برنامه‌ریزی جامع تولید، MRP و قواعد توالی عملیات

۱. تعریف — این چیست

برنامه‌ریزی جامع تولید (aggregate planning / برنامه‌ریزی کلان تولید)، برنامه‌ریزی مواد مورد نیاز — MRP (material requirements planning) و قواعد توالی عملیات و اولویت‌بندی (sequencing / priority rules) سه پلهٔ پیاپی سلسله‌مراتب برنامه‌ریزی تولید (production-planning hierarchy) هستند و به این دلیل با هم مطالعه می‌شوند که خروجی هر پله ورودی پلهٔ بعدی است. برنامه‌ریزی جامع تصمیمی میان‌مدت است — در افقی حدود ۳ تا ۱۸ ماه، پیش‌بینی تقاضا (forecast of demand) را با ظرفیت (capacity) کلی کارخانه بر حسب یک واحد تجمیعی محصول تطبیق می‌دهد و تصمیم می‌گیرد چه بخشی از نوسان تقاضا با موجودی (inventory) و چه بخشی با نیروی کار، اضافه‌کاری و پیمانکاری فرعی (workforce, overtime and subcontracting) جذب شود. آن برنامهٔ جامع سپس به برنامهٔ تولید اصلی — MPS (master production schedule) یعنی مقدار مشخص هر محصول نهایی در هر دوره تفکیک می‌شود؛ آنگاه MRP این MPS را از طریق درخت محصول / فهرست مواد — BOM (bill of material) منفجر (explode) می‌کند تا بگوید کدام قطعه، به چه مقدار و چه زمانی باید سفارش داده شود؛ و سرانجام توالی عملیات در کف کارگاه تعیین می‌کند کارهای صادرشده به چه ترتیبی روی هر ماشین اجرا شوند. در هر گام افق کوتاه‌تر و واحد تحلیل ریزتر می‌شود: از «تُن محصول در ماه» تا «کدام سفارش اول روی دستگاه برود».

۲. خاستگاه — هر بخش از کجا آمده است

برنامه‌ریزی جامع از کارهای میانهٔ قرن بیستم دربارهٔ مسئلهٔ برنامه‌ریزی سلسله‌مراتبی تولید در تحقیق در عملیات برآمده و در همهٔ متون استاندارد مدیریت تولید و عملیات به‌عنوان پل میان تصمیم ظرفیتی بلندمدت و زمان‌بندی کوتاه‌مدت آموزش داده می‌شود؛ دو استراتژی خالصی که در برابر هم می‌گذارد — تولید ثابت / یکنواخت (level) و تعقیب تقاضا (chase) — قراردادهای همین ادبیات‌اند نه ابداع یک نویسندهٔ خاص.

MRP تنها بخشی از این کارت است که مالک مشخصی دارد. این تکنیک تنها زمانی ممکن شد که رایانه‌ها توانستند درخت محصول را نگه دارند و بارها منفجر کنند، و جوزف اورلیکی (Joseph Orlicky) آن را در کتاب Material Requirements Planning (۱۹۷۵) مدوّن کرد و همراه الیور وایت (Oliver Wight) و جورج پلاسل (George Plossl) در «نهضت MRP» انجمن APICS ترویج داد. بینش بنیادین اورلیکی همان تمایزی است که هنوز هویت این تکنیک را می‌سازد: تقاضای وابسته (dependent demand) — تقاضای یک قطعه که از تقاضای والد آن محاسبه می‌شود — هرگز نباید مانند تقاضای مستقل (independent demand) پیش‌بینی شود. منطق نقطهٔ سفارش مجدد، قطعه را پس از مصرف‌شدن دوباره سفارش می‌دهد؛ MRP آن را پیش از مصرف سفارش می‌دهد، چون برنامهٔ والد از پیش معلوم است. این تکنیک بعدها به MRP حلقه‌بسته (closed-loop MRP)، سپس MRP II — برنامه‌ریزی منابع تولید (manufacturing resource planning) که بازخورد ظرفیت، مالی و بازاریابی را می‌افزاید، و سرانجام به ERP (برنامه‌ریزی منابع سازمان) گسترش یافت.

