KonkurStudy
همه کارت‌ها
مفهومریاضیات عمومی ۱ و ۲حد و پیوستگی

حد، پیوستگی و مجانب: جزء صحیح، توان‌ها و جملات غالب

گردکردن و رفتار یک‌طرفه را کنترل کنید، وجود ریشه را با پیوستگی ثابت کنید و برای تعیین مجانب کامل، جمله‌های لازم را نگه دارید.

کارت مفهوم کنکور ارشد مدیریت کسب‌وکار (MBA)

اهمیت
۰/۵

حد (Limit) رفتار اطراف نقطه را هنگام نزدیک‌شدن ورودی به یک نقطه یا رشد بی‌کران آن توصیف می‌کند و به مقدار تعریف‌شده در خود نقطه وابسته نیست. پیوستگی (Continuity) در یک نقطهٔ داخلی، علاوه بر این، تعریف تابع در آن نقطه و برقراری lim⁡x→af(x)=f(a)\lim_{x\to a}f(x)=f(a) را می‌خواهد. حد دوطرفه به برابری حدهای یک‌طرفه نیاز دارد. برای دنباله، ورودی عدد صحیح n→∞n\to\infty است.

۱. قوانین، کران‌ها و نمادگذاری مجانبی

جمع و ضرب حدهای متناهی از قوانین جبری پیروی می‌کنند. در تقسیم، حد مخرج باید ناصفر باشد؛ عبور حد متناهی از تابع پیوسته هنگامی مجاز است که حد آرگومان در دامنهٔ آن باشد. حد بی‌نهایت، رشد فراتر از هر کران را بیان می‌کند، نه یک عدد حقیقی معمولی؛ ∞−∞\infty-\infty مبهم است.

قضیهٔ فشردگی (Squeeze theorem) می‌گوید اگر در نزدیکی نقطهٔ حد، جز احتمالاً خود آن نقطه، g≤f≤hg\le f\le h برقرار باشد و هر دو کران به یک حد متناهی LL میل کنند، آنگاه f→Lf\to L. برای دنباله کافی است کران‌ها از جایی به بعد برقرار باشند.

هم‌ارزی مجانبی (Asymptotic equivalence) با نماد f∼gf\sim g یعنی f/g→1f/g\to1، به شرط تعریف‌شدن نسبت از جایی به بعد. نماد r=o(g)r=o(g) یعنی r/g→0r/g\to0 و نماد r=O(g)r=O(g) یعنی قدرمطلق این نسبت کراندار می‌ماند. هم‌ارزها در ضرب و تقسیم مفیدند؛ در تفریق باید خطا را در مقیاس باقی‌مانده پس از حذف کنترل کرد.

جزء صحیح، جزء کسری و ترکیب یک‌طرفه

جزء صحیح (Floor) به پایین گرد می‌کند، حتی برای ورودی منفی. جزء کسری (Fractional part) باقیماندهٔ آن است:

⌊t⌋=k  ⟺  k≤t<k+1,t−1<⌊t⌋≤t,{t}=t−⌊t⌋∈[0,1).\lfloor t\rfloor=k\iff k\le t<k+1,\qquad t-1<\lfloor t\rfloor\le t,\qquad \{t\}=t-\lfloor t\rfloor\in[0,1).

برای هر عدد صحیح mm، مثبت یا منفی:

نزدیک‌شدن جزء صحیح در نزدیکی حد جزء کسری
t→m−t\to m^- m−1m-1 11
t→m+t\to m^+ mm 00
t=mt=m mm 00

برای نمونه، ⌊−2.01⌋=−3\lfloor-2.01\rfloor=-3 و ⌊−1.99⌋=−2\lfloor-1.99\rfloor=-2. جزء کسری می‌تواند به یک نزدیک شود، بدون آنکه آن را اتخاذ کند. در ترکیب، سمت نزدیک‌شدن آرگومان داخلی را دنبال کنید: برای x=−3+hx=-3+h با h>0h>0 کوچک، x2=9−6h+h2<9x^2=9-6h+h^2<9؛ پس ⌊x2⌋=8\lfloor x^2\rfloor=8 و ⌊x⌋=−3\lfloor x\rfloor=-3.

