فاصله و وسط پاره‌خط: هندسه ۳، فصل ۳

ایده

فاصلهٔ دو نقطهٔ $P (x_{۱}, y_{۱}, z_{۱})$ و $Q (x_{۲}, y_{۲}, z_{۲})$ ریشهٔ مجموع مربع تفاضل مختصات‌های هم‌نام است؛ فاصله از مبدأ فقط ریشهٔ مجموع مربع مختصات‌هاست. وسط پاره‌خط $P Q$ میانگین مختصات‌های هم‌نام است: $(\frac{x _{۱} + x _{۲}}{۲}, \frac{y _{۱} + y _{۲}}{۲}, \frac{z _{۱} + z _{۲}}{۲})$ . قطر اتاق یا مکعب مستطیل فاصلهٔ دو گوشهٔ روبه‌رو است. نقطه‌ای که با محور یا صفحه داده شده، اول مختصاتش را بنویس.

∣ P Q ∣ = (x_{۲} - x_{۱})^{۲} + (y_{۲} - y_{۱})^{۲} + (z_{۲} - z_{۱})^{۲}

نمونهٔ نهایی

نهایی خرداد ۱۴۰۴، سؤال ۱۴، بخش الف۰/۷۵ نمره

الف)

نقاط $A = (۱, ۲, ۱)$ ، $B = (- ۱, ۰, - ۵)$ و $C = (- ۱, ۳, ۱)$ سه رأس یک مثلث هستند. اگر نقطهٔ $M$ وسط ضلع $A B$ باشد، طول پاره‌خط $C M$ (میانهٔ وارد بر ضلع $A B$ ) را حساب کنید.

وسط $A B$ میانگین مختصات‌های هم‌نام $A$ و $B$ است.۰/۲۵ نمره
$M = (\frac{۱ - ۱}{۲}, \frac{۲ + ۰}{۲}, \frac{۱ - ۵}{۲}) = (۰, ۱, - ۲)$
طول میانه فاصلهٔ $C (- ۱, ۳, ۱)$ تا $M$ است؛ تفاضل مختصات‌ها را مربع کن و جمع بزن.۰/۲۵ نمره
$C M = (۰ + ۱)^{۲} + (۱ - ۳)^{۲} + (- ۲ - ۱)^{۲} = ۱ + ۴ + ۹$
زیر رادیکال $۱۴$ است و مربع کامل نیست، پس همین‌طور می‌ماند.۰/۲۵ نمره
$C M = ۱۴$

همهٔ سؤال‌های این تیپ

امتحان نهایی ۱۲

۶ سؤال دیگر