قواعد توالی از نظریهٔ زمان‌بندی تک‌ماشینه می‌آیند. نتایجی که معمولاً به این افراد نسبت داده می‌شوند عبارت‌اند از: SPT میانگین زمان در سیستم را کمینه می‌کند (قاعدهٔ اسمیت)، EDD بیشینهٔ دیرکرد را کمینه می‌کند (قاعدهٔ جکسون)، الگوریتم مور (رویهٔ مور–هاجسون) تعداد کارهای دیرکرددار را کمینه می‌کند، و قاعدهٔ جانسون زمان تکمیل کل $n$ کار روی دو ماشین با ترتیب یکسان را کمینه می‌کند. آنچه کنکور واقعاً پاداش می‌دهد نه نام صاحب قاعده، بلکه نگاشت قاعده → همان یک شاخصی که بهینه می‌کند است.

۳. ساختار

۳٫۱ سلسله‌مراتب برنامه‌ریزی — سؤال روی کدام سطح است

۳٫۲ برنامه‌ریزی جامع — استراتژی‌ها و اهرم‌های آن‌ها

گزینه‌های ظرفیتی (capacity options) که برنامهٔ جامع می‌تواند از آن‌ها استفاده کند عبارت‌اند از: تغییر سطح موجودی، استخدام و تعدیل نیرو، اضافه‌کاری و بیکاری، پیمانکاری فرعی (subcontracting) و کارکنان پاره‌وقت. گزینه‌های تقاضایی (demand options) عبارت‌اند از: اثرگذاری بر تقاضا (قیمت‌گذاری، ترویج)، سفارش معوق (backordering) در دوره‌های پرتقاضا، و ترکیب محصولات مکمل فصلی (counter-seasonal product mixing).

حساب‌وکتاب استراتژی تولید ثابت. وقتی موجودی پایان افق باید برابر موجودی اول افق باشد، نرخ روزانهٔ میانگین کل افق چنین است:

که در آن $D_t$ تقاضای دورهٔ $t$ و $d_t$ تعداد روزهای کاری (working days) آن دوره است. توجه کنید که $P_t$ فقط وقتی ثابت است که روزهای کاری برابر باشند؛ آنچه واقعاً ثابت می‌ماند نرخ $R$ است. سپس برنامه با معادلهٔ موازنهٔ موجودی (inventory-balance equation) جلو برده می‌شود:

$I_{t} \;=\; I_{t-1} + P_{t} - D_{t}, \qquad I_{0} = \text{beginning inventory}$

امکان‌پذیری بدون کمبود (no-stockout feasibility). نرخ ثابت باید تقاضای هر بخش ابتدایی افق را پوشش دهد، نه فقط پایان افق را. با موجودی اول دوره $I_0$ و روزهای کاری مثبت:

برای موجودی نهایی معین $I_N^*$، موازنه نرخ $R_{\text{target}}=(\sum D_t+I_N^*-I_0)/\sum d_t$ را ایجاب می‌کند؛ این نرخ فقط با گذر از همهٔ آزمون‌های تجمعی، بدون سفارش معوق امکان‌پذیر است. میانگین افق با موجودی اولیهٔ کافی یا مجازبودن سفارش معوق ممکن است کافی باشد. موجودی اولیه هنگام هدف‌گذاری مصرف آن یا آزمون نبود کمبود کسر می‌شود؛ وقتی موجودی نهایی باید برابر اولیه باشد، از رابطه حذف می‌شود.