خطای کراندارِ گردکردن با ضرب در عامل کوچک محو می‌شود:

⌊1x⌋=1x−θx,0≤θx<1,∣x⌊1x⌋−1∣≤∣x∣→0.\left\lfloor\frac1x\right\rfloor=\frac1x-\theta_x,\quad0\le\theta_x<1,\qquad \left\lvert x\left\lfloor\frac1x\right\rfloor-1\right\rvert\le\lvert x\rvert\to0.

این استدلال حد را از هر دو طرف ثابت می‌کند، بدون ضرب نامساوی‌ها در ورودی منفی. بنابراین برای هر ثابت حقیقی kk، داریم (ekx−1)⌊1/x⌋→k(e^{kx}-1)\lfloor1/x\rfloor\to k.

مثال برد. برای cc حقیقی ثابت و t>0t>0، عبارت t−⌊t+c⌋={t+c}−ct-\lfloor t+c\rfloor=\{t+c\}-c برد [−c,1−c)[-c,1-c) دارد. برای r∈[0,1)r\in[0,1)، عدد صحیح j>c−rj>c-r را انتخاب و t=j+r−c>0t=j+r-c>0 را تعریف کنید تا دستیابی ثابت شود. این همانی یکسان‌بودن متغیر داخل و بیرون جزء صحیح را می‌خواهد.

در اتصال چندضابطه‌ای باید f(a−)=f(a+)=f(a)f(a^-)=f(a^+)=f(a) برقرار باشد. برای مثال، شاخهٔ e⌊ax⌋e^{\lfloor ax\rfloor} درست در چپ x=1x=1 با شاخهٔ x1/(x−1)x^{1/(x-1)} درست در راست آن، برای aa مثبت دقیقاً هنگامی منطبق می‌شود که 1<a≤21<a\le2 و مقدار تعریف‌شده ee باشد. این فقط پیوستگی موضعی را ثابت می‌کند؛ برای ادعای سراسری، جهش‌های دیگر جزء صحیح نیز باید بررسی شوند. همچنین x+csgn⁡(x2)x+c\operatorname{sgn}(x^2) در صفر حد cc و مقدار صفر دارد؛ پس پیوستگی مستلزم c=0c=0 است.

مقدارهای میانی، نقطهٔ ثابت و علامت چندجمله‌ای

قضیهٔ مقدار میانی (Intermediate value theorem) پیوستگی روی بازهٔ بستهٔ [a,b][a,b] را می‌خواهد؛ هر مقدار بین مقدارهای دو انتها اتخاذ می‌شود. اگر f(a)f(b)<0f(a)f(b)<0، ریشه‌ای در داخل بازه هست. علامت‌های مخالفِ ضعیف، ریشه در انتها را نیز مجاز می‌کنند؛ جهش علامت بدون پیوستگی، ریشه‌ای را ثابت نمی‌کند.

برای نقطهٔ ثابت (Fixed point)، قضیه را بر H(x)=f(x)−xH(x)=f(x)-x اعمال کنید. اگر H(a)≥0H(a)\ge0 و H(b)≤0H(b)\le0، یا جهت نامساوی‌ها معکوس باشد، یک c∈[a,b]c\in[a,b] وجود دارد که f(c)=cf(c)=c. به‌ویژه نگاشت پیوستهٔ یک بازهٔ بسته به خودش نقطهٔ ثابت دارد؛ یکتایی به اطلاعات بیشتر نیاز دارد.

