سوالات

اگر فرض کنیم A یک مجموعه شمارش‌پذیر نامتناهی باشد. آنگاه P(A) (مجموعه تمام زیرمجموعه‌های A ) .............

کدام‌یک از عبارت‌های زیر درست است؟

فرض کنید Γ مجموعه‌ای از گزاره‌های منطق گزاره‌ای باشد. حداکثر چند تا از احکام زیر با هم معادل‌اند؟ Γ سازگار ماکسیمال است. Γ تنها یک مدل دارد. برای هر گزارهٔ A ، Γ ⊢ A یا Γ ⊢ ¬ A . برای هر گزارهٔ A, B…

با فرض اینکه T_1 و T_2 دو نظریه سازگار در زبان L در منطق مرتبهٔ اول باشند، کدام مورد صحیح است؟

تعداد موارد آزاد متغیرها در فرمول ∃ y ∀ x D(x,y) ∧ ∃ x (A(x,y) ∧ ∀ z (B(x) → D(x,w)) برابر با کدام است؟

فرض کنید P، Q و R سه گزاره هستند. کدام از گزینه‌های زیر نادرست است؟

کدام‌یک از ویژگی‌های زیر متناهی بودن مجموعه A را نتیجه می‌دهد؟ (برای مجموعه A، A عدد اصلی A و P(A) مجموعه توانی A می‌باشند.)

فرض کنید A و B دو مجموعه نامتناهی باشند و B < A ∪ B . چه تعداد از موارد زیر نتیجه قطعی فرض‌های مسئله‌اند؟ الف) A ناشمارا است. ب) B شمارا است. ج) B < A د) 2^( B ) ≤ 2^( A )

فرض کنید P(X) نشان‌دهندهٔ مجموعهٔ زیرمجموعه‌های X و دو مجموعهٔ A و B ناتهی باشند، کدام مورد صحیح است؟

روی مجموعه اعداد طبیعی، رابطه «عدد x عدد y را عاد می‌کند» یک رابطه ............... .

در یک گروه ۹۹ نفره، بین هر پنج نفر دو نفر هم‌سن هستند و بین هر ۴ نفر، دو نفر هستند که در یک شهر متولد شده‌اند. بیشترین مقدار K چقدر است، به‌طوری‌که گزاره زیر همواره درست باشد؟ «حداقل K نفر در این…

تعداد تطابق‌های کامل در گراف زیر چقدر است؟

به چند طریق می‌توان رئوس گراف زیر را با ۴ رنگ مختلف رنگ‌آمیزی کرد به‌طوری‌که هیچ دو رأس مجاوری هم‌رنگ نباشند؟ (ممکن است از بعضی از رنگ‌ها استفاده نشود.)

گراف G روی مجموعه رئوس ‎ ۱،۲،...،۱۰۰ ‎ = V به صورت زیر تعریف می‌شود: دو رأس x و y مجاورند اگر و تنها اگر ۱ ≤ x − y ≤ ۳. حداقل چند یال به این گراف اضافه کنیم تا تبدیل به گرافی اویلری شود؟

چند درخت بدون برچسب از مرتبه ۱۰ وجود دارد، به‌طوری‌که درجه هر رأس آن برابر ۱ یا ۲ یا ۵ باشد؟

چند رابطه روی مجموعه ‏ A = ۱,۲,۳ ‏ می‌توان تعریف کرد که انعکاسی (بازتابی) نباشد، اما خاصیت پادتقارنی را داشته باشد؟

به چند طریق می‌توان ۱۰ توپ یکسان را در ۱۰ جعبهٔ متمایز قرار داد، به‌طوری‌که دقیقاً ۳ جعبه خالی بماند؟

می‌خواهیم چهار زیر مجموعهٔ متمایز D ، C ، B ، A از زیر مجموعه‌های z = ۱,۲,...,n انتخاب کنیم. اگر تعداد انتخاب‌ها با شرط A ⊆ B∪C∪D برابر N₁، با شرط A∩B ⊆ C∪D برابر N₂ و با شرط A∩B∩C ⊆ D برابر N₃ باشد…

اگر a_0 = 3 و a_1 = 7 و به ازای n ≥ 0 رابطهٔ a_(n+2) - 5a_(n+1) + 6a_n = 2 برقرار باشد، حاصل عبارت a_10^2 + 4a_9 - a_9 a_11 با کدام گزینه برابر است؟

