta = 0$ با ریشه‌های $s_\pm = -\gamma \pm \sqrt{\gamma^{2}-\omega_0^{2}}$:

انرژی به‌صورت $E\propto e^{-2\gamma t}$ افت می‌کند؛ ضریب کیفیت $Q=\omega_0/2\gamma$ است. تحت تحریک سینوسی $F_0\cos\omega t$، دامنهٔ حالت ماندگار در $\omega_{\text{res}}=\sqrt{\omega_0^{2}-2\gamma^{2}}$ بیشینه می‌شود و برای میرایی ضعیف $A_{\max}\simeq F_0/(2m\gamma\omega_0)$ است.

۳. روش — چگونه این مسائل را حل کنیم

۱. تعادل را بیابید. معادلهٔ $\partial U/\partial q_i = 0$ را حل کنید. (اگر صورت مسئله از پیش گفته باشد «نوسان حول $q=0$»، این گام انجام شده است.) ۲. پایداری را بیازمایید. هسیان $V_{ij}=\partial^2 U/\partial q_i\partial q_j$ را در آن نقطه محاسبه کنید. معین مثبت $\Rightarrow$ پایدار، با فرکانس‌های حقیقی. در یک بعد صرفاً $U''>0$. ۳. $T$ و $U$ را تا مرتبهٔ دوم برحسب $\eta = q - q^{(0)}$ بسط دهید. ضرایب جرمی را در $q^{(0)}$ ارزیابی کنید — هرگز وابستگی آن‌ها به $q$ را نگه ندارید، زیرا مرتبهٔ بالاتر است. از $\sin\theta\simeq\theta$ و $\cos\theta\simeq 1-\theta^{2}/2$ به‌طور سازگار و با دقت مرتبهٔ دوم در انرژی‌ها استفاده کنید. ۴. $\mathbf{M}$ و $\mathbf{V}$ را بخوانید. قاعدهٔ ضریب دو را به کار ببندید: جملهٔ متقاطع نوشته‌شدهٔ $c\,\eta_i\eta_j$ در درون $2U$ یعنی $V_{ij}=V_{ji}=c/2$، چون مجموع $\sum_{ij}V_{ij}\eta_i\eta_j$ آن را دوبار می‌شمارد. ۵. پیش از محاسبهٔ خام، از تقارن بهره ببرید. یک تقارن بازتابی در زنجیره، مُدها را وادار می‌کند نسبت به آن زوج یا فرد باشند (مثلاً مُدهایی از نوع $(1,0,-1)$ که مختصهٔ صفحهٔ آینه در آن‌ها ساکن است)؛ یک تقارن انتقالی در سامانهٔ آزاد وجود مُدی با $\omega=0$ و $\mathbf{a}\propto(1,1,\dots,1)$ را تضمین می‌کند. هر یک از این ملاحظات، دترمینان سکولار را در دم تجزیه می‌کند. ۶. معادلهٔ سکولار $\det(\mathbf{V}-\lambda\mathbf{M})=0$ را برای $\lambda=\omega^{2}$ حل کنید، سپس با $\sum\lambda_r=\operatorname{tr}(\mathbf{M}^{-1}\mathbf{V})$ و $\prod\lambda_r=\det\mathbf{V}/\det\mathbf{M}$ بررسی کنید. ۷. هر بردار ویژه را از $(\mathbf{V}-\lambda_r\mathbf{M})\mathbf{a}^{(r)}=0$ به دست آورید و با $\mathbf{a}^{(r)\mathsf T}\mathbf{M}\mathbf{a}^{(r)}=1$ بهنجار کنید. الگوی علامت‌ها را به‌طور فیزیکی تفسیر کنید (هم‌فاز / غیرهم‌فاز / گره). ۸. شرایط اولیه را از طریق مختصات طبیعی اعمال کنید: $\xi_r(0)=\mathbf{a}^{(r)\mathsf T}\mathbf{M}\boldsymbol\eta(0)$ و $\dot\xi_r(0)=\mathbf{a}^{(r)\mathsf T}\mathbf{M}\dot{\boldsymbol\eta}(0)$؛ آنگاه هر مُد به‌صورت $\xi_r(t)=\xi_r(0)\cos\omega_r t + \dot\xi_r(0)\,\omega_r^{-1}\sin\omega_r t$ تحول می‌یابد. ۹. اگر میرایی وجود دارد، $\mathbf{V}$ را کورکورانه قطری نکنید — به‌جای آن $\boldsymbol\eta = \mathbf{a}e^{st}$ را جایگذاری کنید و $\det(\mathbf{M}s^{2}+\mathbf{C}s+\mathbf{V})=0$ را برای $s$ مختلط حل کنید. در یک بعد کافی است $\gamma$ را با $\omega_0$ مقایسه کنید و سطر متناظر جدول بالا را برگزینید؛ ریشهٔ مکرر همواره ضریب اضافی $t$ را طلب می‌کند.

