فرمولریاضی و آمار ماتریس‌ها و دستگاه‌های خطی

ماتریس‌ها و دستگاه‌های معادلات خطی

ماتریس‌ها، دترمینان، معکوس و رتبه، و قاعدهٔ کاملِ تصمیم‌گیری روشه–کاپلی برای اینکه یک دستگاه خطی چه زمانی جواب یکتا، بی‌شمار جواب یا هیچ جوابی دارد — همراه با روش دومرحله‌ای (دترمینان پارامترِ ضرایب را تعیین می‌کند و ماتریس افزوده پارامترِ سمت راست را) که دستگاه‌های پارامتری کنکور بر پایهٔ آن ساخته شده‌اند.

کارت فرمول کنکور ارشد مدیریت

اهمیت

۰/۵

۱. تعریف — ماتریس و دستگاه خطی چیست

یک ماتریس (matrix) آرایه‌ای مستطیلی از اعداد است که در $m$ سطر و $n$ ستون چیده می‌شود و به صورت $A=[a_{ij}]_{m\times n}$ نوشته می‌شود؛ ماتریس چیزی بیش از یک جدول سازمان‌یافته از ضرایب نیست، اما همین سازمان‌دادن است که حل یک دستگاه بزرگ را با یک رویهٔ مکانیکی ممکن می‌کند. یک دستگاه معادلات خطی (system of linear equations) مجموعه‌ای از معادلات است که در آن هر مجهول فقط با توان اول ظاهر می‌شود و هیچ حاصل‌ضربی از مجهول‌ها وجود ندارد، و همهٔ آن در قالب یک معادلهٔ ماتریسی واحد بسته‌بندی می‌شود:

AX=B,\qquad A=\begin{bmatrix}a_{11}&\cdots&a_{1n}\\ \vdots&\ddots&\vdots\\ a_{m1}&\cdots&a_{mn}\end{bmatrix},\quad X=\begin{bmatrix}x_{1}\\ \vdots\\ x_{n}\end{bmatrix},\quad B=\begin{bmatrix}b_{1}\\ \vdots\\ b_{m}\end{bmatrix}

در اینجا $A$ همان ماتریس ضرایب (coefficient matrix) است، $X$ بردار مجهول‌ها (unknowns)، $B$ بردار مقادیر ثابت / سمت راست (constants, right-hand side)، و این دو که کنار هم چسبانده شوند، یعنی $[A\mid B]$ ، ماتریس افزوده (augmented matrix) را می‌سازند — همان شیئی که در واقع تمام اطلاعات دستگاه را با خود حمل می‌کند. پرسش محوری این مبحث هرگز « $x$ چقدر است؟» نیست، بلکه «این دستگاه چند جواب دارد — یکتا (unique)، بی‌شمار (infinitely many)، یا هیچ (none)؟» است، و پاسخ از روی دو عدد خوانده می‌شود: دترمینان (determinant) ماتریس $A$ و رتبه (rank) ماتریس $A$ در مقایسه با رتبهٔ $[A\mid B]$ .

۲. خاستگاه — پیشینه و تعلق

حذف سیستماتیک یکی از کهن‌ترین الگوریتم‌های ریاضی است: روش حذف مجهول‌ها از یک آرایهٔ جدول‌بندی‌شده از ضرایب، قرن‌ها پیش از پیدایش نمادگذاری امروزی، در متن باستانی چینیِ «نه فصل دربارهٔ هنر ریاضی» (The Nine Chapters on the Mathematical Art) آمده است. در دوران جدید، رویهٔ حذف نام کارل فریدریش گاوس (Carl Friedrich Gauss) را بر خود دارد — حذف گاوسی (Gaussian elimination) — و فرمول نسبت دترمینان‌ها برای دستگاه مربعی با دترمینان ناصفر، قاعدهٔ کرامر (Cramer's rule) است که ریاضی‌دان سوئیسی گابریل کرامر (Gabriel Cramer) در قرن هجدهم منتشر کرد. واژهٔ ماتریس و جبر ماتریس‌ها به‌عنوان اشیائی مستقل — جمع، ضرب، معکوس — از مکتب انگلیسیِ قرن نوزدهم می‌آید: جیمز جوزف سیلوستر (James Joseph Sylvester) (که این اصطلاح را ابداع کرد) و آرتور کیلی (Arthur Cayley) (که رساله‌ای نوشت و جبر ماتریسی را بنیان گذاشت). معیار حل‌پذیری بر حسب رتبه‌ها همان قضیهٔ روشه–کاپلی (Rouché–Capelli theorem) است که در برخی سنت‌ها با نام قضیهٔ کرونکر–کاپلی (Kronecker–Capelli) شناخته می‌شود.