برای چندجمله‌ای درجهٔ d≥1d\ge1 با ضریب پیشروی ad≠0a_d\ne0، علامت در بی‌نهایت مثبت و منفی به‌ترتیب همان علامت ada_d و (−1)dad(-1)^d a_d است. مخالف‌بودن علامت‌های ناصفرِ P(0)P(0) و ada_d ریشهٔ مثبت می‌دهد، اما لزوماً ریشهٔ منفی نمی‌دهد؛ P(x)=x−1P(x)=x-1 مثال نقض است. ادعاهای کلی را با چندجمله‌ای ساده بیازمایید. بازه‌های مجزای تغییر علامت همراه کران درجه، ریشه‌ها را می‌شمارند: P(x)=x3−3xP(x)=x^3-3x در نقاط −2,−1,1,2-2,-1,1,2 علامت‌های متناوب دارد؛ پس بدون حل معادلهٔ درجهٔ سه، دقیقاً سه ریشهٔ حقیقی متمایز دارد.

۲. حدهای مبتنی بر بزرگ‌ترین پایه

برای پایه‌های مثبت ثابت a1,…,ama_1,\ldots,a_m، قرار دهید M=max⁡jajM=\max_j a_j. آنگاه

Mn≤∑j=1majn≤mMn,M≤(∑j=1majn)1/n≤m1/nM⟶M.M^n\le\sum_{j=1}^m a_j^n\le mM^n,\qquad M\le\left(\sum_{j=1}^m a_j^n\right)^{1/n}\le m^{1/n}M\longrightarrow M.

برابرشدن چند پایه با بیشینه، نتیجه را عوض نمی‌کند. همهٔ پایه‌ها می‌توانند کوچک‌تر از یک باشند: مجموع به صفر میل می‌کند، اما ریشهٔ مرتبهٔ n آن به بزرگ‌ترین پایه می‌رسد. وزن‌های مثبت ثابت نیز حد را حفظ می‌کنند؛ برای کران پایین از وزن یک جملهٔ بیشینه و برای کران بالا از مجموع وزن‌ها استفاده کنید. جملات علامت‌دار ممکن است یکدیگر را حذف کنند و رشد نمایی تعداد جملات نیز می‌تواند حد ریشه را تغییر دهد؛ هیچ‌یک از این تعمیم‌ها خودکار نیست.

مثال حل‌شده. بزرگ‌ترین توان را در bn=((1/3)n+2(3/4)n)1/nb_n=((1/3)^n+2(3/4)^n)^{1/n} بیرون می‌کشیم:

bn=34[(49)n+2]1/n,2≤(49)n+2≤3,bn→34.b_n=\frac34\left[\left(\frac49\right)^n+2\right]^{1/n},\qquad 2\le\left(\frac49\right)^n+2\le3,\qquad b_n\to\frac34.

لازم نیست خود کروشه به یک میل کند؛ ریشهٔ مرتبهٔ n آن به یک میل می‌کند. کمیت تعیین‌کننده بیشینه است، نه میانگین حسابی.

آستانهٔ نقطه‌ایِ توان‌های زوج

برای هر پایهٔ حقیقی ثابت،

a2n→{0,∣a∣<1,1,∣a∣=1,+∞,∣a∣>1.a^{2n}\to\begin{cases}0,&\lvert a\rvert<1,\\1,&\lvert a\rvert=1,\\+\infty,&\lvert a\rvert>1.\end{cases}

برای q,aq,a پیوسته و ثابت c>0c>0، حد نقطه‌ایِ q(x)/(c+a(x)2n)q(x)/(c+a(x)^{2n}) به‌ترتیب q(x)/cq(x)/c، q(x)/(c+1)q(x)/(c+1) یا صفر است. حالت تساوی را حفظ کنید. در هر نقطهٔ آستانه، حد شاخه‌های مجاور را با مقدار تعریف‌شده مقایسه کنید، چه پایه از آستانه عبور کند و چه فقط به آن برسد. صفرشدن qq می‌تواند جهش ظاهری را رفع کند؛ نقطهٔ آستانه خودبه‌خود ناپیوستگی نیست. برای پایهٔ مثلثاتی هر دو علامت را حل و تمام خانواده‌های تناوبی را حفظ کنید.

