مشتق‌پذیری و پیوستگی

نهایی: در ۱۰ امتحان از ۲۶، روی‌هم ۴/۵ نمره

ایده

اگر $f$ در $x = a$ مشتق‌پذیر باشد، در $a$ پیوسته است؛ پس در نقطهٔ ناپیوستگی مشتق‌پذیر نیست. عکسش درست نیست: $∣ x - ۱∣$ در $x = ۱$ پیوسته است ولی مشتق‌پذیر نیست، و روی نمودار نقطهٔ گوشه‌ای هم مشتق‌ناپذیر است. روی بازهٔ $(a, b)$ مشتق‌پذیری یعنی مشتق‌پذیری در هر نقطهٔ آن؛ روی $[a, b]$ علاوه بر این، مشتق راست در $a$ و مشتق چپ در $b$ لازم است.

نمونهٔ نهایی

نهایی خرداد ۱۴۰۴، سؤال ۱۲، بخش ب۰/۵ نمره

نمودار تابع $f$ در زیر رسم شده است.

نمودار تابع f روی صفحهٔ مختصات شبکه‌دار: منحنی و پاره‌خط‌هایی با دایره‌های توخالی و توپر بین x=۱ و x=۹ (نقطهٔ توپر (۷، ۰) و دایرهٔ توخالی در (۹، ۶))؛ برچسب‌های محور x: ۱ تا ۱۰ و محور y: −۲ تا ۶

ب)

آیا تابع $f$ روی بازهٔ $[۴, ۶]$ مشتق‌پذیر است؟چرا؟

پاسخ: خیر، تابع روی $[۴, ۶]$ مشتق‌پذیر نیست.۰/۲۵ نمره
دلیل: روی بازهٔ بسته در سر راست مشتق چپ لازم است، ولی روی نمودار در $x = ۶$ حد چپ با $f (۶)$ برابر نیست و پیوستگی چپ برقرار نیست.۰/۲۵ نمره
$x \to ۶^{-} lim f (x) \neq = f (۶) \Rightarrow f_{-}^{'} (۶) وجود ندارد$

همهٔ سؤال‌های این تیپ

امتحان نهایی ۱۴

۸ سؤال دیگر