۴. مثال کوتاه حل‌شده

دو مهره به جرم‌های $m$ و $2m$ روی سیمی بدون اصطکاک میان دو دیوار می‌لغزند و با سه فنر یکسان به سختی $k$ به هم متصل‌اند: دیوار $-k-\;m\;-k-\;2m\;-k-$ دیوار. فرض کنید $\eta_1,\eta_2$ جابه‌جایی‌ها از تعادل باشند.

انرژی‌ها.

$T = \tfrac12 m\dot\eta_1^{2} + \tfrac12 (2m)\dot\eta_2^{2}, \qquad U = \tfrac12 k\eta_1^{2} + \tfrac12 k(\eta_2-\eta_1)^{2} + \tfrac12 k\eta_2^{2}.$

ماتریس‌ها. با بسط $U=\tfrac12\left(2k\eta_1^{2}-2k\eta_1\eta_2+2k\eta_2^{2}\right)$ و اعمال قاعدهٔ ضریب دو بر جملهٔ متقاطع،

$\mathbf{M} = \begin{pmatrix} m & 0 \\ 0 & 2m \end{pmatrix}, \qquad \mathbf{V} = \begin{pmatrix} 2k & -k \\ -k & 2k \end{pmatrix}.$

معادلهٔ سکولار. با $\lambda \equiv m\omega^{2}/k$،

$\det\begin{pmatrix} 2k-m\omega^{2} & -k \\ -k & 2k-2m\omega^{2}\end{pmatrix} = 0 \;\Longrightarrow\; (2-\lambda)(2-2\lambda)-1 = 2\lambda^{2}-6\lambda+3 = 0,$

$\lambda_\pm = \frac{6\pm\sqrt{36-24}}{4} = \frac{3\pm\sqrt{3}}{2} \;\Longrightarrow\; \omega_\mp = \sqrt{\frac{(3\mp\sqrt{3})\,k}{2m}} \approx 0.796\sqrt{\frac{k}{m}},\ \ 1.538\sqrt{\frac{k}{m}} .$

بررسی. $\lambda_++\lambda_-=3$ با $\operatorname{tr}(\mathbf{M}^{-1}\mathbf{V})=2k/m+k/m=3k/m$ سازگار است؛ $\lambda_+\lambda_-=3/2$ با $\det\mathbf{V}/\det\mathbf{M}=3k^{2}/2m^{2}$ سازگار است. $\checkmark$

مُدها. سطر نخست می‌دهد $a_2=(2-\lambda)a_1$، پس

$\mathbf{a}^{(-)} \propto \left(1,\ \tfrac{1+\sqrt{3}}{2}\right)\ \ (\text{in phase, heavy bead swings wider}), \qquad \mathbf{a}^{(+)} \propto \left(1,\ \tfrac{1-\sqrt{3}}{2}\right)\ \ (\text{out of phase}).$

این دو نسبت به $\mathbf{M}$ متعامدند اما تعامد معمولی ندارند: $\mathbf{a}^{(-)\mathsf T}\mathbf{M}\mathbf{a}^{(+)} = m\left[1+2\cdot\tfrac{1+\sqrt3}{2}\cdot\tfrac{1-\sqrt3}{2}\right] = m\left[1-1\right]=0$، در حالی که $\mathbf{a}^{(-)}\cdot\mathbf{a}^{(+)} = 1+\tfrac{1-3}{4}=\tfrac12\neq 0$. همچنین توجه کنید که نابرابری جرم‌ها تقارن تمیز $\pm$ را که جرم‌های برابر پدید می‌آوردند می‌شکند ($\omega=\sqrt{k/m},\sqrt{3k/m}$).

