اعداد مختلط: معادله‌های مزدوج، ریشه‌ها، هندسه و شمارش فاز

عدد مختلط (Complex number) به صورت $z=x+iy$ تعریف می‌شود که در آن $x,y\in\mathbb R$ و $i^2=-1$ است. قسمت‌های حقیقی و موهومی آن اعداد حقیقی $\operatorname{Re}z=x$ و $\operatorname{Im}z=y$ هستند. این عدد را با بردار صفحه‌ای $(x,y)$ متناظر می‌کنیم: جمع همان جمع برداری است و ضرب، تغییر اندازه و دوران را ترکیب می‌کند.

۱. مزدوج، اندازه و آرگومان

مزدوج (Conjugate) قرینه نسبت به محور حقیقی است و اندازه (Modulus) فاصله از مبدأ را نشان می‌دهد:

\overline z=x-iy,\qquad \lvert z\rvert=\sqrt{x^2+y^2},\qquad z\overline z=\lvert z\rvert^2.

در نتیجه $\operatorname{Re}z=(z+\overline z)/2$ و $\operatorname{Im}z=(z-\overline z)/(2i)$ است. مزدوج‌گیری با جمع و ضرب سازگار است: $\overline{z+w}=\overline z+\overline w$ و $\overline{zw}=\overline z\,\overline w$ . برای $w\ne0$ ، مخرج کسر را حقیقی می‌کنیم:

\frac zw=\frac{z\overline w}{\lvert w\rvert^2},\qquad \lvert zw\rvert=\lvert z\rvert\lvert w\rvert,\qquad \left\lvert\frac zw\right\rvert=\frac{\lvert z\rvert}{\lvert w\rvert}.

برای $z\ne0$ ، فرم قطبی $z=r(\cos\theta+i\sin\theta)=re^{i\theta}$ است که در آن $r=\lvert z\rvert>0$ . آرگومان (Argument) به پیمانهٔ $2\pi$ تعیین می‌شود؛ صفر آرگومان ندارد. در ضرب، آرگومان‌ها جمع و در تقسیم تفریق می‌شوند، به پیمانهٔ $2\pi$ ، به شرط آنکه تمام اعدادی که آرگومانشان به کار می‌رود ناصفر باشند. آرگومان اصلی از یک بازهٔ مشخص، معمولاً $(-\pi,\pi]$ ، انتخاب می‌شود؛ ممکن است پس از جمع لازم باشد زاویه به این بازه بازگردانده شود.

معادله‌های دارای مزدوج

معادله‌ای که $z$ و $\overline z$ را ترکیب کند، عموماً چندجمله‌ایِ یک متغیر مختلط نیست. قرار دهید $z=x+iy$ ، مزدوج را با $\overline z=x-iy$ جایگزین کنید و قسمت‌های حقیقی و موهومی را برابر بگیرید. معادله‌های حقیقی را تجزیه کنید و پیش از تقسیم بر هر عامل، همهٔ حالت‌ها را بررسی کنید. روابط ویتا مستقیماً برای معادلهٔ ترکیبیِ دارای مزدوج کاربرد ندارند.

مثال. برای $\overline z^2+z-2=0$ ، داریم $x^2-y^2+x-2=0$ و $y(1-2x)=0$ . اگر $y=0$ ، آنگاه $x=1,-2$ . اگر $x=1/2$ ، معادلهٔ اول می‌دهد $y^2=-5/4$ که برای $y$ حقیقی ناممکن است. مجموعهٔ کامل جواب $\{1,-2\}$ است.

۲. آشکارشدن هندسه با مربع اندازه‌ها

بسط با استفاده از مزدوج می‌دهد:

\lvert z\pm w\rvert^2=\lvert z\rvert^2+\lvert w\rvert^2\pm2\operatorname{Re}(z\overline w),\qquad \lvert z+w\rvert^2-\lvert z-w\rvert^2=4\operatorname{Re}(z\overline w).

اگر $z=x+iy$ و $w=u+iv$ ، آنگاه $\operatorname{Re}(z\overline w)=xu+yv$ همان ضرب داخلی اقلیدسی حقیقی است. پس برابری اندازهٔ مجموع و تفاضل به معنای عمودبودن بردارهاست. اگر هر دو بردار ناصفر باشند، خارج‌قسمت موهومی محض و ناصفر است؛ زیرا تقسیم بر $\lvert w\rvert^2$ قسمت حقیقی صفر را تغییر نمی‌دهد و صورت ناصفر را صفر نمی‌کند. در مقابل، حقیقی‌بودن خارج‌قسمت نشانهٔ موازی‌بودن بردارهاست و خارج‌قسمت حقیقی مثبت، هم‌جهتی را نشان می‌دهد.

دو کران سودمند از هندسهٔ برداری به دست می‌آید:

\bigl\lvert\lvert z\rvert-\lvert w\rvert\bigr\rvert\le\lvert z+w\rvert\le\lvert z\rvert+\lvert w\rvert.

