آمار و احتمالProbability & Statistics

یک تاس ناسالم را که شانس آمدن هر خال متناسب با مقدار آن خال است، ۶ بار به‌طور مستقل پرتاب می‌کنیم. احتمال مشاهده هر خال در ۶ بار پرتاب کدام است؟

در یک سیستم توزیع‌شده، احتمال خطای هر گره (Node) در روز ۰٫۰۱ است. اگر سیستم ۱۰۰ گره مستقل داشته باشد، احتمال اینکه حداقل دو گره در یک روز خطا دهند، تقریباً کدام است؟

فرض کنید (X , Y) دارای چگالی توأم f(x,y)=e^(-۴x-y/۴) و x,y>۰ باشند. مقدار E(X-Y)^۲ کدام است؟

کارخانه‌ای مدعی است که حداقل ۹۰ درصد از تولیدات آن سالم هستند. در یک نمونه تصادفی ۴۰۰ تایی، حداقل چند کالای سالم باید مشاهده شود تا فرض H_0: p ≥ 0/9 را در سطح معنی‌داری ۰/۰۵ پذیرفت؟ (z_(0/95)=1/64…

مدل رگرسیون y_i = β_0 x_i^(β_1)ε_i را در نظر بگیرید که در آن i=۱،۲،۳،...،n بوده و ε_i ‌ها متغیرهای تصادفی لـگ نرمال مستقل با پارامتر موقعیت صفر و پارامتر مقیاس σ هستند. برآوردکننده پارامتر β_1 از روش…

یک تاس چهارطرفه پرتاب می‌شود. اگر نتیجه پرتاب یک یا دو باشد، تاس دوباره پرتاب می‌شود. در غیراین‌صورت، پرتاب تاس متوقف می‌شود. اگر مجموع اعداد روی تاس در دو پرتاب حداقل چهار باشد، با چه احتمالی نتیجه…

فرض کنید B_۱, B_۲, …, B_n پیشامدهای دوبه‌دو مجزا با احتمال‌های مثبت باشند. اگر B = bigcup_(j=۱)^n B_j و A یک پیشامد دلخواه باشد به‌طوری‌که P(A B_j) = p ؛ (j = ۱, …, n) ، مقدار P(A B) کدام است؟

فرض کنید متغیر تصادفی X ، دارای تابع چگالی احتمال به‌صورت زیر باشد: f(x)= e^(-x),, x ≥ ۰ ; ۰,, در غیر این‌صورت امید ریاضی تابع g(X)=۲/۳e^(۲/۳x) ، کدام است؟

فرض کنید در ظرفی ۴ توپ وجود دارد که θ تای آنها آبی و بقیه قرمز هستند. برای آزمون فرض H_0:θ=۲ در مقابل H_1:θ ≠ ۲ ، دو توپ از این ظرف انتخاب می‌کنیم. اگر هر دو توپ از یک رنگ باشند، آنگاه H_0 را رد…

برای برازش یک مدل خطی ساده به فرم y = α + β x + ε براساس یک نمونه تصادفی ۲۵تایی، خلاصه اطلاعات زیر حاصل شده است: ∑_(i=1)^25 x_i = 50, ∑_(i=1)^25 y_i = 75, ∑_(i=1)^25 x_i^2 = 125, ∑_(i=1)^25 y_i^2 =…

فرض کنید A ، B و C سه پیشامد با اطلاعات زیر باشند. الف ــ P(A∩ B∩ C)=۰/۱۳ ب ــ P(AcapB∩ C)=۰/۱۵ ج ــ P(C AΔ B)=۰/۵ د ــ P(B)=۳ P(A) هـ ــ A و B مستقل از هم باشند. مقدار P(A) کدام است؟ ( AΔ B تفاضل…

دستگاهی به‌طور مداوم فعالیت‌های لرزه‌ای را در یک منطقه دورافتاده اندازه‌گیری می‌کند. زمان تا خرابی این دستگاه (T) دارای توزیع نمایی با میانگین ۳ است. از آنجایی که دستگاه در طول دو سالِ اول کار خود…

فرض کنید X و Y دارای تابع احتمال توأم زیر باشند. P(∘ < X+Y < 1/2) کدام است؟ f_(X,Y)(x,y)=۲ I_((∘,y))(x) I_((∘,۱))(y) (در اینجا I_A(·) تابع نشانگر مجموعهٔ A است؛ یعنی چگالی روی مثلث ∘<x<y<۱ برابر ۲ و…

فرض کنید X_1 و X_2 متغیرهای تصادفی مستقل از توزیع زیر باشند. P(X_i = ۱) = P(X_i = -۱) = ۱/۲, i = ۱, ۲ کدام مورد نادرست است؟