مسئله‌ای که این دستگاه مفهومی برای حل آن ابداع شد، مسئلهٔ قیدهای هم‌زمان (simultaneous constraints) است: چند کمیت که نمی‌توان آن‌ها را یکی‌یکی تعیین کرد، چون هر معادله آن‌ها را به هم گره می‌زند. این دقیقاً شکل بیشتر مسائل کمّی مدیریت است — ترکیب تولیدی که باید هم‌زمان قید نیروی کار و قید مواد و قید تقاضا را برآورده کند. دو کاربرد بعدی برای داوطلب مدیریت اهمیت دارند:

الگوی داده–ستانده لئونتیف (Leontief input–output model) از واسیلی لئونتیف (Wassily Leontief)، که در آن سطوح تولید بخش‌های وابسته به هم، جواب $(I-A)X=D$ هستند؛ و
رگرسیون چندگانه (multiple regression)، که برآورد ضرایب آن جواب معادلات نرمال $(X^{\top}X)\hat{\beta}=X^{\top}y$ است — دستگاهی خطی که تنها هنگامی جواب یکتا دارد که $X^{\top}X$ معکوس‌پذیر باشد، و دقیقاً به همین دلیل است که هم‌خطی کامل (perfect multicollinearity) برآورد را نابود می‌کند.

۳. ساختار — خودِ ابزار

۳.۱ عملیات ماتریسی — عمل‌ها

عمل	قاعده	شرط / هشدار
جمع و تفریق (addition)	درایه‌به‌درایه	هر دو ماتریس باید دقیقاً هم‌اندازه باشند
ضرب اسکالر (scalar multiple)	$kA=[k\,a_{ij}]$	تک‌تک درایه‌ها ضرب می‌شوند
ضرب ماتریسی (matrix product)	$(AB)_{ij}=\sum_{k} a_{ik}b_{kj}$	ستون‌های $A$ = سطرهای $B$ ؛ $A_{m\times p}B_{p\times n}=C_{m\times n}$
ترانهاده (transpose)	$(A^{\top})_{ij}=a_{ji}$	$(AB)^{\top}=B^{\top}A^{\top}$ — ترتیب معکوس می‌شود
معکوس (inverse)	$AA^{-1}=A^{-1}A=I$	مربعی و $\det A\neq 0$ ؛ $(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}$

ضرب ماتریسی شرکت‌پذیر و پخش‌پذیر است اما جابه‌جایی‌پذیر نیست: به‌طور کلی $AB\neq BA$ ، و از $AB=0$ نتیجه نمی‌شود که $A=0$ یا $B=0$ باشد.

۳.۲ دترمینان — the determinant

فقط برای ماتریس مربعی تعریف می‌شود. عددی یگانه است که به یک پرسش پاسخ می‌دهد: آیا $A$ معکوس‌پذیر است؟

\begin{vmatrix}a&b\\ c&d\end{vmatrix}=ad-bc

برای حالت $3\times 3$ ، حول هر سطر یا ستون دلخواه با کهاد و همسازه (بسط لاپلاس) بسط دهید و علامت‌ها را به شکل شطرنجی $\begin{smallmatrix}+&-&+\\ -&+&-\\ +&-&+\end{smallmatrix}$ یک‌درمیان تغییر دهید:

\det A=a_{11}\begin{vmatrix}a_{22}&a_{23}\\ a_{32}&a_{33}\end{vmatrix} -a_{12}\begin{vmatrix}a_{21}&a_{23}\\ a_{31}&a_{33}\end{vmatrix} +a_{13}\begin{vmatrix}a_{21}&a_{22}\\ a_{31}&a_{32}\end{vmatrix}

سطر یا ستونی را انتخاب کنید که بیشترین صفر را دارد — هر صفر یک کهادِ $2\times2$ کامل را حذف می‌کند. ویژگی‌های زیر از خودِ فرمول ارزشمندترند، چون هرکدام می‌تواند یک محاسبهٔ کامل را صرفه‌جویی کند:

ویژگی	بیان	چرا وقت صرفه‌جویی می‌کند
زیر مثلثی (triangular)	$\det=$ حاصل‌ضرب درایه‌های قطر اصلی	به فرم پلکانی ببرید و فقط ضرب کنید
سطر یا ستون صفر	یک سطر یا ستون صفر $\Rightarrow\det=0$	پاسخ آنی
دو سطر مساوی یا متناسب	دو سطر متناسب $\Rightarrow\det=0$	وابستگی را با یک نگاه تشخیص دهید
تعویض دو سطر (swap)	$\det$ تغییر علامت می‌دهد	هنگام حذف، علامت را دنبال کنید
ضرب یک سطر در $k$	$\det$ در $k$ ضرب می‌شود	اما برای $n\times n$ داریم $\det(kA)=k^{n}\det A$
$R_i\to R_i+\lambda R_j$	$\det$ تغییر نمی‌کند	عمل کارگشا — استفاده از آن رایگان است
ترانهاده	$\det(A^{\top})=\det A$	هر ویژگی سطری، ویژگی ستونی هم هست
ضرب	$\det(AB)=\det A\cdot\det B$	اما $\det(A+B)\neq\det A+\det B$
معکوس	$\det(A^{-1})=\dfrac{1}{\det A}$	از $\det(AA^{-1})=\det I=1$ نتیجه می‌شود

