زمان‌بندی پروژه (گانت/CPM/PERT) و ابزارهای کیفیت (FMEA)

۱. تعریف — این دو ابزار چه هستند

تحلیل شبکهٔ پروژه (project network analysis) خانواده‌ای از تکنیک‌هاست که پروژه را به‌صورت یک شبکه از فعالیت‌ها (activities) که با روابط تقدم و تأخر (precedence relations) به هم پیوسته‌اند نمایش می‌دهد و از روی آن مدت پروژه، مسیر بحرانی (critical path) و شناوری در دسترسِ هر فعالیت دیگر را بیرون می‌کشد. دو عضو کلاسیک آن عبارت‌اند از CPM — روش مسیر بحرانی (Critical Path Method) که مدت هر فعالیت را عددی معلوم و قطعی می‌گیرد و موازنهٔ زمان–هزینه (فشرده‌سازی / crashing) را به آن می‌افزاید، و PERT — تکنیک ارزیابی و بازنگری برنامه (Program Evaluation and Review Technique) که مدت هر فعالیت را یک متغیر تصادفی می‌گیرد که با سه برآورد خلاصه می‌شود و از این رو به پرسش‌های احتمالی دربارهٔ تاریخ اتمام پاسخ می‌دهد.

FMEA — تحلیل حالات و اثرات شکست (Failure Mode and Effects Analysis) ابزار متناظرِ ریسک در سمت کیفیت است: بازنگری‌ای ساخت‌یافته، پیشگیرانه (preventive) و از پایین به بالا (bottom-up) که هر راهی را که یک محصول یا فرایند ممکن است شکست بخورد (حالت شکست / failure mode) فهرست می‌کند، هر یک را روی سه مقیاس امتیاز می‌دهد و حاصل‌ضرب این امتیازها را در قالب یک عدد اولویت ریسک (risk priority number — RPN) برای رتبه‌بندی اینکه کدام حالت شکست زودتر اقدام اصلاحی بگیرد به کار می‌برد. هر دو ابزار یک منطق مشترک دارند: کل را به اجزا تجزیه کن، هر جزء را امتیاز بده و بگذار حساب و کتاب — نه شهود — تعیین کند توجه مدیریت کجا برود.

۲. خاستگاه — از کجا آمده‌اند

• CPM در اواخر دههٔ ۱۹۵۰ در صنعت (دوپون، با همکاری Remington Rand) توسط جیمز کلی (James Kelley) و مورگان واکر (Morgan Walker) برای پروژه‌های تعمیرات اساسی و نگهداری کارخانه توسعه یافت؛ جایی که مدت‌ها از روی تجربه به‌خوبی شناخته شده بودند و پرسش واقعی این بود که زودتر تمام کردن چقدر هزینه دارد.

• PERT تقریباً هم‌زمان برای برنامهٔ موشکی پولاریس (Polaris) نیروی دریایی آمریکا توسعه یافت؛ یک پروژهٔ تحقیق و توسعه که هیچ فعالیت آن پیش‌تر انجام نشده بود، پس هیچ مدت تکیِ قابل اتکایی وجود نداشت — و از همین‌جا فرمول‌بندی سه‌برآوردی و احتمالی زاده شد.

• این دو مستقل از هم و برای محیط‌هایی متضاد ابداع شدند (کارهای ساختمانی تکرارشونده در برابر تحقیق و توسعهٔ یک‌بارمصرف) و بعدها در عمل در دستگاه واحد PERT/CPM که امروز تدریس می‌شود ادغام شدند: منطق شبکه و حساب شناوری از CPM، زمان‌های مورد انتظار و واریانس‌ها از PERT.

• نمودارهای گانت (Gantt charts) مرتبط با هنری گانت (Henry Gantt)، نمایشی روی مقیاس زمان برای برنامه‌ریزی و پایش کار فراهم می‌کنند؛ مکمل جعبه‌ابزار شبکه‌اند و جای محاسبات آن را نمی‌گیرند.