در یک مدل رگرسیون چندگانه با ۳ متغیر پیشگو و n = ۲۰۸ داده، مقادیر MSR = ۹۴٫۷۴۶ و MSE = ۶۹٫۱۵۴ حاصل شده است. کدام مورد درست است؟ (سطح اطمینان ۹۵ درصد و F_(0.95,3,∞) = ۲٫۶ )

در یک جلسه، تعداد ۱۰ نفر از اعضا به‌صورت کاملاً تصادفی بر روی صندلی‌های یک میزگرد با ۱۰ صندلی می‌نشینند. احتمال اینکه ۳ نفر مشخص کنار هم نشسته باشند، کدام است؟

در داخل یک مستطیل با ابعاد ۵ و ۳ به‌صورت تصادفی یک نقطه A (مطابق شکل) انتخاب می‌کنیم و متغیر تصادفی X را فاصله نقطه A تا نزدیک‌ترین ضلع مستطیل تعریف می‌کنیم. میانگین متغیر تصادفی X کدام است؟ X =…

تابع چگالی احتمال مشترک دو متغیر تصادفی X و Y به‌صورت زیر است. f_XY(x,y)= x+y,, ۰≤ x, y≤ ۱ 2pt] ۰,, o.ws. اگر Z=min X, Y ، میانگین متغیر تصادفی Z کدام است؟

تابع چگالی احتمال مشترک در متغیر تصادفی X و Y به‌صورت زیر است. f_XY(x,y)= ۲y e^(-۲x-y),, x≥ ۰, y≥ ۰; ۰,, o.w. کوواریانس در متغیر تصادفی X و Y کدام است؟

تابع چگالی احتمال مشترک در متغیر تصادفی X و Y به‌صورت زیر است: f_XY(x,y)= c,, x≥ ۰, y≤ e^(-x); ۰,, o.w. که c یک مقدار ثابت است. اگر مقدار مشاهده‌شده متغیر تصادفی x=۱ باشد، بهترین تخمین متغیر تصادفی Y…

سه توپ مشابه با شماره‌های ۱ و ۲ و ۳ داخل یک جعبه قرار دارند. به‌صورت تصادفی یکی از توپ‌ها را از جعبه خارج و شماره آن را یادداشت کرده و دوباره توپ را به جعبه برمی‌گردانیم. فرایند خارج کردن توپ را…

تابع چگالی احتمال متغیر تصادفی X به‌صورت زیر است: f_X(x) = A e^(-x^۲+x) که A یک عدد ثابت است. واریانس متغیر تصادفی Y = ۴X + ۱ کدام است؟

متغیرهای تصادفی گسسته X و Y دارای تابع جرم‌های احتمالی P(X,Y) مطابق جدول زیر هستند (سطرها X=0,1,2 و ستون‌ها Y=0,1,2 ): X backslash Y 0 1 2 --- --- --- --- 0 1/16 1/8 1/16 1 1/8 1/4 1/8 2 1/8 1/8 0…

تابع چگالی احتمال مشترک دو متغیر تصادفی به‌صورت زیر است: f_XY(x,y)= 8xy,, 1≥ x≥ y≥ 0 2pt] 0,, سایر احتمال P[Y>X^2] ، کدام است؟

تابع چگالی مشترک دو متغیر تصادفی X و Y روی ناحیه هاشورخورده مقدار ثابت و بقیه جاها صفر است (ناحیه هاشورخورده مثلثی است که با محورهای مختصات و پاره‌خط واصل (۱,۰) به (۰,۱) محدود شده، یعنی x>0, y>0…

تعداد ۹ توپ شامل ۳ توپ از رنگ‌های سفید، آبی و زرد را به‌طور کاملاً تصادفی بین سه نفر به‌طور مساوی تقسیم می‌کنیم. احتمال اینکه هر شخص توپ‌هایی از هر سه رنگ داشته باشد، چقدر است؟

اگر دو نقطه به‌صورت تصادفی در فاصلهٔ [۰ , ۲] انتخاب کنیم، احتمال اینکه فاصلهٔ آن‌ها از ۱/۲ بیشتر باشد، کدام است؟

تابع چگالی احتمال متغیر تصادفی X به‌صورت f_X(x) = A e^(-π x^2) است. واریانس متغیر تصادفی Y = lvert X rvert کدام است؟

تابع چگالی مشترک دو متغیر تصادفی X و Y به‌صورت زیر است. اگر Z = XY باشد، P[Z > ۱/۲] کدام است؟ f_XY(x,y) = x+y, ۰ ≤ x ≤ ۱ , ۰ ≤ y ≤ ۱ ; ۰, سایر

فرض کنید X و Y دو متغیر تصادفی نرمال مستقل با میانگین صفر و واریانس ۱ باشند. میانگین متغیر تصادفی Z = cosh(X+Y) ، کدام است؟