مثال: تقاضا ۱۰۰، ۳۰۰، ۱۰۰ واحد؛ روزهای کاری ۱۰، ۲۰، ۲۰؛ موجودی اولیه ۴۰ است:

تولید ۱۲۰، ۲۴۰، ۲۴۰ و موجودی‌های پایان دوره ۶۰، صفر، ۱۴۰ است. میانگین افق $500/50=10$ در مرز دوم کسری $40+10(30)-400=-60$ ایجاد می‌کند. با روزهای کاری نابرابر، نرخ روزانهٔ ثابت به معنای تولید برابر دوره‌ها نیست. ظرفیت و محدودیت موجودی نهایی را جداگانه کنترل کنید؛ فقط اگر نرخ باید صحیح باشد رو به بالا گرد کنید. مجموع دوره‌ها امکان‌پذیری مرزی را نشان می‌دهد؛ زمان تقاضا درون دوره کنترل ریزتر لازم دارد.

منفی‌شدن $I_t$ به معنای کمبود یا سفارش معوق (shortage / backorder) است، نه موجودی منفی. هزینهٔ یک برنامهٔ نامزد برابر است با

که $I^{+}=\max(I,0)$ موجودی نگهداری‌شده و $I^{-}=\max(-I,0)$ مقدار نامنفی کمبود است.

۳٫۳ MRP — ورودی‌ها، واژگان و قاعدهٔ انفجار

دو قاعده‌ای که تمام این تکنیک را بر دوش می‌کشند:

$\text{NR}_{i,t} \;=\; \max\left(\text{GR}_{i,t} - \text{OH}_{i,t} - \text{SR}_{i,t},\; 0\right)$

$\text{GR}_{i,t} \;=\; \sum_{p \,\in\, \text{parents}(i)} n_{p \to i} \times \text{POR}_{p,t}$

یعنی نیاز ناخالص یک فرزند در دورهٔ $t$ از صدور سفارش‌های برنامه‌ریزی‌شده همهٔ والدهای آن در همان دوره به دست می‌آید — و تنها نیاز خالص به سطوح پایین‌تر منفجر می‌شود، چون واحدی که هم‌اکنون در اختیار دارید لازم نیست ساخته شود و بنابراین هیچ قطعه‌ای مصرف نمی‌کند. انتقال زمانی به اندازهٔ زمان تدارک (lead-time offsetting / زمان‌بندی معکوس) تاریخ صدور سفارش را تعیین می‌کند:

$\text{release period} \;=\; \text{need period} \; - \; LT_i$

رابطهٔ خالص‌سازی بالا ذخیرهٔ اطمینان را لحاظ نمی‌کند؛ اگر ماندهٔ ایمنی لازم باشد، پیش از خالص‌سازی آن را به نیاز ناخالص بیفزایید. صدور سفارش خالص‌سازی‌شده و اندازه‌گیری‌شده با قاعدهٔ انباشته را منفجر کنید: در L4L برابر نیاز خالص است، اما انباشتهٔ بزرگ‌تر نیاز بیشتری برای قطعات می‌سازد. پس «فقط خالص منفجر می‌شود» خلاصهٔ خالص‌سازی پیش از تعیین اندازه/صدور است، نه مجوز نادیده‌گرفتن اندازهٔ سفارش.

قواعد تعیین اندازهٔ انباشته (lot-sizing rules) تعیین می‌کنند نیازهای خالص چگونه در قالب سفارش‌ها گروه‌بندی شوند: سفارش به اندازهٔ نیاز — L4L (lot-for-lot) یعنی دقیقاً به اندازهٔ نیاز خالص سفارش بده — هزینهٔ نگهداری صفر ولی بیشترین تعداد راه‌اندازی؛ EOQ یعنی یک مقدار اقتصادی ثابت که از منطق تقاضای مستقل قرض گرفته شده است؛ POQ (دورهٔ سفارش ثابت) یعنی پوشش تعداد ثابتی از دوره‌ها؛ و اکتشافی‌های کمترین هزینهٔ کل / جزء‑دوره (least-total-cost / part-period). وقتی یک قلم در چند سطح از چند محصول ظاهر می‌شود، کدگذاری پایین‌ترین سطح (low-level coding) خالص‌سازی آن را تا پایین‌ترین سطحی که در آن رخ می‌دهد به تعویق می‌اندازد تا پیش از اندازه‌گیری یک سفارش واحد، تقاضای همهٔ والدهای آن جمع شده باشد.

