مشتق‌پذیری تابع چندضابطه‌ای

نهایی: در ۱۳ امتحان از ۲۶، روی‌هم ۱۴ نمرهکنکور: ۱ سؤال

ایده

در نقطهٔ مرزی، مشتق راست را با ضابطهٔ سمت راست و مشتق چپ را با ضابطهٔ سمت چپ حساب کن؛ $f (a)$ را از ضابطه‌ای بگیر که شرطش شامل $x = a$ است. تابع در $a$ دقیقاً وقتی مشتق‌پذیر است که پیوسته باشد و مشتق راست و چپ برابر باشند. در سؤال‌های پارامتر، همین شرط‌ها معادله می‌شوند.

f_{+}^{'} (a) = x \to a^{+} lim \frac{f ( x ) - f ( a )}{x - a}, f_{-}^{'} (a) = x \to a^{-} lim \frac{f ( x ) - f ( a )}{x - a}

نمونهٔ نهایی

نهایی شهریور ۱۴۰۳، سؤال ۱۱۱ نمره

مشتق‌پذیری تابع $f (x) = ⎩ ⎨ ⎧ ۲ x^{۲} ۶ x - ۴ ۲ x - ۱ + ۶ x < ۲ x = ۲ x > ۲$ را در نقطه‌ی $x = ۲$ بررسی کنید.

اول پیوستگی را در $x = ۲$ ببین: $f (۲)$ را با حد از چپ و از راست مقایسه کن.۰/۲۵ نمره
$f (۲) = ۶ \cdot ۲ - ۴ = ۸, x \to ۲^{-} lim ۲ x^{۲} = ۸, x \to ۲^{+} lim (۲ x - ۱ + ۶) = ۸$
مشتق چپ را از ضابطهٔ $x < ۲$ بگیر و $x = ۲$ بگذار.۰/۲۵ نمره
$f^{'} (x) = ۴ x (x < ۲) \Rightarrow f_{-}^{'} (۲) = ۸$
مشتق راست را از ضابطهٔ $x > ۲$ بگیر و $x = ۲$ بگذار.۰/۲۵ نمره
$f^{'} (x) = ۲ \cdot \frac{۱}{۲ x - ۱} (x > ۲) \Rightarrow f_{+}^{'} (۲) = ۱$
دو مشتق یک‌طرفه را مقایسه کن و نتیجه بگیر.۰/۲۵ نمره
$f_{+}^{'} (۲) = ۱ \neq = ۸ = f_{-}^{'} (۲) \Rightarrow f^{'} (۲) وجود ندارد$

مشتق‌پذیری تابع چندضابطه‌ای

ایده

نمونهٔ نهایی

همهٔ سؤال‌های این تیپ

امتحان نهایی ۱۳

کنکور ۱