برای بردارهای ناصفر، تساوی در کران بالا به معنای هم‌جهتی و تساوی در کران پایین به معنای خلاف‌جهتی است. حالت‌های شامل صفر نیز در نامساوی صدق می‌کنند، اما صفر جهت ندارد.

چند جمله و خارج‌قسمت‌های دایرهٔ واحد

برای مجموعه‌ای متناهی از اعداد مختلط داریم:

\left\lvert\sum_{j=1}^m z_j\right\rvert^2=\sum_{j=1}^m\lvert z_j\rvert^2+2\operatorname{Re}\sum_{j<k}z_j\overline{z_k}.

روی دایرهٔ واحد $1/z_k=\overline{z_k}$ است. اگر همهٔ اندازه‌ها یک و مجموع صفر باشد، $\operatorname{Re}\sum_{j<k}z_j/z_k=-m/2$ . معکوس‌کردن ترتیب خارج‌قسمت، آن را مزدوج می‌کند و قسمت حقیقی ثابت می‌ماند. هر جفت بدون ترتیب را یک بار بشمارید؛ ضریب دو جملهٔ مزدوج آن را منظور می‌کند. سه جمله بدون یافتن آرگومان‌ها نتیجهٔ $-3/2$ را می‌دهد.

زاویه‌ها در رأس مشترک

از رأس $c$ ، تفاضل‌های ناصفر $u=a-c$ و $v=b-c$ را بسازید. زاویهٔ نیم‌خط‌ها $\theta\in[0,\pi]$ و زاویهٔ کوچک‌ترِ بدون جهتِ خط‌ها $\phi\in[0,\pi/2]$ است:

\cos\theta=\frac{\operatorname{Re}(u\overline v)}{\lvert u\rvert\lvert v\rvert},\qquad \tan\phi=\frac{\lvert\operatorname{Im}(u\overline v)\rvert}{\lvert\operatorname{Re}(u\overline v)\rvert}\quad\bigl(\operatorname{Re}(u\overline v)\ne0\bigr).

قسمت حقیقی صفر یعنی زاویهٔ قائمه با تانژانت تعریف‌نشده. قسمت موهومی صفر یعنی موازی‌بودن خط‌ها؛ علامت قسمت حقیقی، هم‌جهتی و خلاف‌جهتی نیم‌خط‌ها را متمایز می‌کند. برای $u=1+2i$ و $v=2+i$ ، حاصل‌ضرب $u\overline v=4+3i$ می‌دهد $\tan\phi=3/4$ و زاویهٔ نیم‌خط‌ها حاده است. این روش ضرب داخلی و دترمینان برای خط‌های قائم نیز معتبر است؛ به هندسهٔ برداری مراجعه کنید.

۳. روش مطمئن تعیین مکان هندسی

مکان هندسی (Locus) مجموعهٔ همهٔ نقاطی است که شرط را برآورده می‌کنند. ابتدا صفرهای ممنوع مخرج را ثبت کنید، سپس فاصله‌های نامنفی را به توان دو برسانید، بسط دهید و جملات را جمع کنید. مربع‌کردن تساوی اندازه‌ها عملی برگشت‌پذیر است.

شرط	معنای هندسی	قید مهم
$\lvert z-a\rvert=R$	دایره با مرکز $a$ و شعاع $R$	$R>0$ ؛ برای $R=0$ یک نقطه
$\lvert z-a\rvert=\lvert z-b\rvert$	عمودمنصف پاره‌خط	$a\ne b$
$\lvert z-a\rvert=k\lvert z-b\rvert$	دایرهٔ آپولونیوس برای $k>0$ و $k\ne1$	$a\ne b$ ؛ حالت $k=1$ یک خط است
$\operatorname{Re}(z\overline w)=0$	خط گذرنده از مبدأ و عمود بر $w$	$w\ne0$ ثابت

برای دایرهٔ سطر سوم، تکمیل مربع، مرکز $c=(a-k^2b)/(1-k^2)$ و شعاع $R=k\lvert a-b\rvert/\lvert1-k^2\rvert$ را می‌دهد. اگر شرط اولیه به صورت خارج‌قسمت باشد، پیش از دست‌کاری عبارت، $z=b$ را کنار بگذارید. در مقابل، حاصل‌ضرب با مزدوج در صفر نیز تعریف شده است.

مثال حل‌شده. فرض کنید $w=1+2i$ و به دنبال $z$ ناصفری هستیم که $\lvert z+w\rvert=\lvert z-w\rvert$ باشد. قاعدهٔ ضرب داخلی، $x+2y=0$ را می‌دهد؛ بنابراین

z=t(-2+i),\quad t\in\mathbb R\setminus\{0\},\qquad \frac zw=\frac{t(-2+i)}{1+2i}=it.

مکان هندسی خطی است که مبدأ از آن حذف شده است. انتخاب $t=1$ خارج‌قسمت $i$ را می‌دهد: قسمت حقیقی آن صفر است، اما قسمت موهومی صفر نیست.