۳.۳ معکوس — the inverse

A^{-1}=\frac{1}{\det A}\,\operatorname{adj}(A),\qquad \operatorname{adj}(A)=\bigl[C_{ij}\bigr]^{\top}\ \ \text{(transpose of the cofactor matrix)}

و میان‌بُر حالت $2\times2$ ارزش آن را دارد که مستقیماً حفظ شود — درایه‌های قطر اصلی را جابه‌جا کنید، درایه‌های غیرقطری را قرینه کنید و بر دترمینان تقسیم کنید:

A=\begin{bmatrix}a&b\\ c&d\end{bmatrix}\ \Longrightarrow\ A^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\begin{bmatrix}d&-b\\ -c&a\end{bmatrix}

ماتریسی که $\det A=0$ دارد منفرد / تکین (singular) است و هیچ معکوسی ندارد؛ $\det A\neq 0$ آن را نامنفرد (non-singular, invertible) می‌کند. وقتی معکوس وجود داشته باشد، دستگاه در یک حرکت حل می‌شود: $X=A^{-1}B$ .

۳.۴ رتبه — the rank

رتبهٔ ماتریس (rank) هر ماتریسی — مربعی یا غیرمربعی — برابر است با تعداد سطرهای ناصفر پس از تبدیل به فرم پلکانی، یا هم‌ارز با آن، اندازهٔ بزرگ‌ترین کهادِ ناصفر، یا هم‌ارز با آن، تعداد سطرهای مستقل خطی (linearly independent) (یا ستون‌ها — این دو شمارش همیشه با هم برابرند). رتبه ابزار عام است؛ دترمینان حالت خاصی است که فقط برای ماتریس‌های مربعی کار می‌کند. همواره $\operatorname{rank}(A)\le\min(m,n)$ و $\operatorname{rank}(A)\le\operatorname{rank}([A\mid B])\le\operatorname{rank}(A)+1$ .

۳.۵ قضیهٔ روشه–کاپلی — جدول حل‌پذیری

برای $AX=B$ با $n$ مجهول، بنویسید $r=\operatorname{rank}(A)$ و $r'=\operatorname{rank}([A\mid B])$ :

شرط	مجموعهٔ جواب	فارسی	تصویر هندسی (۳ صفحه)
$r=r'=n$	دقیقاً یک جواب	جواب یکتا	صفحه‌ها در یک نقطهٔ واحد یکدیگر را قطع می‌کنند
$r=r'<n$	بی‌شمار جواب، با $n-r$ پارامتر آزاد	بی‌شمار جواب	در یک خط اشتراک دارند ( $r=2$ ) یا بر هم منطبق‌اند ( $r=1$ )
$r<r'$	بدون جواب	بدون جواب / ناسازگار	صفحه‌های موازی، یا یک «منشور» مثلثی بدون نقطهٔ مشترک

برای دستگاه مربعی، سطر نخست به همان میان‌بُر آشنا فرو می‌کاهد:

\det A\neq 0\ \Longleftrightarrow\ \text{unique solution}\ \ X=A^{-1}B,

و در نتیجه

\boxed{\ \text{«بی‌شمار جواب» or «بدون جواب»}\ \Longrightarrow\ \det A=0\ }

— دترمینان به‌تنهایی هرگز نمی‌تواند این دو را از هم تشخیص دهد. به این نکته‌های شمارشی هم توجه کنید: اگر تعداد معادله‌ها کمتر از تعداد مجهول‌ها باشد، جواب یکتا ناممکن است (دستگاه یا ناسازگار است یا بی‌شمار جواب دارد)؛ و $n-r$ همان درجهٔ آزادی (تعداد متغیرهای آزاد) خانوادهٔ جواب‌هاست.

۳.۶ دستگاه همگن — the homogeneous system

وقتی $B=0$ باشد، دستگاه $AX=0$ همگن (homogeneous) است. چنین دستگاهی هرگز نمی‌تواند ناسازگار باشد: $X=0$ ، یعنی جواب بدیهی (trivial solution)، همیشه برقرار است، پس به‌طور خودکار $r=r'$ . تنها پرسش این است که آیا جواب غیربدیهی (non-trivial solution) وجود دارد یا نه:

AX=0\ \text{has a non-trivial solution}\iff \operatorname{rank}(A)<n\iff \det A=0\ \ (\text{square case})

این همان شکل استاندارد پرسش «به ازای کدام مقدار پارامتر، بردارها/سطرها وابستهٔ خطی (linearly dependent) می‌شوند؟» و نیز شرط مقدار ویژه $\det(A-\lambda I)=0$ است.

