فرمولمدیریت سرمایه‌گذاری و ریسک مدل CAPM، بتا و تعادل بازار

مدل قیمت‌گذاری دارایی‌های سرمایه‌ای (CAPM)، بتا، خط بازار اوراق بهادار و خط بازار سرمایه

چارچوب کامل تعادلی برای قیمت‌گذاری ریسک — تفکیک ریسک کل به اجزای سیستماتیک و غیرسیستماتیک، اندازه‌گیری بخش قیمت‌گذاری‌شده با بتا، خواندن بازده مورد انتظار از روی خط بازار اوراق بهادار، مقایسهٔ آن با خط بازار سرمایه، و تبدیل بازده لازم به قیمت تعادلی. بازیابی خط APT تک‌عاملی و تمایز آلفای تحقق‌یافته از ریسک پسماند نیز پوشش داده می‌شود.

کارت فرمول کنکور ارشد مدیریت

اهمیت

۰/۵

مدل قیمت‌گذاری دارایی‌های سرمایه‌ای (capital asset pricing model, CAPM) نظریه‌ای تعادلی است که می‌گوید بازدهی که سرمایه‌گذار می‌تواند از یک دارایی مطالبه کند تنها به یک چیز بستگی دارد: اینکه آن دارایی تا چه اندازه همراه با کل بازار حرکت می‌کند. منطق آن این است که سرمایه‌گذار عقلایی از پیش پرتفویی به‌خوبی متنوع‌شده در اختیار دارد، پس نوسان‌های خاص هر شرکت در یک ورقهٔ بهادار منفرد یکدیگر را خنثی می‌کنند و بنابراین در بازار هیچ ارزشی ندارند؛ آنچه خنثی‌شدنی نیست — یعنی آن بخش از بازده دارایی که عامل فراگیر اقتصادی آن را می‌راند — تنها ریسکی است که بابت تحمل آن به کسی پاداش داده می‌شود. آن بخش تنوع‌ناپذیر با بتا (beta, $\beta$ )، یعنی حساسیت بازده دارایی نسبت به بازده بازار، اندازه‌گیری می‌شود و رابطهٔ خطی میان $\beta$ و بازده مورد انتظار به‌صورت خط بازار اوراق بهادار (security market line, SML) ترسیم می‌شود. همتای آن، خط بازار سرمایه (capital market line, CML)، پرتفوی‌های کارا را در برابر ریسک کل آن‌ها یعنی $\sigma$ قیمت‌گذاری می‌کند، نه دارایی‌های منفرد را در برابر ریسک سیستماتیکشان. از آنجا که خروجی CAPM یک نرخ بازده مورد انتظار (لازم) است، این مدل هم‌زمان یک ماشین تولید نرخ تنزیل نیز هست: به‌محض آنکه $E(r)$ معلوم شد، قیمت تعادلی دارایی برابر است با ارزش فعلی بازده مورد انتظار آن با همان نرخ.

۱. خاستگاه — سرچشمه و صاحبان نظریه

CAPM طبقهٔ دوم ساختمانی دوطبقه است و هر طبقه صاحب مشخصی دارد.

