بردار مکان ذرهای که در صفحه x-y بر روی یک بیضی حرکت میکند r=acosω ti+bsinω tj است. شتاب مماسی ذره در لحظه t=π/(۴ω) کدام است؟

dfrac ω^۲(a^۲-b^۲) √(۲(a^۲+b^۲))

dfrac ω^۲ab(a-b) √(۲(a^۴+b^۴))

dfrac ω^۲√ab(a-b) √(۲(a^۲+b^۲))

dfrac ω^۲√ab(a^۲-b^۲) √(۲(a^۴+b^۴))

فیزیک 1401

سوال 71 سوال 73

سوال ۷۲ کنکور ارشد فیزیک ۱۴۰۱

مکانیک کلاسیکمتوسطمکانیک نیوتونی و سینماتیک

اهمیت

۰/۵

بردار مکان ذره‌ای که در صفحه $x-y$ بر روی یک بیضی حرکت می‌کند $\vec{r}=a\cos\omega t\hat{i}+b\sin\omega t\hat{j}$ است. شتاب مماسی ذره در لحظه $t=\pi/(۴\omega)$ کدام است؟

پاسخ صحیح: گزینهٔ B — $\dfrac{\omega^۲(a^۲-b^۲)}{\sqrt{۲(a^۲+b^۲)}}$

پاسخ تشریحی

تصویر شتاب در راستای سرعت

شتاب مماسی علامت‌دار، مشتق تندی است و با اندازهٔ بردار شتاب تفاوت دارد:

a_t=\frac{dv}{dt}=\frac{\vec{v}\cdot\vec{a}}{v}.

با مشتق‌گیری از پارامتری‌سازی داده‌شده داریم:

\vec{v}=\omega\left[-a\sin(\omega t)\hat{i}+b\cos(\omega t)\hat{j}\right],\qquad \vec{a}=-\omega^2\left[a\cos(\omega t)\hat{i}+b\sin(\omega t)\hat{j}\right].

در نتیجه،

\vec{v}\cdot\vec{a}=\omega^3(a^2-b^2)\sin(\omega t)\cos(\omega t),\qquad v=\omega\sqrt{a^2\sin^2(\omega t)+b^2\cos^2(\omega t)}.

در زمان تعیین‌شده، هر دو عامل مثلثاتی برابر $1/\sqrt{2}$ هستند؛ پس

a_t=\frac{\omega^3(a^2-b^2)/2}{\omega\sqrt{(a^2+b^2)/2}} =\boxed{\frac{\omega^2(a^2-b^2)}{\sqrt{2(a^2+b^2)}}}.

این عبارت گزینهٔ ۲ است و بُعد شتاب دارد. در حد دایره‌ای $a=b$ ، تندی ثابت است و این عبارت صفر می‌شود. اگر $a>b$ باشد، تندی در این لحظه افزایش می‌یابد که با علامت مثبت پاسخ سازگار است.

نکتهٔ کنکوری: شتاب مماسی مؤلفه‌ای علامت‌دار در راستای حرکت است. اندازهٔ شتاب کل، مؤلفهٔ عمودی بر مسیر را نیز در بر دارد و پاسخ پرسش دیگری است.

#tangential-acceleration#elliptical-motion#velocity#dot-product

کارت‌های مرتبط

مفهومفیزیک پایه

سینماتیک: حرکت یک‌بعدی و دوبعدی، پرتابه‌ها و حرکت نسبی

جعبه‌ابزار کامل سینماتیک — مشتق‌گیری و انتگرال‌گیری از r(t) ، مسیرهای a=v dv/dx و t(x) ضمنی برای حرکت غیریکنواخت، مسیر و برد پرتابه، تجزیهٔ مماسی/عمودی همراه با شعاع انحنا، و سرعت نسبی گالیله‌ای.

kinematicsone-dimensional-motionprojectile-motionrelative-velocity

مفهوممکانیک کلاسیک

مکانیک نیوتنی: داده‌های اولیه، انرژی، برخوردها و پسا

روش مناسب را از دینامیک برداری، انتگرال زمان با سرعت علامت‌دار، ضریب بازگشت و پسا انتخاب کنید و سرعت‌ها و نیروها را میان دستگاه‌های اینرسی و چرخان تبدیل کنید.

coefficient-of-restitutionrepeated-impactstransport-theoremrotating-reference-frame