۳. حذف لگاریتمی

برای A,BA,B مثبت، پیش از حدگیری رابطهٔ ln⁡A−ln⁡B=ln⁡(A/B)\ln A-\ln B=\ln(A/B) را به کار ببرید. اگر نسبت به ثابتی مثبت میل کند، پیوستگی پاسخ را می‌دهد. فاکتورگیری از جملهٔ غالب درون لگاریتم، ثابت‌هایی را حفظ می‌کند که تقریب بیش از حد خشن از دست می‌دهد.

نام‌های بدون ابهام کسینوس هذلولوی وارون (Inverse hyperbolic cosine) و سینوس هذلولوی وارون (Inverse hyperbolic sine) شکل‌های لگاریتمی زیر را دارند:

arcosh⁡u=ln⁡(u+u2−1)(u≥1),arsinh⁡u=ln⁡(u+u2+1)(u∈R).\operatorname{arcosh}u=\ln\left(u+\sqrt{u^2-1}\right)\quad(u\ge1),\qquad \operatorname{arsinh}u=\ln\left(u+\sqrt{u^2+1}\right)\quad(u\in\mathbb R).

برای u→∞u\to\infty مثبت، فاکتورگیری از آرگومان می‌دهد:

arcosh⁡u−ln⁡u=ln⁡(1+1−u−2)→ln⁡2,arsinh⁡u−ln⁡u=ln⁡(1+1+u−2)→ln⁡2.\operatorname{arcosh}u-\ln u=\ln\left(1+\sqrt{1-u^{-2}}\right)\to\ln2,\qquad \operatorname{arsinh}u-\ln u=\ln\left(1+\sqrt{1+u^{-2}}\right)\to\ln2.

بنابراین هر دو تابع برابر ln⁡(2u)+o(1)\ln(2u)+o(1) هستند هنگام u→+∞u\to+\infty. این روابط برای بی‌نهایت مثبت‌اند. سینوس هذلولوی وارون فرد است و رفتار آن در بی‌نهایت منفی باید با این علامت سازگار باشد. دامنهٔ حقیقی کسینوس هذلولوی وارون از یک شروع می‌شود.

مثال حل‌شده. عبارت زیر برای تمام ورودی‌های مثبت به‌اندازهٔ کافی بزرگ تعریف شده است:

arcosh⁡(3x)−ln⁡x=ln⁡(3+9−x−2)⟶ln⁡6(x→+∞).\operatorname{arcosh}(3x)-\ln x=\ln\left(3+\sqrt{9-x^{-2}}\right)\longrightarrow\ln6\quad(x\to+\infty).

در مقابل، رابطهٔ ln⁡(6x)∼ln⁡x\ln(6x)\sim\ln x باعث صفرشدن تفاضل نمی‌شود؛ این تفاضل دقیقاً ln⁡6\ln6 است. خطای نسبی به‌تنهایی یک ثابت جمعی را تعیین نمی‌کند.

۴. انتخاب روش بر اساس ساختار

ساختار روش نخست شرط یا تله
عبارت پیوسته در نقطهٔ متناهی جایگذاری مستقیم حد آرگومان باید در دامنهٔ مربوط باشد
ریشهٔ مرتبهٔ n از تعداد متناهی توان مثبت کران با بزرگ‌ترین پایه مثبت‌بودن مانع حذف است
تفاضل لگاریتمی واگرا ترکیب لگاریتم‌ها و فاکتورگیری مثبت‌بودن آرگومان‌ها را بررسی کنید
تفاضل رادیکال‌ها گویاکردن با مزدوج مخرج جدید را حفظ کنید
خارج‌قسمت با آرگومان‌های کوچک هم‌ارز استاندارد یا بسط موضعی نخستین جملهٔ باقی‌مانده پس از حذف را نگه دارید
خارج‌قسمت از نوع 0/00/0 یا ∞/∞\infty/\infty هوپیتال با فرض‌های لازم مستقیماً برای جمع یا تفاضل کاربرد ندارد