لایه	صاحب نظریه	سهم
انتخاب پرتفوی	هری مارکویتز (Harry Markowitz)، Portfolio Selection (۱۹۵۲)	ریسک = واریانس؛ تنوع‌بخشی از طریق کوواریانس اثر می‌کند؛ مجموعهٔ بهترین ترکیب‌های ریسک–بازده همان مرز کارا (efficient frontier) است
دارایی بدون ریسک	جیمز توبین (James Tobin) (۱۹۵۸)	قضیهٔ تفکیک (separation theorem): با امکان وام‌دهی و وام‌گیری با نرخ $r_f$ ، همهٔ سرمایه‌گذاران همان پرتفوی ریسکی واحد را نگه می‌دارند و ریسک را فقط از طریق ترکیب با دارایی بدون ریسک تنظیم می‌کنند
قیمت‌گذاری تعادلی	ویلیام شارپ (William F. Sharpe) (۱۹۶۴)، جان لینتنر (John Lintner) (۱۹۶۵)، یان موسین (Jan Mossin) (۱۹۶۶)، بر پایهٔ کار منتشرنشدهٔ جک ترینر (Jack Treynor)	اگر همه همان پرتفوی ریسکی واحد را نگه دارند، در تعادل آن پرتفوی ناگزیر همان پرتفوی بازار (market portfolio) است و بازده لازم هر دارایی نسبت به کوواریانس آن با بازار خطی می‌شود — همان CAPM/SML
سنجش عملکرد	جک ترینر (نسبت ترینر)، مایکل جنسن (Michael Jensen) (۱۹۶۸، آلفای جنسن)	تبدیل مدل به معیاری برای داوری دربارهٔ مدیر سرمایه‌گذاری
جانشینان	استیون راس (Stephen Ross)، نظریهٔ قیمت‌گذاری آربیتراژ (۱۹۷۶)؛ یوجین فاما و کنت فرنچ (Fama & French)، مدل سه‌عاملی (۱۹۹۳)	APT یک یا چند عامل را می‌پذیرد؛ فاما–فرنچ عامل‌هایی به مدل بازار می‌افزاید
نقد	ریچارد رول (Richard Roll) (۱۹۷۷)	پرتفوی بازار واقعی (کل ثروت) مشاهده‌ناپذیر است، پس CAPM عملاً آزمون‌پذیر نیست — فقط جانشین‌ها (proxy) آزمون می‌شوند

شارپ جایزهٔ نوبل اقتصاد ۱۹۹۰ را دقیقاً بابت همین خط پژوهشی، همراه با مارکویتز و مرتون میلر، دریافت کرد.

مسئله‌ای که برای حل آن ابداع شد. مارکویتز به سرمایه‌گذار می‌گفت کدام پرتفوی‌ها کارا هستند، اما پاسخی به پرسش عملی‌ای که یک بنگاه یا تحلیلگر واقعاً با آن روبه‌روست نمی‌داد: این یک ورقهٔ بهادار باید چه بازدهی ارائه کند تا نگهداری‌اش بیرزد؟ داوری دربارهٔ یک دارایی منفرد بر مبنای انحراف معیار خودش نادرست است، چون بیشتر آن انحراف معیار به‌محض پیوستن دارایی به یک پرتفوی از میان می‌رود. CAPM این مسئله را با شناسایی بخش قیمت‌گذاری‌شدهٔ ریسک و نسبت‌دادن قیمتی خطی به آن حل کرد، به‌گونه‌ای که نرخ حداقل قابل قبول یک طرح (نرخ بازده مورد انتظار) به‌جای حدس‌زدن، از داده‌های بازار استخراج شود.

فروض. خودِ فروض نیز مستقلاً قابل طرح در آزمون‌اند:

فارسی	English	محتوا
انتظارات همگن	homogeneous expectations	همهٔ سرمایه‌گذاران میانگین‌ها، واریانس‌ها و کوواریانس‌های یکسانی برآورد می‌کنند
افق تک‌دوره‌ای	single-period horizon	یک دورهٔ نگهداری مشترک
وام‌دهی و وام‌گیری بدون ریسک	risk-free lending and borrowing	نامحدود و با نرخ یکسان $r_f$
بازار کامل	perfect markets	بدون مالیات، بدون هزینهٔ معاملاتی، بدون محدودیت فروش استقراضی، همهٔ دارایی‌ها قابل معامله و قابل تجزیه
رفتار میانگین–واریانس	mean-variance optimizers	سرمایه‌گذاران ریسک‌گریزند و تنها به $E(r)$ و $\sigma$ اهمیت می‌دهند
قیمت‌پذیری	price takers	هیچ سرمایه‌گذاری آن‌قدر بزرگ نیست که قیمت‌ها را تکان دهد

۲. ساختار — خودِ چارچوب

۲.۱ تفکیک ریسک به دو بخش

مدل تک‌شاخصی / مدل بازار (single-index — market model) بازده هر دارایی را به‌صورت یک جزء بازاری به‌علاوهٔ یک جزء خاص شرکت می‌نویسد:

R_i=\alpha_i+\beta_i R_M+\varepsilon_i, \qquad \operatorname{Cov}(\varepsilon_i,R_M)=0, \qquad \operatorname{Cov}(\varepsilon_i,\varepsilon_j)=0

واریانس‌گرفتن از دو طرف و استفاده از آن دو شرط تعامد، تجزیه‌ای را می‌دهد که کل نظریه بر آن استوار است:

