توان ماتریس

نهایی: در ۷ امتحان از ۲۵، روی‌هم ۸ نمره

ایده

برای $A^{n}$ با $n$ بزرگ، اول $A^{۲}$ را حساب کن و ببین ساده می‌شود یا نه. اگر $A^{۲} = k I$ باشد:

A^{۲ m} = k^{m} I, A^{۲ m + ۱} = k^{m} A

اگر $A^{۲} = O$ باشد، همهٔ توان‌های $۲$ به بالا $O$ هستند؛ و اگر $A^{۲}$ مضربی از خود $A$ باشد، همهٔ توان‌ها مضربی از $A$ هستند.

با درنظر گرفتن $A = [۰ ۱ - ۱ ۰]$ ، ماتریس $A^{۷}$ را بیابید.

$A^{۲}$ را حساب کن؛ نتیجه مضربی از ماتریس همانی است.۰/۵ نمره
$A^{۲} = [۰ ۱ - ۱ ۰] [۰ ۱ - ۱ ۰] = [- ۱ ۰ ۰ - ۱] = - I$
$A^{۷}$ را به $A^{۲}$ بشکن و از $- I$ توان بگیر.۰/۵ نمره
$A^{۷} = (A^{۲})^{۳} \times A = (- I)^{۳} \times A = - I \times A$
$- I \times A$ را ساده کن.۰/۲۵ نمره
$- I \times A = - A = [۰ - ۱ ۱ ۰]$

۲ سؤال دیگر