۳٫۴ توالی عملیات — قاعده و شاخصی که بهینه می‌کند

برای $n$ کار روی یک ماشین، فرض کنید $p_j$ زمان عملیات، $d_j$ موعد تحویل و $C_j$ زمان تکمیل کار $j$ در یک توالی مشخص باشد. شاخص‌های عملکرد عبارت‌اند از:

این نتایج تک‌ماشینه فرض می‌کنند همهٔ کارها در زمان صفر در دسترس‌اند، زمان‌ها قطعی‌اند، وقفهٔ اجرای کار نداریم و زمان آماده‌سازی وابسته به توالی نیست. $U$ در اینجا شاخص کارایی توالیِ کتاب درسی و معکوس میانگین تعداد کار در سیستم است، نه سهم زمانیِ مشغول‌بودن ماشین. در برنامهٔ بدون بیکاری، بهره‌برداری واقعی از زمان ماشین برای همهٔ توالی‌ها ۱۰۰ درصد است. زمان در سیستم فقط با زمان ورود مشترک صفر برابر زمان تکمیل است. SPT میانگین دیرکرد جبری را کمینه می‌کند، نه لزوماً میانگین دیرکرد نامنفی را. جانسون مسیر یکسانِ دو ماشینهٔ همهٔ کارها را فرض می‌کند؛ تساوی زمان‌ها می‌تواند چند توالی بهینه ایجاد کند.

۴. چگونه به کار می‌رود

الف. ساختن یک برنامهٔ جامع با تولید ثابت. ۱. سیاست موجودی نهایی و کمبود را مشخص کنید. برای برابری موجودی اول و پایان افق میانگین افق را بگیرید؛ برای نبود کمبود $R_{\min}$ را محاسبه و نرخ هدف معین را در همهٔ بخش‌های ابتدایی افق کنترل کنید. ۲. $R$ را در روزهای کاری هر دوره ضرب کنید تا $P_t$ حاصل شود. ۳. رابطهٔ $I_t = I_{t-1} + P_t - D_t$ را از موجودی اول دوره به جلو بغلتانید. ۴. بررسی: اگر $R$ برابر میانگین تقاضا باشد، برنامه دقیقاً روی همان موجودی اول دوره بسته می‌شود — سریع‌ترین راه تأیید آن موازنهٔ نهایی، نه اثبات نامنفی‌بودن همهٔ موازنه‌های میانی. ۵. برنامه را قیمت‌گذاری کنید: هزینهٔ نگهداری روی موازنه‌های مثبت و هزینهٔ کمبود روی موازنه‌های منفی. آن را با برنامهٔ تعقیب تقاضا که بر مبنای استخدام/اخراج و اضافه‌کاری قیمت‌گذاری شده مقایسه کنید.

ب. اجرای انفجار MRP. ۱. از نیاز خالص محصول نهایی شروع کنید (مقدار MPS منهای هر موجودی از خودِ محصول نهایی). ۲. سطح‌به‌سطح و از بالا به پایین پیش بروید — هرگز مستقیم به قطعهٔ سطح پایین نپرید. ۳. برای هر قلم: نیاز ناخالص از همهٔ والدها ← کسر موجودی در دست و دریافت‌های برنامه‌ریزی‌شده ← نیاز خالص (کف آن صفر است). ۴. سفارش را با قاعدهٔ اندازهٔ انباشته اندازه‌گیری کنید، سپس به اندازهٔ زمان تدارک به عقب منتقل کنید تا تاریخ صدور به دست آید. ۵. درخت را برای هر قطعه‌ای که در بیش از یک شاخه ظاهر می‌شود بررسی کنید؛ نیاز آن مجموع روی شاخه‌هاست.