۳.۷ قاعدهٔ کرامر — Cramer's rule

تنها زمانی معتبر است که $A$ مربعی و $\det A\neq 0$ باشد. با جایگزینی ستون $i$ -ام ماتریس $A$ با بردار ثابت $B$ ، ماتریس $A_i$ به دست می‌آید و

x_{i}=\frac{\det A_{i}}{\det A},\qquad i=1,\dots,n

این سریع‌ترین راه است وقتی سؤال یک مجهول از میان سه مجهول را می‌خواهد؛ اما برای حالت‌های تباهیده بی‌فایده است، چون وقتی $\det A=0$ باشد این نسبت تعریف‌نشده است و هیچ چیزی دربارهٔ اینکه پاسخ «بی‌شمار» است یا «بدون جواب» نمی‌گوید.

۳.۸ حذف گاوسی — elimination

سه عملیات سطری مقدماتی (elementary row operations) مجازند و هیچ‌کدام مجموعهٔ جواب را تغییر نمی‌دهند:

تعویض دو سطر، $R_i\leftrightarrow R_j$ ؛
ضرب یک سطر در اسکالر ناصفر، $R_i\to kR_i$ ، $k\neq 0$ ؛
افزودن مضربی از یک سطر به سطر دیگر، $R_i\to R_i+\lambda R_j$ .

این عملیات را روی ماتریس افزوده اعمال کنید تا به فرم پلکانی (row-echelon form) برسد، سپس جای‌گذاری پس‌رو کنید. ادامهٔ کار تا فرم پلکانی کاهش‌یافته (reduced row-echelon form) جواب را مستقیماً می‌خواند، و اعمال همین عملیات روی $[A\mid I]$ ماتریس $[I\mid A^{-1}]$ را تولید می‌کند.

۴. کاربرد — چگونه به کار ببندیم

رویهٔ تصمیم‌گیری برای دستگاه مربعی پارامتردار. تقریباً هر سؤال کنکوری از این خانواده، سؤالی دومرحله‌ای است و این دو مرحله به دو پرسش متفاوت پاسخ می‌دهند:

مرحلهٔ ۱ — ماتریس ضرایب. $\det A$ را بر حسب پارامتر محاسبه و برابر صفر قرار دهید. این تنها دروازه‌ای است که حالت تباهیده را راه می‌دهد: هر مقدار پارامتر که $\det A\neq 0$ بدهد، برای هر سمت راستی جواب یکتا می‌دهد و هرگاه صورت سؤال «بی‌شمار جواب» یا «بدون جواب» بخواهد، باید کنار گذاشته شود.
مرحلهٔ ۲ — ماتریس افزوده. مقدار پارامتر به‌دست‌آمده از مرحلهٔ ۱ را جای‌گذاری کنید و $[A\mid B]$ $[A ∣ B]$ را آن‌قدر ساده کنید تا سطری از صفرها در سمت چپ ظاهر شود. آن سطر اکنون $0=c$ $0 = c$ خوانده می‌شود:
- $c=0$ $\Rightarrow$ $r=r'<n$ $\Rightarrow$ بی‌شمار جواب؛
- $c\neq 0$ $\Rightarrow$ $r<r'$ $\Rightarrow$ بدون جواب.

میان‌بُر یک‌خطی. اگر در مقدار بحرانی پارامتر، یکی از سطرهای $A$ ترکیبی از سطرهای دیگر باشد، مثلاً $R_3=\alpha R_1+\beta R_2$ ، آنگاه سازگاری ایجاب می‌کند که همان ترکیب در سمت راست نیز برقرار باشد: $b_3=\alpha b_1+\beta b_2$ . همین یک معادله، پارامترِ سمت ثابت را بدون هیچ حذفی تعیین می‌کند.

خواندن هر بخش.

آنچه به شما داده‌اند	آنچه می‌خواهید	ابزار
$A$ مربعی و عددی	یک مجهول	کرامر، $x_i=\det A_i/\det A$
$A$ مربعی و عددی، همهٔ مجهول‌ها	جواب کامل	حذف گاوسی (با دست سریع‌تر از محاسبهٔ $A^{-1}$ )
یک پارامتر در ضرایب	تعداد جواب‌ها	$\det A=0$ ، سپس رتبهٔ $[A\mid B]$
غیرمربعی، یا $m\neq n$	هر چیزی	فقط رتبه‌ها — دترمینان اصلاً وجود ندارد
$B=0$	جواب غیربدیهی؟	$\det A=0$
همان $A$ با چند $B$ متفاوت	حل‌های مکرر	یک‌بار $A^{-1}$ را حساب کنید، سپس هر بار $X=A^{-1}B$

۵. مثال کاربردی — یک مثال کوچک حل‌شده

(الف) یک تحلیل پارامتری کامل. دستگاه زیر را به ازای همهٔ مقادیر $k$ و $m$ دسته‌بندی کنید:

\begin{cases} x+y+z=6\\ x+2y+3z=14\\ x+3y+kz=m \end{cases}

مرحلهٔ ۱ — دترمینان.