می‌خواهیم از مبدأ مختصات به خط ۱۰ = x + y برسیم. در هر گام یک واحد به طرف بالا یا یک واحد به سمت راست حرکت می‌کنیم. به چند طریق این کار امکان‌پذیر است، مشروط بر آنکه نقطهٔ پایانی روی هیچ‌یک از…

چند تصاعد حسابی به طول ۴ با قدر نسبت عدد صحیح دلخواه d ≥ ۱ در مجموعه ۱,...,۳۵ وجود دارد؟

در دانشکده‌ای چهار سایت کامپیوتری کاملاً مشابه بدون هیچ‌گونه علامت یا شماره‌ای وجود دارد. اگر هر سایت ظرفیت ۷ نفر را داشته باشد به چند روش می‌توان ۷ دانشجوی این دانشکده را در این ۴ سایت قرار داد؟…

مجموعه 0,1 ^n شامل تمام رشته‌های به طول n با نمادهای 0 و 1 را در نظر می‌گیریم. برای 1 ≤ i ≤ n-1 قرار می‌دهیم: A_i = (x_1,…,x_n) ∈ 0,1 ^n : x_i = 0, x_(i+1) = 1 مجموعه‌ی 0,1 ^۱۳۹۹ - bigcup_(۱ ≤ i ≤…

یک آموزشگاه دارای ۲۰ مربی شامل ۵ مربی سطح ۱، ۴ مربی سطح ۲، ۲ مربی سطح ۳ و ۹ مربی سطح ۴ است. به چند روش می‌توان یک گروه پنج نفره از مربی‌ها انتخاب کرد به‌طوری که از هر سطحی حداقل یک نفر در گروه حضور…

تعداد رشته‌هایی به‌طول ۲۰ با استفاده از نمادهای ۰,۱,۲,۳,۴ به‌طوری که مجموع تعداد صفرها و یک‌ها در آن زوج باشد برابر است با ....................

به چند روش می‌توان ۸ کتاب مختلف را در یک کتابخانه سه طبقه آرایش داد به‌طوری که هیچ طبقه‌ای خالی نباشد؟

کدام گزینه نادرست است؟

مقدار مجموع ∑_(i=0)^20 (-1)^iC(n, i)C(n, 20-i) چقدر است؟

کدام گزینه در مورد گراف زیر درست است؟

کدام گزینه نادرست است؟

نقیض گزاره زیر کدام است؟ به ازاء هر دو عدد α و β اگر α u+β v=۰ آنگاه α=β=۰ .

کدام گزاره درست است؟

فرض کنید P(X) گردایهٔ همهٔ زیرمجموعه‌های X باشد. برای دو مجموعهٔ A و B کدام گزینه درست نیست؟

فرض کنید N نمایش اعداد طبیعی باشد. رابطهٔ R₁ را روی N^N ، رابطهٔ R₂ را روی N و رابطهٔ R₃ را روی N×N به صورت زیر تعریف می‌کنیم: f R₁ g ⇔ max_(x∈N) f(x) = max_(x∈N) g(x) x R₂ y ⇔ x − y < ۲ (x₁,y₁) R₃…

عدد اصلی مجموعهٔ همهٔ توابع اکیداً نزولی از N به N کدام است؟ (عدد اصلی N را با ‎ ℵ_0 ‎ نمایش می‌دهیم.)

فرض کنید A یک مجموعهٔ n = ۲k عضوی باشد. تعداد زیرمجموعه‌های غیرتهی A که تعداد اعضای آن‌ها زوج باشد، کدام است؟

فرض کنید تعبیرهای زیر را برای اعداد طبیعی در نظریهٔ مجموعه‌های ZFC داشته باشیم: ∅ := ، 1 := ∘ ، 2 := ∘,1 و ........ ، ⟨ x,y⟩ := x , x,y ، در این صورت چند تا از احکام زیر درست هستند؟ الف) bigcup(n+1)…

کدام‌یک از هم‌ارزی‌های منطقی ادعا شده زیر برقرار است؟

برای اثبات کدام‌یک از احکام زیر به اصل انتخاب نیاز نیست؟

کدام‌یک از مجموعهٔ ادواتِ معرفی شده، به‌طور تابعی کامل نیست؟