ج. توالی کارها روی یک ماشین. ۱. پیش از آنکه به نام قاعده‌ها نگاه کنید، شاخص عملکردی را که در صورت سؤال آمده بخوانید. ۲. توالی را بسازید، سپس $C_j$ را به‌صورت تجمعی جدول کنید و از آن $L_j$، $T_j$ و $N_T$ را به دست آورید. ۳. الگوریتم مور: از توالی EDD آغاز کنید؛ رو به جلو تا نخستین کار دیرکرددار پیش بروید؛ در میان کارهای زمان‌بندی‌شده تا آن کار (شامل خودش)، کاری را که بزرگ‌ترین $p_j$ را دارد حذف و به انتهای برنامه منتقل کنید (آن را دیرکرددار بپذیرید)؛ دوباره محاسبه کنید و تکرار کنید تا هیچ کاری در مجموعهٔ باقی‌مانده دیرکرد نداشته باشد. مجموعهٔ باقی‌مانده به‌موقع است و کارهای بیرون‌رانده‌شده کمترین تعداد ممکن کارهای دیرکرددارند. ۴. قاعدهٔ جانسون (دو ماشین): کوچک‌ترین زمان عملیات را در کل جدول بیابید؛ اگر روی ماشین ۱ بود، آن کار را تا جای ممکن زودتر قرار دهید؛ اگر روی ماشین ۲ بود، تا جای ممکن دیرتر؛ کار را حذف کنید و تکرار کنید.

۵. مثال کوچک حل‌شده

بخش الف — یک برنامهٔ جامع با تولید ثابت

چهار ماه، با موجودی اول دوره $I_0 = 100$ واحد:

افق برنامه دقیقاً روی همان ۱۰۰ واحد اول دوره بسته می‌شود — تأیید هدفِ موجودی برابر؛ جدول نیز نبود کمبود در هر مرز را کنترل می‌کند. توجه کنید که تولید ماهانه ثابت نیست (۵۰۰، ۶۰۰، ۴۵۰، ۴۵۰)؛ آنچه ثابت است نرخ روزانه است. با هزینهٔ نگهداری $c_h = 2$ به ازای هر واحد موجودی پایان دوره:

$TC_{\text{holding}} = 2\,(200+200+150+100) = 1300$

یک برنامهٔ تعقیب تقاضا روی همین داده‌ها هیچ موجودی‌ای فراتر از موجودی اول دوره نگه نمی‌داشت، اما مجبور بود تولید روزانه را از ۲۰ به ۲۵ به ۲۷٫۸ به ۲۷٫۸ واحد تغییر دهد — استخدام، اخراج و اضافه‌کاری به‌جای هزینهٔ نگهداری. همین بده‌بستان دقیقاً همان تصمیم برنامه‌ریزی جامع است.

بخش ب — یک انفجار MRP با خالص‌سازی و انتقال زمانی

محصول X به $2$ واحد Y و $3$ واحد Z نیاز دارد؛ هر Y به $1$ واحد Z نیاز دارد. زمان‌های تدارک: $LT_X = 1$ هفته، $LT_Y = 2$ هفته، $LT_Z = 1$ هفته. موجودی در دست: $Y = 50$، $Z = 100$ و هیچ‌چیز دیگر. MPS خواستار ۱۰۰ واحد X در پایان هفتهٔ ۶ است، با سفارش به اندازهٔ نیاز در همه‌جا.

خالص‌سازی سطح‌به‌سطح:

Z از هر دو والد جمع می‌شود و هر والد مقدار خالص خود را می‌آورد — خالص‌کردن ۵۰ واحد موجودی Y، $50 \times 1 = 50$ واحد Z را نیز از نیاز حذف می‌کند.

زمان‌بندی (همان اعداد، این‌بار با تاریخ):

آن ۱۰۰ واحد موجودی Z را زودترین نیاز (هفتهٔ ۳) مصرف می‌کند و ۵۰ واحد برای هفتهٔ ۳ و کل ۳۰۰ واحد برای هفتهٔ ۵ باقی می‌ماند — جمعاً $350$، دقیقاً همان نیاز خالص سطح‌به‌سطح، اما این‌بار به دو سفارش تاریخ‌دار تقسیم شده است. تفاوت یک انفجار ایستا با یک رکورد واقعی MRP دقیقاً همین است.

