بررسی متعامد بودن دو مربع لاتین: ریاضیات گسسته، فصل ۳

ایده

دو مربع لاتین متمایز و هم‌مرتبهٔ $A$ و $B$ را کنار هم بگذار: در هر خانه یک عدد دورقمی بساز که رقم چپش از $A$ و رقم راستش از $B$ باشد (یا برعکس). اگر هیچ عدد دورقمی دو بار نیامد، متعامدند. یک تکرار هم نامتعامد بودن را ثابت می‌کند: دو خانه که در $A$ عدد یکسان دارند و در $B$ هم عدد یکسان. اگر $B$ از $A$ با یک جایگشت روی عددها ساخته شده باشد، چنین دو خانه حتماً هست.

نمونهٔ نهایی

نهایی مرداد ۱۴۰۵، سؤال ۱۵۱ نمره

جایگشت‌های $(۴ \to ۱)$ , $(۳ \to ۲)$ , $(۲ \to ۴)$ و $(۱ \to ۳)$ روی مربع لاتین $A$ ، اعمال کنید و سپس مربع حاصل را نوشته و آن را $B$ بنامید.
آیا دو مربع لاتین $A$ و $B$ متعامدند؟ چرا؟
$A = ۳ ۴ ۱ ۲ ۲ ۱ ۴ ۳ ۴ ۳ ۲ ۱ ۱ ۲ ۳ ۴$

جایگشت را روی همهٔ خانه‌های $A$ اعمال کن ( $۱ \to ۳$ و $۲ \to ۴$ و $۳ \to ۲$ و $۴ \to ۱$ ) تا $B$ ساخته شود.۰/۲۵ نمره
$۳ ۴ ۱ ۲ ۲ ۱ ۴ ۳ ۴ ۳ ۲ ۱ ۱ ۲ ۳ ۴ ⟹ B = ۲ ۱ ۳ ۴ ۴ ۳ ۱ ۲ ۱ ۲ ۴ ۳ ۳ ۴ ۲ ۱$
مربع تلفیقی را بنویس: رقم چپ هر خانه از $A$ و رقم راستش از $B$ است.۰/۲۵ نمره
$۳۲ ۴۱ ۱۳ ۲۴ ۲۴ ۱۳ ۴۱ ۳۲ ۴۱ ۳۲ ۲۴ ۱۳ ۱۳ ۲۴ ۳۲ ۴۱$
پاسخ این است که $A$ و $B$ متعامد نیستند.۰/۲۵ نمره
دلیل را از مربع تلفیقی بخوان: عدد $۳۲$ در چهار خانه تکرار شده است؛ شمارهٔ (سطر، ستون) آن‌ها در زیر آمده.۰/۲۵ نمره
$۳۲ : (۱, ۱), (۲, ۳), (۳, ۴), (۴, ۲)$

همهٔ سؤال‌های این تیپ

امتحان نهایی ۱۵

۹ سؤال دیگر