برای نمونه، x2+5−x=5/(x2+5+x)→0\sqrt{x^2+5}-x=5/(\sqrt{x^2+5}+x)\to0 هنگام x→+∞x\to+\infty. در صفر، حدهای استاندارد sin⁡t/t→1\sin t/t\to1، (et−1)/t→1(e^t-1)/t\to1 و ln⁡(1+t)/t→1\ln(1+t)/t\to1 را می‌توان با متغیر داخلی‌ای ترکیب کرد که در دامنهٔ حقیقی به صفر میل می‌کند. اگر جملات غالب حذف شوند، مرتبهٔ بعدی را حفظ و باقیمانده را توجیه کنید. تقریب موضعی تیلور و همگرایی یک سری نامتناهی کامل، دو ادعای جداگانه‌اند.

۵. توان متغیر و مرتبهٔ بسط

برای پایهٔ مثبت در نزدیکی نقطهٔ حد، از f(x)g(x)=exp⁡(g(x)ln⁡f(x))f(x)^{g(x)}=\exp(g(x)\ln f(x)) استفاده کنید. ابتدا حد توان را بیابید؛ حد متناهی AA مقدار eAe^A می‌دهد و حدهای نامتناهی توان متناسب با علامت، صفر یا بی‌نهایت مثبت می‌دهند. این روش توان‌های مبهم را در دامنهٔ حقیقی معتبرشان رفع می‌کند. بسط‌های مفید برای t→0t\to0 حقیقی عبارت‌اند از:

ln⁡(1+t)=t−t22+O(t3),ln⁡cos⁡t=−t22+O(t4),ln⁡cosh⁡t=t22+O(t4).\ln(1+t)=t-\frac{t^2}{2}+O(t^3),\qquad \ln\cos t=-\frac{t^2}{2}+O(t^4),\qquad \ln\cosh t=\frac{t^2}{2}+O(t^4).

کسینوس در همسایگی کافیِ صفر مثبت است. در نتیجه [cosh⁡(kx)/cos⁡(kx)]1/x2→ek2[\cosh(kx)/\cos(kx)]^{1/x^2}\to e^{k^2}. اگر جمله‌های درجهٔ دوم حذف شوند، پیش از تقسیم بر کمیت کوچکِ مرتبهٔ چهار، بسط را ادامه دهید. تعریف‌های هذلولوی در کارت تابع‌های مقدماتی و باقیمانده‌های تیلور در کارت مشتق آمده‌اند.

برای هوپیتال، صورت مناسب 0/00/0 یا بی‌نهایت بر بی‌نهایت، مشتق‌پذیری روی بازهٔ سوراخ‌شدهٔ یک‌طرفه، ناصفربودن مشتق مخرج و وجود حد نسبت مشتق‌ها مطابق قضیه لازم‌اند. ابتدا صورت‌های دیگر را تبدیل کنید؛ مشتق‌گیری مکرر بدون بررسی فرض‌ها مجاز نیست.

۶. مجانب: معادلهٔ کامل خط را بازیابی کنید

مجانب (Asymptote) به حد واقعی نیاز دارد؛ صرف رشد نسبی کافی نیست.

نوع آزمون بررسی
قائم x=ax=a حد دست‌کم از یک طرف برابر +∞+\infty یا −∞-\infty است نزدیک‌شدن در دامنهٔ حقیقی
افقی y=Ly=L lim⁡x→+∞f(x)=L\lim_{x\to+\infty}f(x)=L یا lim⁡x→−∞f(x)=L\lim_{x\to-\infty}f(x)=L هر دو بی‌نهایت را جدا بیازمایید
مایل y=mx+by=mx+b m=lim⁡f(x)/xm=\lim f(x)/x، b=lim⁡(f(x)−mx)b=\lim(f(x)-mx)، متناهی با m≠0m\ne0 هر دو حد در یک سمت بی‌نهایت باشند

برای تابع گویا ابتدا تجزیه کنید و دامنهٔ اولیه را نگه دارید. ریشهٔ کاملاً حذف‌شدهٔ مخرج، حفرهٔ رفع‌شدنی و ریشهٔ حقیقیِ حذف‌نشده قطب می‌دهد. ریشه‌های حقیقی را با بازه‌های تغییر علامت و کران درجه بشمارید. تقسیم چندجمله‌ای در بی‌نهایت بخش چندجمله‌ای را می‌دهد؛ درجه‌های برابر، حد افقی برابر نسبت ضرایب پیشرو و اختلاف درجهٔ یک، خط مایل می‌دهند. هر خط متمایز را حتی با نزدیک‌شدن از هر دو انتها یک بار بشمارید.