۴. توان‌ها و ریشه‌ها در فرم قطبی

برای عدد صحیح مثبت $n$ ، فرمول دو مواور می‌دهد $z^n=r^ne^{in\theta}$ . تعداد ریشه‌های متمایز مرتبهٔ $n$ برای عدد ناصفر $re^{i\theta}$ برابر است با

z_k=r^{1/n}e^{i(\theta+2\pi k)/n},\qquad k=0,1,\ldots,n-1.

این ریشه‌ها با فاصله‌های زاویه‌ای مساوی روی دایره‌ای به شعاع $r^{1/n}$ قرار می‌گیرند. برای نمونه، ریشه‌های سوم $8$ برابر $2e^{2\pi i k/3}$ برای $k=0,1,2$ هستند. صفر فقط یک مقدار ریشهٔ متمایز دارد: خود صفر.

ریشه‌های دوم دکارتی و وابستگی علامت‌ها

برای $w=p+iq$ ، یک ریشهٔ دوم را $u+iv$ با مؤلفه‌های حقیقی بنویسید. با مربع‌کردن و گرفتن اندازه داریم:

u^2=\frac{\lvert w\rvert+p}{2},\qquad v^2=\frac{\lvert w\rvert-p}{2},\qquad 2uv=q.

این روابط بدون انتخاب شاخه مربع مؤلفه‌ها را تعیین می‌کنند. برای $w$ غیرحقیقی، علامتی برای $u$ ناصفر انتخاب و سپس $v=q/(2u)$ را تعیین کنید؛ علامت‌ها به هم وابسته‌اند. ریشهٔ دیگر قرینهٔ آن است. برای $w$ حقیقی مثبت ریشه‌ها حقیقی‌اند؛ برای $w$ حقیقی منفی موهومی محض‌اند؛ $w=0$ فقط ریشهٔ صفر دارد. قرارداد ریشهٔ اصلی، در صورت امکان قسمت حقیقی مثبت و روی محور حقیقی منفی قسمت موهومی مثبت را انتخاب می‌کند. برای $w=3+4i$ ، داریم $u^2=4$ ، $v^2=1$ و $uv=2$ ؛ پس ریشه‌ها $2+i$ و $-2-i$ هستند.

جابه‌جایی سینوس و کسینوس: شمارش فاز

از فرمول اویلر، $\operatorname{Re}(e^{i\theta})=\cos\theta$ به دست می‌آید؛ قسمت‌های حقیقی جمله‌به‌جمله جمع می‌شوند. جابه‌جایی سینوس و کسینوس فاز را عوض می‌کند:

\sin\theta+i\cos\theta=e^{i(\pi/2-\theta)},\qquad e^{i\alpha}=e^{i\beta}\iff\alpha-\beta\in2\pi\mathbb Z.

پس $\sin(n\theta)+i\cos(n\theta)=(\sin\theta+i\cos\theta)^n$ دقیقاً هنگامی برقرار است که $n\equiv1\pmod4$ برای عدد صحیح $n$ . پیش از شمارش، عامل نمایی مشترک و ناصفر را حذف کنید. برای بازهٔ صحیحِ شامل دو انتهای $L\le n\le U$ با شرط $n\equiv r\pmod d$ و $d>0$ ، تعداد برابر است با

N=\max\left(0,\left\lfloor\frac{U-r}{d}\right\rfloor-\left\lceil\frac{L-r}{d}\right\rceil+1\right).

برای نمونه، $1\le n\le21$ و $n\equiv1\pmod4$ شش جمله می‌دهد، نه پنج فاصله. قرارداد شامل‌بودن صفر در اعداد طبیعی را مشخص و کران پایین را مطابق آن تعیین کنید.

۵. تمایز عملیات نزدیک به هم

عمل	نتیجه برای $z=re^{i\theta}\ne0$	اثر
مزدوج	$\overline z=re^{-i\theta}$	قرینه‌سازی با حفظ اندازه
معکوس ضربی	$1/z=r^{-1}e^{-i\theta}$	قرینه‌سازی و معکوس‌کردن اندازه
اندازه	$\lvert z\rvert=r$	طول حقیقی نامنفی
آرگومان	$\arg z=\theta\pmod{2\pi}$	زاویه، نه بردار مختلط

نکتهٔ کنکوری: پیش از واردکردن مختصات، مربع دو اندازه را از هم کم کنید. اغلب جملهٔ مختلط تمام شرط لازم را آشکار می‌کند.

تلهٔ رایج: اصطلاح «موهومی محض» در برخی قراردادها صفر را نیز شامل می‌شود. پیش از نتیجه‌گیری دربارهٔ ناصفربودن قسمت موهومی، صورت و مخرج را جداگانه بررسی کنید؛ قواعد آرگومان و تقسیم برای مخرج صفر کاربرد ندارند.