\det A=\begin{vmatrix}1&1&1\\ 1&2&3\\ 1&3&k\end{vmatrix} =1(2k-9)-1(k-3)+1(3-2)=2k-9-k+3+1=k-5

پس $\det A=0\iff k=5$ ؛ و به ازای هر $k\neq 5$ دستگاه، صرف‌نظر از مقدار $m$ ، جواب یکتا دارد.

مرحلهٔ ۲ — سازگاری در $k=5$ . ماتریس افزوده را ساده می‌کنیم:

\left[\begin{array}{ccc|c}1&1&1&6\\ 1&2&3&14\\ 1&3&5&m\end{array}\right] \xrightarrow[\;R_3\to R_3-R_1\;]{\;R_2\to R_2-R_1\;} \left[\begin{array}{ccc|c}1&1&1&6\\ 0&1&2&8\\ 0&2&4&m-6\end{array}\right] \xrightarrow{\;R_3\to R_3-2R_2\;} \left[\begin{array}{ccc|c}1&1&1&6\\ 0&1&2&8\\ 0&0&0&m-22\end{array}\right]

سطر آخر $0=m-22$ است، بنابراین

k=5,\ m=22\Rightarrow\text{بی‌شمار جواب};\qquad k=5,\ m\neq 22\Rightarrow\text{بدون جواب};\qquad k\neq 5\Rightarrow\text{جواب یکتا}

میان‌بُر همین را تأیید می‌کند: در $k=5$ سطر سوم برابر $2R_2-R_1$ است، چون $2(1,2,3)-(1,1,1)=(1,3,5)$ ، پس $m=2(14)-6=22$ .

خانوادهٔ بی‌شمار جواب. با $k=5,\ m=22$ داریم رتبه $=2$ و $n=3$ ، پس $3-2=1$ متغیر آزاد وجود دارد. با قرار دادن $z=t$ : $y=8-2t$ و $x=6-y-z=t-2$ ، یعنی

(x,y,z)=(t-2,\;8-2t,\;t),\qquad t\in\mathbb{R}

که به ازای هر $t$ در هر سه معادله صدق می‌کند — یک خط از جواب‌ها، نه یک نقطه.

(ب) حالت یکتا با قاعدهٔ کرامر. فرض کنید $k=6,\ m=24$ ، پس $\det A=6-5=1$ :

x=\frac{1}{1}\begin{vmatrix}6&1&1\\ 14&2&3\\ 24&3&6\end{vmatrix}=6(3)-1(12)+1(-6)=0,\qquad y=\begin{vmatrix}1&6&1\\ 1&14&3\\ 1&24&6\end{vmatrix}=12-18+10=4,\qquad z=\begin{vmatrix}1&1&6\\ 1&2&14\\ 1&3&24\end{vmatrix}=6-10+6=2

که $(x,y,z)=(0,4,2)$ می‌دهد؛ وارسی در معادلهٔ اول: $0+4+2=6$ ✓.

(ج) یک پارامتر در دستگاه همگن. به ازای کدام $\lambda$ دستگاه $\begin{cases}2x+\lambda y=0\\ 3x+6y=0\end{cases}$ جوابی غیر از $x=y=0$ دارد؟ تنها وقتی $\det=12-3\lambda=0$ ، یعنی $\lambda=4$ — و آنگاه دو معادله متناسب‌اند و هر نقطهٔ خط $x=-2y$ یک جواب است. به ازای $\lambda\neq 4$ تنها جواب، جواب بدیهی است.

(د) یک قرائت مدیریتی. دو محصول، ساعت ماشین و ساعت نیروی کار مصرف می‌کنند؛ دو معادلهٔ ظرفیت یک دستگاه $2\times2$ می‌سازند. $\det A\neq 0$ یعنی این دو منبع واقعاً میان دو محصول تمایز می‌گذارند و برنامهٔ تولید به‌طور یکتا تعیین می‌شود؛ $\det A=0$ یعنی دو قید متناسب‌اند — اطلاعات یکسانی حمل می‌کنند — و آنگاه یا ظرفیت‌ها با آن نسبت سازگارند (بی‌شمار برنامهٔ مجاز، به‌طوری که معیار دیگری مانند سود باید از میان آن‌ها انتخاب کند) یا با آن در تناقض‌اند (اصلاً هیچ برنامهٔ شدنی وجود ندارد).

