سوالات

فرض کنید A، B، C و D مجموعه‌هایی دلخواه باشند. کدام گزینه درست نیست؟

فرض کنید A زیر مجموعه سره و ناتهی R باشد و R - A همبند باشد. کدام گزینه در مورد مجموعه A درست است؟

به چند طریق می‌توان ۵ مهره یکسان را در ۶ جعبه مرتب شدهٔ کنار هم قرار داد به‌طوری‌که دو جعبه وسطی خالی نباشد؟

تعداد T در ستون آخر جدول ارزش گزارهٔ r leftrightarrow (p leftrightarrow q) برابر است با:

چه تعداد از استنتاج‌های زیر معتبر است؟ ¬ p, p ∨ q ⊨ q p ∨ q, ¬ q ∨ r ⊨ p ∨ r p → q, s → t ⊨ (p ∨ s) → (q ∧ t)

فرمول گزاره‌ای زیر، چه تعداد زیرفرمول گزاره‌ای دارد؟ ((p → ¬ q) ∨ ((p ∧ r) → s)) → ¬ r

فرض کنید یک رابط گزاره‌ای ۲ ـ موضعی باشد به‌طوری‌که pq غلط است اگر و تنها اگر p و q ارزش متفاوتی داشته باشند. در ستون آخر جدول ارزش گزارهٔ (pp)(qq) چند T وجود دارد؟

چه تعداد از استنتاج‌های زیر در دستگاه استنتاج طبیعی برقرارند؟ (¬ p) ∨ (q → p) ⊢ ¬ p ∧ q (¬ r) → (p ∨ q), (r ∧ ¬ q) ⊢ r → q p → (q → r) ⊢ p → (r → q)

تعداد زیرمجموعه‌های مجموعهٔ توانی مجموعهٔ ∅, ∅ برابر است با:

چه تعداد از ادعاهای زیر در مورد اصل استقرا در نظریهٔ مجموعه‌ها درست است؟ حقیقتی بدیهی در مورد اعداد است. قضیه‌ای در نظریهٔ مجموعه‌هاست. یک تعریف است.

فرض کنید A مجموعهٔ همهٔ دایره‌های در صفحه با مرکز با مختصات گویا و شعاع اصم و B مجموعهٔ همهٔ رابطه‌های هم‌ارزی روی مجموعهٔ اعداد حقیقی باشد. کدام یک از ادعاهای زیر در مورد این دو مجموعه درست است؟

دو جمله A : (∃ x_1)(∀ x_2) R(x_1, x_2) و B : (∃ x_1)(∀ x_2) ¬ R(x_1, x_2) را در نظر بگیرید. فرض کنید M_1 ساختار ⟨ Q ∩ [0,1], <⟩ و M_2 ساختار ⟨ Z, <⟩ باشد. در این‌صورت:

فرمول مرتبهٔ اول زیر به‌ترتیب چه تعداد متغیر آزاد و زیرفرمول دارد؟ (∀ x)(∃ y A(x,y) → ∃ y (B(x,y,z) ∧ D(z)))

چه تعداد از خواص زیر در ساختار حسابی، بیان‌پذیر (تعریف‌پذیر) است؟ اول بودن فرد بودن مربع کامل بودن

مجموعهٔ p ∧ q, p ∨ q, p → q ، چه تعداد زیرمجموعهٔ ناتهی مستقل دارد؟

با دو اتم p و q و دو رابط → و ¬ ، چند گزارهٔ غیر همارز که تناقض یا راستگو نباشند می‌توان ساخت؟

در ستون آخر جدول ارزش گزارهٔ ((p→ p)→ p)→(q→ p) چند مورد T وجود دارد؟

چه تعداد از فرمول‌های زیر منطقاً معتبر است؟ ∀ x (φ(x)leftrightarrowψ(x))leftrightarrow(∀ x φ(x)leftrightarrow∀ x ψ(x)) ∀ x ∃ y (φ(x)∨ψ(y))→(∀ x φ(x)∨∃ y ψ(y)) (¬∀ x ∃ y θ(x,y))→∃ w ∃ z θ(w,z)

به چند طریق می‌توان یک مجموعه n عضوی را به ساختاری برای یک زبان مرتبه اول با یک نماد محمولی ۲ـ موضعی و یک نماد تابعی ۱ـ موضعی تبدیل کرد؟ ( n > ۰ )

چه تعداد از فرمول‌های زیر در یک ساختار مرتبهٔ اول دارای تساوی ارضاءپذیر هستند؟ ∀ x ∀ y (x = y) ∀ x ∀ y (x ≠ y) ∀ x ∃ y (x ≠ y)