۵. حالت‌های خاص، گونه‌ها و حدها

• مُدهای صفر. اگر $\mathbf{V}$ منفرد باشد، برخی $\omega_r=0$ می‌شوند؛ «نوسان» متناظر عبارت است از $\xi_r(t)=\alpha+\beta t$ — یک انتقال یا دوران آزاد. یک زنجیرهٔ آزاد (مقیدنشده) از $N$ جرم دقیقاً یک چنین مُدی با $\mathbf{a}\propto(1,1,\dots,1)$ دارد. یک مولکول غیرخطی با $N$ اتم، $3N-6$ فرکانس ارتعاشی واقعی دارد ($3N-5$ اگر خطی باشد) و شش تای باقی‌مانده انتقال و دوران‌اند.
• واگنی. تقارن (مثلاً مربع یا مثلث متساوی‌الاضلاعی از جرم‌ها) می‌تواند دو ریشه را بر هم منطبق کند؛ آنگاه هر ترکیب خطی درون زیرفضای واگن نیز یک مُد طبیعی است و کافی است یک پایهٔ مناسب (متعامدشده) برگزید.
• تعادل ناپایدار / مرزی. اگر $\mathbf{V}$ مقدار ویژهٔ منفی داشته باشد، $\omega^{2}<0$ و $\omega=i\kappa$: آن «مُد» به‌صورت $e^{\kappa t}$ رشد می‌کند (آونگ وارون). اگر افزون بر آن $U''(q_0)=0$ باشد، تقریب هماهنگ به‌کلی شکست می‌خورد؛ برای $U\propto \eta^{4}$ دوره وابسته به دامنه است، $T\propto 1/A$.
• تصحیح‌های ناهماهنگ. نگه‌داشتن جملات مرتبهٔ سوم/چهارم، فرکانس را به اندازهٔ $\Delta\omega\propto A^{2}$ جابه‌جا می‌کند و مُدها را جفت می‌کند — سرچشمهٔ انبساط گرمایی و پراکندگی فونون–فونون.
• جفت‌شدگی ضعیف و زنش. دو نوسانگر تقریباً یکسان که به‌طور ضعیف جفت شده‌اند ($\omega_+\simeq\omega_-$) انرژی را به‌طور کامل مبادله می‌کنند، با بسامد زاویه‌ای زنش $\omega_+-\omega_-$ و زمان انتقال کامل $\pi/(\omega_+-\omega_-)$.
• جرم‌های بسیار / حد پیوسته. برای زنجیرهٔ نامتناهی از جرم‌های $m$ و فنرهای $k$ با فاصلهٔ $a$، تقارن انتقالی قطری‌سازی را با تبدیل فوریه جایگزین می‌کند و رابطهٔ پاشندگی $\omega(q)=2\sqrt{k/m}\,\left|\sin(qa/2)\right|$ به دست می‌آید؛ در حد $qa\to 0$ این به معادلهٔ موج با سرعت $v=a\sqrt{k/m}$ تبدیل می‌شود.
• میرایی و تحریک (جدول بالا را ببینید): همان دستگاه $\mathbf{M},\mathbf{V}$، اما با حضور $\mathbf{C}$ مُدها عموماً فرکانس‌های مختلط پیدا می‌کنند؛ تنها هنگامی که $\mathbf{C}$ ترکیبی خطی از $\mathbf{M}$ و $\mathbf{V}$ باشد («میرایی متناسب») مُدهای طبیعی بدون میرایی جفت‌نشده باقی می‌مانند.
• جفت‌شدگی وابسته به سرعت (ژیروسکوپی)، مانند بار الکتریکی در میدان مغناطیسی یا حرکت در دستگاه دوّار، جمله‌ای مشتق‌اول و پادمتقارن می‌افزاید؛ آنگاه فرکانس‌ها از $\det(-\omega^{2}\mathbf{M}+i\omega\mathbf{G}+\mathbf{V})=0$ به دست می‌آیند (شکافتگی از نوع لارمور/زیمان).

تلهٔ رایج: سه لغزش سرنوشت این مسائل را تعیین می‌کند. (i) ضریب دو: جملهٔ متقاطعی که به‌صورت $-2x_1x_2$ درون کروشهٔ $U=\tfrac12(\cdots)$ نوشته می‌شود یعنی $V_{12}=V_{21}=-1$، نه $-2$ — مجموع دوگانه آن را دوبار می‌شمارد. (ii) $\omega$ در برابر $\omega^{2}$: معادلهٔ سکولار $\omega^{2}$ را می‌دهد و گزینه‌های انحرافی دقیقاً از فراموش‌کردن جذر (یا دوبار گرفتن آن) ساخته می‌شوند. (iii) تعامد نسبت به $\mathbf{M}$ است: وقتی جرم‌ها متفاوت‌اند، به‌طور کلی $\mathbf{a}^{(r)}\cdot\mathbf{a}^{(s)}\neq 0$ — تنها $\mathbf{a}^{(r)\mathsf T}\mathbf{M}\mathbf{a}^{(s)}=0$ برقرار است. و هر گاه ضریب میرایی چنان تنظیم شده باشد که دقیقاً $\gamma=\omega_0$، دیگر دنبال پاسخ نوسانی یا دو-نمایی نگردید: ریشهٔ مکرر شکل چندجمله‌ای-ضرب‌در-نمایی $(A+Bt)e^{-\omega_0 t}$ را تحمیل می‌کند.