• FMEA از مهندسی قابلیت اطمینان نظامی در میانهٔ قرن بیستم برآمد، در صنایع هوافضا به‌طور گسترده به کار رفت و از راه صنعت خودرو به صنعت انبوه رسید؛ جایی که انجمن‌های صنفی، راهنماهای استاندارد FMEA را منتشر کردند. بازنگری تازه‌تری از همان استاندارد خودرویی، رتبه‌بندی خام RPN را با جدول اولویت اقدام (action priority — AP) جایگزین می‌کند، دقیقاً به این دلیل که RPN یک شکستِ فاجعه‌بار اما نادر و یک شکستِ کم‌اهمیت اما پرتکرار را — وقتی حاصل‌ضربشان یکسان درمی‌آید — به یک اندازه فوری می‌شمارد. کتاب‌های درسی ایرانی و این کنکور همچنان از تعریف کلاسیک RPN استفاده می‌کنند.

۳. ساختار

۳٫۱ واژگان شبکه

۳٫۲ چهار زمان و دو شناوری

گذر رو به جلو (forward pass) زمان‌های زودترین و گذر رو به عقب (backward pass) زمان‌های دیرترین را می‌دهد:

$ES_j=\max_{i \to j}\left(EF_i\right),\qquad EF_j=ES_j+t_j$

$LF_i=\min_{i \to j}\left(LS_j\right),\qquad LS_i=LF_i-t_i$

همواره $0\le FF_i\le TF_i$ برقرار است و یک فعالیت دقیقاً وقتی بحرانی است که $TF_i=0$ باشد. فعالیت‌های بحرانی دست‌کم یک زنجیرهٔ پیوسته از آغاز تا پایان می‌سازند؛ ممکن است بیش از یک مسیر بحرانی وجود داشته باشد.

۳٫۳ گانت: زمان، پیوند و پیشرفت

نمودار گانت (Gantt chart) فعالیت‌ها را عمودی و زمان را روی محور افقی قرار می‌دهد. هر میله شروع، پایان و مدت برنامه‌ریزی‌شده را نشان می‌دهد. میله‌های برنامهٔ مبنا (baseline bars) برنامهٔ مصوب را حفظ می‌کنند؛ تاریخ‌های واقعی و علامت‌های پیشرفت، مقایسه با مبنا را ممکن می‌سازند. موقعیت میله زمان و هم‌پوشانی را نشان می‌دهد؛ طول آن مدت است، نه اهمیت یا بحرانی بودن.

دو میلهٔ پشت‌سرهم ممکن است حاصل پیش‌نیاز واقعی، منبع مشترک یا صرفاً انتخاب برنامه‌ریز باشند. پیوند پیش‌نیازی (link) وابستگی را صریح می‌کند: در رابطهٔ پایان به شروع، فعالیت بعدی منتظر پایان پیش‌نیاز می‌ماند. بنابراین گانت پیونددار می‌تواند روابط پیش‌نیازی را نمایش دهد. نباید فرض کرد نمودار سادهٔ بدون پیوند، همهٔ وابستگی‌ها را رمزگذاری می‌کند؛ گانت نیز الزاماً مسیر بحرانی را نشان نمی‌دهد، مگر اینکه تحلیل شبکه یا برنامه آن را فراهم کرده باشد.

۳٫۴ PERT: سه برآورد، یک توزیع بتا

هر مدت با سه برآورد توصیف می‌شود: خوش‌بینانه $a$ (optimistic)، محتمل‌ترین $m$ (most likely) و بدبینانه $b$ (pessimistic)، با فرض توزیع بتا، که می‌دهد

$t_e=\frac{a+4m+b}{6},\qquad \sigma^{2}=\left(\frac{b-a}{6}\right)^{2},\qquad \sigma=\frac{b-a}{6}$

سپس شبکه با مقادیر $t_e$ دقیقاً مانند CPM حل می‌شود. روی مسیر بحرانیِ حاصل:

$T_e=\sum_{i\in CP}t_{e,i},\qquad \sigma_p^{2}=\sum_{i\in CP}\sigma_i^{2},\qquad \sigma_p=\sqrt{\sum_{i\in CP}\sigma_i^{2}}$

در تقریب مسیر بحرانی ثابت در PERT، زمان اتمام، مجموع مدت‌های مستقل فعالیت‌های آن مسیر فرض می‌شود. تقریب نرمال مبتنی بر حد مرکزی، احتمال رسیدن به تاریخ مقرر $T_s$ (scheduled date) را می‌دهد:

$Z=\frac{T_s-T_e}{\sigma_p},\qquad P\left(T\le T_s\right)=\Phi(Z)$

این محاسبهٔ احتمال تقریبی است: همبستگی مدت‌ها، تعداد کم فعالیت‌های بسیار چوله یا مسیرهای موازی نزدیک به بحرانی می‌توانند آن را نامعتبر کنند. اتمام واقعی پروژه با بلندترین مسیر تحقق‌یافته تعیین می‌شود و الزاماً همان مسیر شناسایی‌شده از مدت‌های مورد انتظار نیست.

۳٫۵ CPM: موازنهٔ زمان–هزینه (فشرده‌سازی)

$\text{cost slope}=\frac{C_c-C_n}{t_n-t_c}$

فقط فعالیت‌های بحرانی را فشرده کنید، به‌ترتیب ارزان‌ترین شیب، و پس از هر گام مسیر بحرانی را دوباره شناسایی کنید — کوتاه کردن یک مسیر می‌تواند یک مسیر موازی را بحرانی کند.

۳٫۶ FMEA: سه مقیاس و عدد RPN

$\boxed{\;\text{RPN}=O\times S\times D\;}\qquad 1\le \text{RPN}\le 1000$

$\text{Criticality}=S\times O$

مقیاس $D$ وارونه است و این رایج‌ترین بدفهمی این مبحث است: $D=10$ یعنی کشف ناامیدکننده است و $D=1$ یعنی کنترل تقریباً به‌طور قطع شکست را می‌گیرد. حالات شکست را بر حسب RPN نزولی رتبه‌بندی کنید، از بالای فهرست اقدام کنید و سپس پس از اقدام اصلاحی RPN را دوباره محاسبه کنید تا نشان دهید ریسک واقعاً کاهش یافته است.

۳٫۷ جایگاه FMEA در میان ابزارهای کیفیت

۴. نحوهٔ به‌کارگیری

شبکه (PERT/CPM)

۱. فعالیت‌ها و پیش‌نیازهای بلافصل آن‌ها را فهرست کنید؛ شبکه را رسم کنید (AON مطمئن‌تر است — بدون فعالیت مجازی). ۲. اگر سه برآورد داده شده، نخست $t_e$ و $\sigma^{2}$ را برای همهٔ فعالیت‌ها حساب کنید. ۳. گذر رو به جلو برای $ES/EF$ (در نقطهٔ تلاقی بیشینه بگیرید)، گذر رو به عقب برای $LS/LF$ (در نقطهٔ انشعاب کمینه بگیرید). ۴. $TF=LS-ES$. فعالیت‌هایی با $TF=0$ مسیر بحرانی را می‌سازند؛ مدت پروژه $T_e$ همان طول آن مسیر است — یا هم‌ارز آن، بزرگ‌ترین $EF$. ۵. برای پرسش‌های احتمالی فقط واریانس فعالیت‌های بحرانی را جمع بزنید، جذر بگیرید، سپس $Z=(T_s-T_e)/\sigma_p$ و مقدار $\Phi(Z)$ را بخوانید. ۶. برای کوتاه کردن پروژه، فعالیت‌های بحرانی را به‌ترتیب صعودی شیب هزینه فشرده کنید و پس از هر واحد بررسی کنید که آیا مسیر دیگری بحرانی شده است یا نه.