مثال عرض از مبدأ. برای x>0x>0،

f(x)=x(1+1/x)−x,−xln⁡(1+1/x)=−1+12x+O(x−2),f(x)=xe+12e+O(x−1).f(x)=x(1+1/x)^{-x},\qquad -x\ln(1+1/x)=-1+\frac1{2x}+O(x^{-2}),\qquad f(x)=\frac xe+\frac1{2e}+O(x^{-1}).

پس خط y=x/e+1/(2e)y=x/e+1/(2e) است؛ f(x)∼x/ef(x)\sim x/e فقط شیب آن را می‌دهد. به‌عنوان مثال دو انتهای متفاوت، تابع 1/(e−x−1)1/(e^{-x}-1) مجانب قائم x=0x=0 و مجانب‌های افقی y=0y=0 در بی‌نهایت منفی و y=−1y=-1 در بی‌نهایت مثبت دارد.

نکتهٔ کنکوری: ابتدا مقیاس واگرای مشترک را حذف کنید: بزرگ‌ترین توان را از زیر ریشهٔ مرتبهٔ n بیرون بکشید و لگاریتم‌ها را پیش از حدگیری ترکیب کنید.

تلهٔ رایج: هم‌ارزی دو عبارت واگرا الزاماً به معنای میل‌کردن تفاضلشان به صفر نیست. همچنین نماد تابع وارون به معنای نگاشت وارون است، نه معکوس ضربی؛ پیش از ساده‌سازی، نماد و دامنه را بررسی کنید.

فرمول‌های کلیدی

Largest-base limit
lim⁡n→∞(∑j=1majn)1/n=max⁡jaj,aj>0\lim_{n\to\infty}\left(\sum_{j=1}^m a_j^n\right)^{1/n}=\max_j a_j,\quad a_j>0
Inverse hyperbolic cosine asymptotics
arcosh⁡u=ln⁡(2u)+o(1),u→+∞\operatorname{arcosh}u=\ln(2u)+o(1),\quad u\to+\infty
Asymptotic equivalence
f∼g  ⟺  fg→1f\sim g\iff\frac fg\to1
#limits#asymptotics#floor-function#continuity#intermediate-value-theorem#asymptotes#variable-exponent

کارت‌های مرتبط

مفهومریاضیات عمومی ۱ و ۲
مشتق‌ها: تقریب تیلور، وارون، نرخ تغییر و بهینه‌سازی

مشتق موضعی و مرتبهٔ تیلور را با قواعد وارون، فرض‌های مقدار میانگین، نرخ‌های علامت‌دار و بررسی کامل دامنه در بهینه‌سازی ترکیب کنید.

differentiabilitytaylor-approximationpeano-remaindermonotonicity
مفهومریاضیات عمومی ۱ و ۲
دنباله، سری و سری توانی: روابط بازگشتی، آزمون انتگرال و ضرایب

پیش از انتخاب حد، همگرایی رابطهٔ بازگشتی را ثابت کنید، دُم سری مثبت را با انتگرال مقایسه کنید و انتهاهای سری توانی را مستقل بیازمایید.

recursive-sequenceseriespower-seriesintegral-test
مفهومریاضیات عمومی ۱ و ۲
حساب چندمتغیره: تقریب خطی، مشتق مختصاتی، گرادیان و صفحهٔ مماس

حد را یکنواخت ثابت کنید، با افزایش‌های علامت‌دار تقریب خطی بسازید، مختصات ثابت را در قاعدهٔ زنجیره‌ای دنبال کنید و مشتق نیم‌خط را از نرخ گرادیانیِ هموار جدا کنید.

