کار نیروی F=(y^۲z^۳-۶xz^۲)i+۲xyz^۳j+(۳xy^۲z^۲-۶x^۲z)k که x ، y و z بر حسب متر و F بر حسب نیوتن است، از نقطه به مختصات (-۲m,۱m,۳m) تا نقطه (۱m,-۲m,-۱m) چند ژول است؟

سوال ۷۳ کنکور ارشد فیزیک ۱۴۰۱

مکانیک کلاسیکمتوسطمکانیک نیوتونی و سینماتیک

اهمیت

۰/۵

کار نیروی $\vec{F}=(y^۲z^۳-۶xz^۲)\hat{i}+۲xyz^۳\hat{j}+(۳xy^۲z^۲-۶x^۲z)\hat{k}$ که $x$ ، $y$ و $z$ بر حسب متر و $F$ بر حسب نیوتن است، از نقطه به مختصات $(-۲\mathrm{m},۱\mathrm{m},۳\mathrm{m})$ تا نقطه $(۱\mathrm{m},-۲\mathrm{m},-۱\mathrm{m})$ چند ژول است؟

پاسخ صحیح: گزینهٔ A — $۱۵۵$

پاسخ تشریحی

یافتن تابع اسکالر مولد نیرو

مسیر مشخص نشده است. این نیروی چندجمله‌ای در تمام فضا پایستار است: مؤلفهٔ اول را نسبت به $x$ انتگرال می‌گیریم و دو مؤلفهٔ دیگر را بررسی می‌کنیم. تابع کار $S$ را که منفی انرژی پتانسیل است، تعریف می‌کنیم:

S(x,y,z)=xy^2z^3-3x^2z^2.

گرادیان آن دقیقاً نیروی چاپ‌شده است:

\frac{\partial S}{\partial x}=y^2z^3-6xz^2,\qquad \frac{\partial S}{\partial y}=2xyz^3,\qquad \frac{\partial S}{\partial z}=3xy^2z^2-6x^2z.

پس کار فقط به نقاط ابتدا و انتها بستگی دارد:

W=\int_A^B\vec{F}\cdot d\vec{r}=S(B)-S(A).

با استفاده از مختصات بر حسب متر و ضرایب ضمنی نیرو در دستگاه SI،

S(A)=(-2)(1)^2(3)^3-3(-2)^2(3)^2=-54-108=-162\,\mathrm{J},

S(B)=(1)(-2)^2(-1)^3-3(1)^2(-1)^2=-4-3=-7\,\mathrm{J}.

بنابراین

\boxed{W=-7-(-162)=155\,\mathrm{J}}.

پاسخ گزینهٔ ۱ است. کار مثبت به‌معنای کاهش انرژی پتانسیل است که با $U=-S$ سازگاری دارد. با جابه‌جایی نقاط ابتدا و انتها، علامت کار عوض می‌شود.

تلهٔ رایج: جملهٔ اولِ مؤلفهٔ اول نیرو فاقد عامل مختصهٔ $x$ است. تابع اولیهٔ آن نسبت به $x$ خطی است، در حالی که جملهٔ دوم عامل $x^2$ می‌دهد. همچنین هنگام به توان سه رساندن $z$ ، علامت منفی مختصهٔ نهایی را حفظ کنید.

#conservative-force#work-integral#potential-energy#gradient

کارت‌های مرتبط

قضیهریاضی فیزیک

حساب برداری، تبدیل‌های متعامد و هندسهٔ منحنی

حساب برداری دیفرانسیلی و انتگرالی، پاریتهٔ قطبی و محوری در تبدیل‌های متعامد، و هندسهٔ طول قوس و فرنهٔ منحنی‌های منظم.

vector-calculuspolar-axial-parityvector-triple-productintegral-theorems

مفهوممکانیک کلاسیک

مکانیک نیوتنی: داده‌های اولیه، انرژی، برخوردها و پسا

روش مناسب را از دینامیک برداری، انتگرال زمان با سرعت علامت‌دار، ضریب بازگشت و پسا انتخاب کنید و سرعت‌ها و نیروها را میان دستگاه‌های اینرسی و چرخان تبدیل کنید.

coefficient-of-restitutionrepeated-impactstransport-theoremrotating-reference-frame