جایگزینی ترم t = f(x,g(y)) به جای متغیر y در چه تعداد از فرمول‌های A و B و C زیر، مجاز (آزاد) است؟ A: ∀ x R(x,y) B: ∃ z (∀ x R(x,z) → s(y)) C: ∃ x ∃ z (R(x,y) → s(z))

فرمول (¬∃ z ∀ y z≤ y)∧(∀ x ∀ y ∃ z (x≤ z≤ y∨ y≤ z≤ x)) ، در چه تعداد از ساختارهای ترتیبی اعداد طبیعی، اعداد صحیح، اعداد گویا و اعداد حقیقی درست است؟

Σ یک مجموعهٔ نامتناهی از جملات در یک زبان مرتبهٔ اول است. فرض کنیم به هر زیرمجموعهٔ متناهی Σ ، می‌توان یک جملهٔ دیگر اضافه کرد به‌طوری‌که مجموعهٔ حاصل سازگار باشد. چه تعداد از ادعاهای زیر لزوماً درست…

فرض کنید A = ۱,۲,...,۱۵ . چندتا از زیرمجموعه‌های A شامل دقیقاً سه عدد فرد هستند؟

گراف K_۱۰۰ شامل چند زیرگراف یکریخت با ستاره K_(۱،۴) است؟

مجموع اعداد ۶ رقمی که با رقم‌های ۴ و ۴ و ۴ و ۱ و ۱ و ۱ ساخته می‌شوند، کدام است؟

همه عبارات زیر درباره گراف G صحیح است، به‌جز:

بستار متعدّی رابطهٔ R = (a,b),(b,c),(c,d),(d,b) دارای چند عضو است؟

درخت T که دارای ۳ رأس درجهٔ ۵ است، حداقل دارای چند برگ است؟

طبق تعریف زیر، گراف G چند یال دارد؟ هر زیر مجموعه ۳ عضوی از مجموعه x = ۱, ۲, …, ۱۰ را یک رأس G درنظر بگیرید. دو رأس A و B مجاورند اگر و تنها اگر اشتراک A و B تک عضوی باشد ( A ∩ B = ۱ ).

گراف G از مرتبه ۱۵ با مینیمم درجه δ = ۳ ، دارای ۳ مؤلفه همبندی است. تعداد حداقل و حداکثر یال‌ها را با q_min و q_max نمایش می‌دهیم. در این صورت (q_min ، q_max) کدام است؟

گراف G با مجموعه رئوس V = ۲,۳,۴,...,۲۰ به‌صورت زیر تعریف می‌شود که دو رأس i و j مجاور هستند اگر و تنها اگر i و j نسبت به هم اول باشند. کدام مورد درباره G درست است؟

با استفاده از حروف کلمهٔ falafel چند کلمه به طول ۵ می‌توان ساخت؟

چهار عدد متمایز از دنباله‌ی -۴,-۳,-۲,-۱,۱,۲,۳,۴ را انتخاب می‌کنیم. احتمال اینکه حاصل‌ضرب اعداد انتخاب شده مثبت باشد، چقدر است؟

مجموعهٔ S با 1∈ S و ضابطهٔ استقرایی x∈ S ⇒ (x+۳∈ S , (x-۲)^۲+۲∈ S) تعریف شده است. مقدار S∩ ۱,۲,…,۲۰ کدام است؟

می‌خواهیم پنج زیرمجموعه‌ی A, B, C, D, E از مجموعه‌ی X = ۱,۲,۳ انتخاب کنیم به‌طوری که A ∪ B ∪ C = D ∩ E . به چند طریق می‌توان اعضای این زیرمجموعه‌ها را انتخاب کرد؟ (پنج زیرمجموعه لزوماً متمایز نیستند.)

چند گراف کامل دو بخشی وجود دارد که قابل تجزیه به ۳ درخت فراگیر باشد؟ (در تجزیه یک گراف به چند زیرگراف، هر یال گراف دقیقاً در یک زیرگراف ظاهر می‌شود.)

اعداد مجموعه 1,2,...,n را با دو رنگ سیاه و سفید رنگ کرده‌ایم به‌طوری که تفاضل هر دو عدد سیاه، سفید است و تفاضل هر دو عدد سفید، سیاه است. حداکثر n چقدر است؟

ضریب جملهٔ x^۴ در عبارت زیر کدام است؟ (x+√۲+۱)^۸ + (x+√۲-۱)^۸ + (x-√۲+۱)^۸ + (x-√۲-۱)^۸

a و b دو رقم متمایز هستند به‌طوری که برای هر n ∈ N ، مضربی طبیعی از n با ارقام a و b وجود دارد. a و b به‌ترتیب کدام است؟