کاربرد گانت

۱. فعالیت‌ها، مدت‌ها و تاریخ‌های برنامه‌ریزی‌شده را روی محور زمانی مشترک قرار دهید و مبنا را برای مقایسه نگه دارید. ۲. پیش‌نیازهای واقعی را ثبت و در صورت اهمیت منطق وابستگی، پیوندها را نمایش دهید؛ تمام پیوندها را از موقعیت میله استنباط نکنید. ۳. شروع و پایان واقعی و بخش تکمیل‌شده را علامت بزنید و در تاریخ بازبینی معیّن با مبنا مقایسه کنید. ۴. با تأخیر پیش‌نیاز، پس‌نیازهای متأثر را طبق منطق برنامه به‌روز و شناوری موجود را بررسی کنید. تعارض منابع نیز ممکن است زمان‌بندی مجدد بخواهد. ۵. بحرانی بودن و شناوری را از محاسبهٔ زیربنایی CPM/PERT یا زمان‌بندی مبتنی بر وابستگی بگیرید. برای احتمال اتمام، مدل مدت در PERT را جداگانه به کار برید.

FMEA

۱. محصول/فرایند را به کارکردها بشکنید، سپس هر حالت شکست را با اثر و علت آن فهرست کنید — اثر تعیین‌کنندهٔ $S$ است، علت تعیین‌کنندهٔ $O$، و کنترل موجود تعیین‌کنندهٔ $D$. ۲. هر سه را با جدول‌های مقیاسِ توافق‌شده روی ۱ تا ۱۰ امتیاز بدهید. ۳. ضرب کنید: $\text{RPN}=O\times S\times D$ — هرگز جمع نکنید. ۴. نزولی مرتب کنید و اقدام اصلاحی را از بالا آغاز کنید؛ یک $S$ بسیار بالا به‌تنهایی حتی با RPN متوسط هم شایستهٔ بررسی جدی است. ۵. پس از اقدام دوباره امتیازدهی کنید و RPN جدید را ثبت کنید.

۵. مثال کوچک حل‌شده

بخش الف — یک شبکهٔ PERT از ابتدا تا انتها

شش فعالیت، هر کدام با سه برآورد (بر حسب هفته):

مسیرها.

مسیر بلندتر بحرانی است: $CP=A\!-\!B\!-\!D\!-\!F$ و $T_e=19$ هفته.

گذرها و شناوری‌ها.

به C و E توجه کنید: هر دو $TF=3$ دارند، اما این یک سه‌هفتهٔ مشترک در طول مسیر است — شناوری آزاد C برابر $FF_C=ES_E-EF_C=7-7=0$ است، چون استفاده از شناوری C فعالیت E را به تأخیر می‌اندازد. فقط E، آخرین فعالیت زنجیرهٔ غیربحرانی، شناوری آزاد دارد: $FF_E=ES_F-EF_E=16-13=3$.

واریانس و احتمال. فقط واریانس فعالیت‌های بحرانی را جمع بزنید:

$\sigma_p^{2}=0.44+2.78+1.78+0.44=5.44\ \Rightarrow\ \sigma_p=\sqrt{5.44}\approx 2.33\ \text{weeks}$

احتمال اتمام ظرف $T_s=22$ هفته:

$Z=\frac{22-19}{2.33}\approx 1.29\ \Rightarrow\ P\left(T\le 22\right)=\Phi(1.29)\approx 0.90$

یعنی حدود $90\%$ شانس. توجه کنید که $\sigma_p=2.33 \ne 0.67+1.67+1.33+0.67=4.34$: واریانس‌ها جمع می‌شوند، انحراف معیارها هرگز.

فشرده‌سازی، یک گام. اگر فعالیت B بتواند از ۶ به ۴ هفته کوتاه شود در حالی که هزینه از $600$ به $1000$ می‌رسد:

$\text{cost slope}=\frac{1000-600}{6-4}=200\ \text{per week}$

فشرده‌سازی B به اندازهٔ ۲ هفته مسیر بحرانی را به $17$ هفته می‌رساند — اما مسیر موازی $16$ هفته است، پس پس از تنها ۱ هفته فشرده‌سازی، دو مسیر به $18$ و $16$ می‌رسند؛ هفتهٔ دوم باید دوباره بررسی شود و هر کاهش بیشتری سرانجام نیازمند فشرده‌سازی روی هر دو مسیر به‌طور هم‌زمان است.