۶. اشتباه نشود با…

زوج مفاهیم	مورد سمت چپ	مورد سمت راست	وجه تمایز
بی‌شمار جواب vs بدون جواب	$r=r'<n$	$r<r'$	هر دو نیازمند $\det A=0$ هستند؛ فقط ماتریس افزوده آن‌ها را جدا می‌کند — سمت راستِ سطرِ صفر
دترمینان vs رتبه	یک عدد، فقط برای ماتریس مربعی	یک شمارش، برای هر $m\times n$ تعریف‌شده	$\det A=0$ می‌گوید «رتبه $<n$ » اما نمی‌گوید چقدر کمتر؛ رتبه تعداد متغیرهای آزاد را می‌دهد
ماتریس ضرایب vs ماتریس افزوده	$A$ — دربارهٔ یکتایی تصمیم می‌گیرد	$[A\mid B]$ — دربارهٔ وجود تصمیم می‌گیرد	پارامتر در ضرایب یک پرسش مرحلهٔ ۱ است؛ پارامتر در مقادیر ثابت یک پرسش مرحلهٔ ۲
دستگاه همگن vs ناهمگن	$B=0$ : هرگز ناسازگار نیست	$B\neq 0$ : ممکن است ناسازگار باشد	در دستگاه همگن پرسش «بدیهی در برابر غیربدیهی» است، نه «هیچ در برابر برخی»
قاعدهٔ کرامر vs حذف گاوسی	به $A$ مربعی و $\det A\neq 0$ نیاز دارد	همیشه و برای هر شکلی کاربردپذیر است	کرامر دقیقاً در همان حالت‌های تباهیده‌ای ساکت است که کنکور عاشق آن‌هاست
منفرد (singular) vs نامنفرد	$\det A=0$ ، بدون معکوس، سطرهای وابسته	$\det A\neq 0$ ، معکوس‌پذیر	«تکین‌بودن» ویژگی خود ماتریس است، نه ویژگی سمت راست دستگاه
الحاقی (adjugate) vs معکوس	$\operatorname{adj}A$ — همیشه وجود دارد	$A^{-1}=\operatorname{adj}A/\det A$	فراموش‌کردن تقسیم بر $\det A$ خطای کلاسیک محاسبهٔ معکوس است
$\det(AB)$ vs $\det(A+B)$	$=\det A\cdot\det B$ — همیشه درست	هیچ فرمول کلی ندارد	قاعدهٔ ضرب، وسوسهٔ یک قاعدهٔ جمعِ نادرست را ایجاد می‌کند
$\det(kA)$ vs «ضرب یک سطر در $k$ »	$=k^{n}\det A$	$\det$ را فقط یک‌بار در $k$ ضرب می‌کند	مقیاس‌کردن کل ماتریس، هر $n$ سطر را مقیاس می‌کند
$R_i\to R_i+\lambda R_j$ vs $R_i\leftrightarrow R_j$	$\det$ را بدون تغییر می‌گذارد	علامت $\det$ را عوض می‌کند	هیچ‌کدام مجموعهٔ جواب را تغییر نمی‌دهند — فقط دفترداری دترمینان را تغییر می‌دهند
$AB$ vs $BA$	وقتی تعریف می‌شود که ستون‌های $(A)=$ سطرهای $(B)$	ممکن است اصلاً تعریف‌شده نباشد	ضرب ماتریسی جابه‌جایی‌پذیر نیست؛ $(AB)^{\top}=B^{\top}A^{\top}$
معادلات بیشتر از مجهول‌ها vs کمتر	$m>n$ : غالباً ناسازگار، اما ممکن است سازگار هم باشد	$m<n$ : هرگز یکتا نیست — یا هیچ یا بی‌شمار	اول بشمارید: همین می‌تواند پیش از هر محاسبه‌ای یک گزینه را حذف کند
استقلال خطی vs یکتایی جواب	سطرها/ستون‌ها مستقل‌اند	$r=n$	برای دستگاه مربعی این دو یکی می‌شوند؛ برای $m\neq n$ نه — همیشه با رتبه استدلال کنید

نکتهٔ کنکوری: «بی‌شمار جواب» و «بدون جواب» دوقلوهایی زادهٔ یک دترمینان‌اند. هرگاه صورت سؤال یک پارامتر را میان ضرایب و پارامتری دیگر را میان مقادیر ثابت بگذارد، ساختار پاسخ از پیش تعیین‌شده است: دترمینان پارامترِ ضرایب را میخکوب می‌کند (و بی‌درنگ هر گزینه‌ای با مقدار نادرست را حذف می‌کند — معمولاً نیمی از گزینه‌ها، که زیر نمرهٔ منفی تعیین‌کننده است)، و سطر آخر حذف گاوسی، یعنی $0=c$ ، پارامترِ سمت ثابت را میخکوب می‌کند. توقف پس از دترمینان، دو گزینه را به یک اندازه درست جلوه می‌دهد؛ و همین تلهٔ اصلی است که سؤال حول آن ساخته شده است. همچنین پیش از محاسبهٔ هر دترمینان $3\times3$ ، دنبال سطری بگردید که آشکارا ترکیبی از دو سطر دیگر است — اگر $R_3=\alpha R_1+\beta R_2$ باشد، دترمینان با یک نگاه صفر است و شرط سازگاری صرفاً $b_3=\alpha b_1+\beta b_2$ خواهد بود.

