باقی‌مانده با قضیهٔ تقسیم: ریاضیات گسسته، فصل ۱

ایده

قضیهٔ تقسیم: هر عدد صحیح $a$ را بر عدد طبیعی $b$ یکتا به شکل $a = b q + r$ با $۰ \leq r < b$ می‌نویسند. اگر باقی‌مانده‌ها را داده‌اند، هر عدد را به این شکل بنویس، عبارت خواسته‌شده را بر حسب $q$ ها بسط بده و مضرب‌های مقسوم‌علیه را جدا کن. باقی‌مانده باید در بازهٔ $۰ \leq r < b$ باشد؛ اگر منفی شد، مقسوم‌علیه را اضافه و از ضریب کم کن. مثلاً $- ۲۵ = ۷ \times (- ۴) + ۳$ و باقی‌مانده $۳$ است، نه $- ۴$ .

نمونهٔ نهایی

نهایی خرداد ۱۴۰۴، سؤال ۵۱/۵ نمره

اگر باقی‌مانده تقسیم دو عدد صحیح $m$ و $n$ بر $۱۹$ به ترتیب $۴$ و $۵$ باشد، آن‌گاه باقی‌مانده تقسیم عدد $(۳ m - ۵ n)$ بر $۱۹$ را به‌دست آورید.

$m$ و $n$ را با قضیهٔ تقسیم بنویس.۰/۵ نمره
$m = ۱۹ q_{۱} + ۴, n = ۱۹ q_{۲} + ۵$
هر تساوی را در ضریبی که در عبارت $۳ m - ۵ n$ آمده ضرب کن.۰/۵ نمره
$۳ m = ۱۹ q_{۳} + ۱۲, ۵ n = ۱۹ q_{۴} + ۲۵$
تفاضل را بنویس و باقی‌مانده را به بازهٔ $۰ \leq r < ۱۹$ برگردان.۰/۵ نمره
$۳ m - ۵ n = ۱۹ (q_{۳} - q_{۴}) - ۱۳ = ۱۹ (q_{۳} - q_{۴} - ۱) + ۶ \Rightarrow r = ۶$

همهٔ سؤال‌های این تیپ

امتحان نهایی ۹

۳ سؤال دیگر