multivariable-limitsdifferentiabilitytotal-differentialchain-rule
مفهومریاضیات عمومی ۱ و ۲
توابع مقدماتی: دامنهٔ حقیقی، شاخه‌های وارون و اتحادهای هذلولوی

محدودیت‌های دامنهٔ تو‌در‌تو را ترکیب کنید، فقط روی شاخهٔ یک‌به‌یک وارون بگیرید و ترکیب‌ها و وارون‌های لگاریتمی هذلولوی را با دامنه و برد دقیق به دست آورید.

real-domaininverse-functionsprincipal-brancheshyperbolic-functions
مفهومریاضیات عمومی ۱ و ۲
اعداد مختلط: معادله‌های مزدوج، ریشه‌ها، هندسه و شمارش فاز

برای معادله‌های مزدوج از مؤلفه‌های دکارتی، برای هندسه از مربع اندازه‌ها و برای توان، ریشه و شمارش شامل دو انتها از فاز قطبی استفاده کنید.

complex-numbersconjugatemodulusgeometric-loci

سوالات تمرینی · 8/20

ریاضیات عمومی ۱ و ۲آسانحد و پیوستگیکنکور ارشد مدیریت کسب‌وکار (MBA) ۱۴۰۵ — سؤال ۲۱۷

مقدار lim_(x→+∞)(cosh^(-۱)√x-۱/۲ln x) کدام است؟

ریاضیات عمومی ۱ و ۲آسانحد و پیوستگیکنکور ارشد مدیریت کسب‌وکار (MBA) ۱۴۰۵ — سؤال ۲۱۸

فرض کنید x و y و z اعداد حقیقی متمایز و مثبت باشند. اگر برای هر n∈mathbb N ، a_n=n√(x^n+y^n+z^n) ، آنگاه کدام مورد برای a_n _(n=۱)^(∞) درست است؟

ریاضیات عمومی ۱ و ۲متوسطحد و پیوستگیکنکور ارشد مدیریت کسب‌وکار (MBA) ۱۴۰۰ — سؤال ۲۵۰

برد تابع f(x)=۲^x-[۳^x+۴٫۷] کدام است؟

ریاضیات عمومی ۱ و ۲متوسطحد و پیوستگیکنکور ارشد مدیریت کسب‌وکار (MBA) ۱۴۰۰ — سؤال ۲۵۱

تعداد مجانب‌های تابع f(x)=(۳x^۳+۵۰۰x^۲)/(x^۳+۵۰۰x^۲+۱۰۰x-۲۰۰۰) کدام است؟

ریاضیات عمومی ۱ و ۲سختحد و پیوستگیکنکور ارشد مدیریت کسب‌وکار (MBA) ۱۴۰۰ — سؤال ۲۵۲

مجانب منحنی y=frac x^(۱+x) (۱+x)^x به‌ازای x>۰ کدام است؟

ریاضیات عمومی ۱ و ۲آسانحد و پیوستگیکنکور ارشد مدیریت کسب‌وکار (MBA) ۱۴۰۰ — سؤال ۲۵۳

حاصل lim_(x→-∞)(ln(۱+۳^x))/(ln(۱+۲^x)) کدام است؟

ریاضیات عمومی ۱ و ۲متوسطحد و پیوستگیکنکور ارشد مدیریت کسب‌وکار (MBA) ۱۴۰۰ — سؤال ۲۵۴

حاصل lim_(x→-۱)frac ۲x^۲+۵x+۳ ۲-√(۲+√(۳-x)) کدام است؟

ریاضیات عمومی ۱ و ۲متوسطحد و پیوستگیکنکور ارشد مدیریت کسب‌وکار (MBA) ۱۴۰۰ — سؤال ۲۵۵

تابع f(x)= e^([ax]),, x<۱,; B,, x=۱,; x^ frac۱ x-۱ ,, x>۱ پیوسته است. کدام مقدار برای انتخاب a مناسب است؟

همهٔ 20 سؤال →