فرمول‌های کلیدی

Matrix form of a linear system

AX=B,\qquad [A\mid B]=\text{augmented matrix}

A is the coefficient matrix, X the unknowns, B the constants; the augmented matrix carries all the information about solvability.

2×2 determinant

\begin{vmatrix}a&b\\ c&d\end{vmatrix}=ad-bc

The basic determinant; zero exactly when the two rows are proportional.

3×3 cofactor (Laplace) expansion

\det A=a_{11}\begin{vmatrix}a_{22}&a_{23}\\ a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}-a_{12}\begin{vmatrix}a_{21}&a_{23}\\ a_{31}&a_{33}\end{vmatrix}+a_{13}\begin{vmatrix}a_{21}&a_{22}\\ a_{31}&a_{32}\end{vmatrix}

Expand along the row or column with the most zeros; signs alternate in a checkerboard.

Determinant properties

\det(A^{\top})=\det A,\quad \det(AB)=\det A\,\det B,\quad \det(kA)=k^{n}\det A,\quad \det(A^{-1})=\frac{1}{\det A}

There is NO rule for det(A+B). Row swap flips the sign; adding a multiple of one row to another leaves the determinant unchanged.

Inverse via the adjugate

A^{-1}=\frac{1}{\det A}\operatorname{adj}(A),\qquad \begin{bmatrix}a&b\\ c&d\end{bmatrix}^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\begin{bmatrix}d&-b\\ -c&a\end{bmatrix}

Exists only for a square, non-singular matrix; then X = A^{-1}B solves the system in one stroke.

Rouché–Capelli solvability criterion

r=\operatorname{rank}(A),\ r'=\operatorname{rank}([A\mid B]):\quad r=r'=n\Rightarrow\text{unique};\quad r=r'<n\Rightarrow\text{infinitely many};\quad r<r'\Rightarrow\text{no solution}

The master rule; the number of free variables in the infinite case is n − r.

Square-system shortcut

\det A\neq 0\iff \text{unique solution } X=A^{-1}B;\qquad \text{(infinitely many OR none)}\Rightarrow \det A=0

The determinant alone can never separate «بی‌شمار جواب» from «بدون جواب» — the augmented matrix does that.

Cramer's rule

x_{i}=\frac{\det A_{i}}{\det A},\qquad \det A\neq 0

A_i is A with its i-th column replaced by B. Fastest when only one unknown is asked; useless when det A = 0.

Homogeneous system: non-trivial solutions

AX=0\ \text{has a non-trivial solution}\iff \operatorname{rank}(A)<n\iff \det A=0

A homogeneous system is never inconsistent — the trivial solution X = 0 always exists.

Consistency of a dependent row

R_{3}=\alpha R_{1}+\beta R_{2}\ \Longrightarrow\ \det A=0\ \text{and consistency requires}\ b_{3}=\alpha b_{1}+\beta b_{2}

The one-line shortcut for parameterized systems: the dependency of the rows must extend to the right-hand side.

Leontief input–output system

(I-A)X=D\ \Longrightarrow\ X=(I-A)^{-1}D

The managerial application: sector outputs X that satisfy interdependent demand D.

#linear-systems#determinant#rank#gaussian-elimination#cramers-rule#matrix-inverse#consistency

کارت‌های مرتبط

فرمولریاضی و آمار

جعبه‌ابزار حسابان: توابع، حد، مشتق، بهینه‌سازی و مساحت

جعبه‌ابزار حسابان تک‌متغیره در زیرآزمون ریاضی و آمار — حد و مجانب، پیوستگی و مشتق‌پذیری در نقطهٔ اتصال، قواعد مشتق‌گیری، تحلیل علامت برای یکنوایی، اکسترمم‌ها و تقعر، بهینه‌سازی با تحلیل نهایی (مارژینال)، تکنیک‌های انتگرال‌گیری، و مشتق‌های جزئی همراه با قضیهٔ اویلر. محدودیت‌های هم‌زمان دامنه، ترکیب کمینه/بیشینه و جزء اعشاری، شمول انتهاهای برد و مساحت هندسی در برابر انتگرال علامت‌دار را نیز پوشش می‌دهد. بهینه‌سازی قدرمطلقی با نقاط شکست، شیب و بررسی دنباله‌ها، و وارون‌سازی نمایی سینوس هذلولوی را نیز آموزش می‌دهد.

