شمارش تابع‌ها: دلخواه و یک‌به‌یک: ریاضیات گسسته، فصل ۳

ایده

توزیعِ $m$ شیءِ متفاوت بین $n$ نفر را به تابعی از $A$ ( $m$ عضو) به $B$ ( $n$ عضو) ترجمه کن: هر شیء یک نفر را انتخاب می‌کند. اگر شرطی نیست و یک نفر می‌تواند چند شیء ببرد، هر شیء $n$ انتخاب دارد. اگر «هیچ‌کس بیشتر از یکی» باشد، تابع یک‌به‌یک است و انتخاب‌ها یکی‌یکی کم می‌شوند: $n (n - ۱) \dots (n - m + ۱)$ . برای $m > n$ هیچ تابع یک‌به‌یک وجود ندارد.

n^{m} (دلخواه), (n)_{m} = \frac{n !}{( n - m )!} (یک‌به‌یک)

نمونهٔ نهایی

نهایی شهریور ۱۴۰۵، عصر، سؤال ۱۶۰/۷۵ نمره

به چند طریق می‌توان $۳$ خودکار متفاوت را بین $۷$ نفر توزیع کرد، به‌شرط آن‌که هیچ‌کس بیشتر از یک خودکار نداشته باشد؟ (نوشتن راه‌حل، الزامی است)

خودکارها مجموعهٔ $A$ ( $۳$ عضو) و نفرها مجموعهٔ $B$ ( $۷$ عضو) هستند و «هیچ‌کس بیشتر از یکی» یعنی تابع یک‌به‌یک؛ فرمولش را بنویس.۰/۲۵ نمره
$(۷)_{۳} = \frac{۷ !}{( ۷ - ۳ )!}$
مخرج را حساب کن.۰/۲۵ نمره
$(۷ - ۳)! = ۴!$
کسر را ساده کن.۰/۲۵ نمره
$\frac{۷ !}{۴ !} = ۷ \times ۶ \times ۵ = ۲۱۰$

همهٔ سؤال‌های این تیپ

امتحان نهایی ۱۸

۱۲ سؤال دیگر