نمایش همان شبکه در گانت

A را از هفتهٔ ۰ تا ۴، B را از ۴ تا ۱۰، C را از ۴ تا ۷، D را از ۱۰ تا ۱۶، E را از ۷ تا ۱۳ و F را از ۱۶ تا ۱۹ نمایش دهید. پیوندها از A به B و C، از B به D، از C به E و از D و E به F هستند. پیوندها توضیح می‌دهند چرا F منتظر هر دو شاخه می‌ماند؛ موقعیت میله‌ها به‌تنهایی بیان کامل این منطق نیست.

در بازبینی هفتهٔ ۸، فرض کنید C عملاً در هفتهٔ ۸، یک هفته دیرتر از پایان مبنا، تمام شده است. با مدت ثابت، E از هفته‌های ۷ تا ۱۳ به هفته‌های ۸ تا ۱۴ منتقل می‌شود؛ F همچنان می‌تواند در هفتهٔ ۱۶ شروع شود، چون شاخه سه هفته شناوری کل داشته است. مبنا را کنار میله‌های اصلاحی یا واقعی نگه دارید. نمودار، جابه‌جایی را منتقل می‌کند؛ محاسبات شبکهٔ بالا توضیح می‌دهند چرا پایان پروژه الزاماً تغییر نمی‌کند. یک هفته تأخیر فعالیت، خودبه‌خود یک هفته تأخیر پروژه نیست.

بخش ب — رتبه‌بندی حالات شکست با RPN

بنا بر قاعدهٔ کلاسیک، اقدام اصلاحی از X آغاز می‌شود ($\text{RPN}=96$)، هرچند Y شدت ترسناک ۹ و بدترین مجموع را دارد. همین واگرایی دقیقاً همان تله است: رتبه‌بندی بر مبنای جمع، Y را برمی‌گزید و خوانشِ «بدترین تک‌عدد» هم Y را انتخاب می‌کرد. با این حال توجه کنید که حالتی با $S=9$ حالتی ایمنی‌محور است، پس یک FMEA بالغ صرف‌نظر از حاصل‌ضرب آن را برجسته می‌کند — و همین دلیل معرفی جدول‌های جدیدتر اولویت اقدام است.

۶. اشتباه نشود با… — Confused with

نکتهٔ کنکوری: در این مبحث هر سؤال به دو پرسش فرو می‌کاهد: کدام مجموعه و کدام عمل. برای محاسبات متعارف اتمام در تقریب مسیر ثابت PERT: مسیر بحرانی مجموعهٔ مربوط است و «زمان» ⇒ جمعِ $t_e$، «واریانس» ⇒ جمعِ $\sigma^{2}=\left(\frac{b-a}{6}\right)^{2}$، «احتمال» ⇒ $Z=(T_s-T_e)/\sigma_p$ با $\sigma_p=\sqrt{\sum \sigma^{2}}$ — هرگز $\sum\sigma$. برای FMEA: مجموعه هر سه عامل است و عمل، ضرب: $\text{RPN}=O\times S\times D$؛ گزینه‌های انحرافی از روی جمع، از روی بزرگ‌ترین شدت، یا از روی بزرگ‌ترین امتیاز تکی در یک سطر ساخته می‌شوند. با نمرهٔ منفی، انجام سه ضرب یک‌خطی بر هر حدس الگومحوری برتری دارد. در تشخیص نوع نمایش: میلهٔ زمانی ← گانت؛ پیوند صریح ← پیش‌نیاز؛ شناوری یا مسیر بحرانی محاسبه‌شده ← تحلیل برنامه؛ احتمال ← مدل مدت در PERT.