calculuslimits-asymptotesderivativesoptimization

مفهومتحقیق در عملیات

فرموله‌کردن مسئلهٔ برنامه‌ریزی خطی و حالات خاص آن

چگونه یک بند نثرِ مدیریتی به متغیرهای تصمیم، یک تابع هدف خطی و مجموعه‌ای از محدودیت‌های خطی تبدیل می‌شود — شامل الگوهای کهن‌الگویی که کنکور دوست دارد (گلوگاه مونتاژ/ماکسی‌مین، سیاست‌های نسبتی و درصدی، متعادل‌سازی بار کاری با قدرمطلق اختلاف) و خطی‌سازی آن‌ها — و چگونه چهار حالت خاصِ مدلِ نهایی را نام ببریم: جواب بهینهٔ چندگانه، تبهگنی (موقت در برابر بهینه)، بی‌کرانی و نبود جواب موجه. پوشش شیفت با اندیس زمانی، افق چرخه‌ای و تصریح مفروضات شروع و پوشش را نیز دربر می‌گیرد.

lp-formulationobjective-functionconstraint-modellingmaximin

الگوریتمتحقیق در عملیات

روش سیمپلکس و شیوهٔ خواندن جدول سیمپلکس

الگوریتم نقطهٔ گوشه‌ای برنامه‌ریزی خطی و — مهم‌تر از همه — شیوهٔ خواندن جدولی که تولید می‌کند: فرم استاندارد و متغیرهای کمبود/مازاد/مصنوعی، پایه و سطر z_j - c_j، قواعد ورود/خروج، علائم حالت‌های خاص، و خواندن وارونهٔ جدول که قیمت‌های سایه‌ای، هزینه‌های کاهش‌یافته، نرخ‌های جانشینی و حتی تابع هدف اولیه را بازیابی می‌کند. همچنین تبدیل با بخش منفی مشترک، بازیابی متغیرهای اولیهٔ علامت‌دار و تغییر سمت راست در عمل محوری را پوشش می‌دهد.

simplex-methodsimplex-tableauunrestricted-variablesshared-negative-part

سوالات تمرینی

ریاضی و آمارمتوسطماتریس‌ها و دستگاه‌های خطیکنکور ارشد مدیریت ۱۴۰۵ — سؤال ۴۹

به ازای کدام مقدار a و b دستگاه معادلات خطی زیر دارای بی‌شمار جواب است؟ x+y+2z=5; ax+2y+z=1; 3x+4y+5z=b

ریاضی و آمارمتوسطماتریس‌ها و دستگاه‌های خطیکنکور ارشد مدیریت ۱۴۰۳ — سؤال ۴۱

اگر A و B ماتریس‌های معکوس‌پذیر باشند، آنگاه حاصل عبارت A^(-1)(A^(-1)+B^(-1))^(-1)B^(-1) ، کدام است؟

ریاضی و آمارسختماتریس‌ها و دستگاه‌های خطیکنکور ارشد مدیریت ۱۴۰۳ — سؤال ۴۴

اگر f(x+۲)+xf(۲-x)=۱ باشد، آنگاه f(x) کدام است؟

ریاضی و آمارآسانماتریس‌ها و دستگاه‌های خطیکنکور ارشد مدیریت ۱۴۰۲ — سؤال ۴۱

ماتریس A= ۳, -۱, ۰, β; ۰, ۴, α, ۵; ۰, ۰, -۱, -۱; ۰, ۰, ۰, ۷ را در نظر بگیرید. به‌ازای چه مقادیری از α و β ، دستگاه AX= a_۱; a_۲; a_۳; a_۴ جواب منحصربه‌فرد دارد؟

ریاضی و آمارمتوسطماتریس‌ها و دستگاه‌های خطیکنکور ارشد مدیریت ۱۴۰۰ — سؤال ۴۷

اگر f(x)= x, x^۲, x^۳; ۱, ۲x, ۳x^۲; ۰, ۲, ۶x باشد، مقدار f^′(۲) کدام است؟

ریاضی و آمارمتوسطماتریس‌ها و دستگاه‌های خطیکنکور ارشد مدیریت ۱۴۰۰ — سؤال ۵۲

فرض کنید دستگاه‌های معادلات خطی زیر جواب یکسان داشته باشند. مقدار a+b کدام است؟ ax+۲y+z=-۷; ۳x-y+۲z=-۱; ۵x+y-z=۸ ۲x+y-۵z=۹; bx+۳z=۲۱; y-۲z=۴

ریاضی و آمارآسانماتریس‌ها و دستگاه‌های خطیکنکور ارشد مدیریت ۱۴۰۰ — سؤال ۵۳

اگر A= ۲, ۰, ۰, ۰; ۱, ۲, ۰, ۰; ۰, ۱, ۲, ۰; ۰, ۰, ۱, ۲ و B=(b_ij) معکوس ماتریس A باشد، مقدار b_۲۱ کدام است؟