بخش ج — همان چهار کار تحت چهار قاعدهٔ توالی

مجموع زمان عملیات $\sum p_j = 16$.

SPT — توالی J4، J1، J3، J2:

$C = 2,\;5,\;9,\;16 \qquad \sum C = 32 \qquad \bar F = \frac{32}{4} = 8.0$

$\bar n = \frac{32}{16} = 2.0 \ \text{jobs}, \qquad U = \frac{16}{32} = 50\%$

کارهای دیرکرددار: J1 ($5 > 4$) و J2 ($16 > 9$) $\Rightarrow N_T = 2$، $T_{\max} = 7$.

EDD — توالی J1، J2، J3، J4:

$C = 3,\;10,\;14,\;16 \qquad \bar F = \frac{43}{4} = 10.75$

دیرکرد جبری $-1,\; +1,\; +3,\; +2 \Rightarrow N_T = 3$ اما $T_{\max} = 3$ — کمترین بدترین تأخیر ممکن.

الگوریتم مور — از EDD آغاز می‌کنیم. نخستین کار دیرکرددار J2 است ($C = 10 > 9$)؛ در میان $\{$J1, J2$\}$ بزرگ‌ترین $p_j$ متعلق به J2 با مقدار $7$ است، پس J2 به انتها منتقل می‌شود. مجموعهٔ باقی‌مانده یعنی J1، J3، J4 اکنون در $3,\,7,\,9$ در برابر موعدهای $4,\,11,\,14$ تکمیل می‌شوند — همه به‌موقع. توالی نهایی J1, J3, J4, J2:

$N_{T} = 1 \quad (\text{only J2}), \qquad \bar F = \frac{3+7+9+16}{4} = 8.75$

FCFS — توالی J3، J1، J4، J2: $C = 4,\,7,\,9,\,16$، $\bar F = 9.0$، $N_T = 2$، $T_{\max} = 7$.

هر قاعده در ستون خودش برنده است و در بقیه بازنده — و دقیقاً به همین دلیل کنکور شاخص را می‌پرسد، نه «بهترین قاعده» را. به‌ویژه توجه کنید که EDD در اینجا بدترین $N_T$ را دارد در حالی که بهترین $T_{\max}$ را دارد: کمینه‌کردن اینکه بدترین کار چقدر شدید دیر می‌شود، همان هدف کمینه‌کردن اینکه چند کار دیر می‌شوند نیست.

۶. اشتباه نشود با…

الف) سطوح سلسله‌مراتب برنامه‌ریزی

ب) استراتژی‌های برنامه‌ریزی جامع و واژگان MRP

ج) قواعد توالی و شاخص‌های آن‌ها

نکتهٔ کنکوری: شاخص را پاسخ دهید، نه قاعده را. «تعداد کارهای دیرکرددار» → مور؛ «حداکثر دیرکرد» → EDD؛ «متوسط زمان تکمیل / تعداد کار در سیستم / بهره‌وری ماشین» → SPT؛ «نوبت و عدالت» → FCFS؛ «دو ماشین پشت سر هم، حداقل‌کردن زمان کل» → جانسون. و در MRP پرهزینه‌ترین عادت، انفجار پیش از خالص‌سازی است: اول کسر موجودی، بعد انفجار — موجودی در دستِ یک زیرمجموعه نه‌تنها خود آن زیرمجموعه بلکه همهٔ فرزندانش را از نیاز حذف می‌کند. در برنامهٔ جامع با تولید ثابت به یاد داشته باشید که کمیت ثابت، نرخ روزانه $R$ است (پس تولید ماهانه با روزهای کاری تغییر می‌کند). میانگین افق نرخ موازنهٔ نهایی است؛ نبود کمبود، بیشترین نرخ تجمعی $R_{\min}$ را لازم دارد. موجودی اولیه در موازنه‌ها و آزمون تجمعی وارد می‌شود؛ نحوهٔ برخورد با آن به هدف موجودی نهایی بستگی دارد.