\sigma_i^{2}=\underbrace{\beta_i^{2}\sigma_M^{2}}_{\text{systematic}}+\underbrace{\sigma^{2}(\varepsilon_i)}_{\text{unsystematic}}

	ریسک سیستماتیک	ریسک غیرسیستماتیک
English	systematic / market / non-diversifiable risk	unsystematic / firm-specific / diversifiable / residual risk
منابع	تورم، نرخ بهره، رکود، نرخ ارز، جنگ، سیاست‌گذاری	اعتصاب، دعوای حقوقی، شکست یک محصول، تغییر مدیریت
اندازه‌گیری با	$\beta_i$ (و $\beta_i^{2}\sigma_M^{2}$ )	$\sigma^{2}(\varepsilon_i)$
با تنوع‌بخشی حذف می‌شود؟	خیر	بله — با افزایش $n$ به سمت صفر میل می‌کند
بابتش بازده پرداخت می‌شود؟	بله	خیر — تحمل آن یک انتخاب است، نه یک خدمت

نتیجهٔ عملی: با متنوع‌شدن پرتفوی، $\sigma_p$ با ثابت‌بودن بتا به کف سیستماتیک خودِ پرتفوی نزدیک می‌شود؛ واریانس پسماند یک پرتفوی با وزن‌های برابر به‌صورت $\overline{\sigma^{2}(\varepsilon)}/n$ کوچک می‌شود.

۲.۲ بتا — معیار ریسک سیستماتیک

\beta_i=\frac{\operatorname{Cov}(R_i,R_M)}{\sigma_M^{2}} =\frac{\rho_{iM}\,\sigma_i\,\sigma_M}{\sigma_M^{2}} =\rho_{iM}\,\frac{\sigma_i}{\sigma_M}

سه اتحاد، بیشتر محاسبات این حوزه را انجام می‌دهند:

اتحاد	صورت	کاربرد
بتای پرتفوی	$\beta_p=\sum_{i=1}^{n} w_i\,\beta_i$	بتا یک میانگین موزون است — برخلاف واریانس، خطی است و هیچ جمله‌ای از کوواریانس در آن ظاهر نمی‌شود
کوواریانس دو دارایی	$\operatorname{Cov}(R_i,R_j)=\beta_i\,\beta_j\,\sigma_M^{2}$	کوواریانس سهم‌به‌سهم را به بتاها تبدیل می‌کند، چون تنها چیز مشترک میان دو شرکت همان بازار است
مبناها	$\beta_M=1$ ، $\beta_{r_f}=0$	چون $\operatorname{Cov}(R_M,R_M)=\sigma_M^{2}$ ، و دارایی بدون ریسک با هیچ چیز کوواریانس ندارد

خواندن یک بتا:

مقدار $\beta$	فارسی	معنا
$\beta>1$	سهم تهاجمی	تهاجمی: بازار را تشدید می‌کند — حرکت $+1\%$ بازار یعنی $+\beta\%$
$\beta=1$	خنثی / هم‌وزن بازار	همراه با بازار حرکت می‌کند؛ به‌لحاظ سیستماتیک جانشین خود بازار است
$0<\beta<1$	سهم تدافعی	تدافعی: واکنش تضعیف‌شده (خدمات عمومی، کالاهای اساسی)
$\beta=0$	بدون ریسک سیستماتیک	با بازار همبستگی ندارد؛ بازده لازم $=r_f$
$\beta<0$	بتای منفی	ابزار پوشش ریسک (به‌طور کلاسیک دارایی‌هایی مانند طلا): بازده لازم کمتر از $r_f$

۲.۳ خط بازار اوراق بهادار — SML

\boxed{\;E(R_i)=r_f+\beta_i\bigl[E(R_M)-r_f\bigr]\;}

جزء	فارسی	تفسیر
$r_f$	نرخ بازده بدون ریسک	عرض از مبدأ — بهای زمان
$E(R_M)-r_f$	صرف ریسک بازار	شیب — بهای یک واحد بتا؛ معمولاً با $MRP$ نشان داده می‌شود
$\beta_i\bigl[E(R_M)-r_f\bigr]$	صرف ریسک دارایی	صرف ریسکی که همین دارایی کسب می‌کند
$E(R_i)$	نرخ بازده مورد انتظار (لازم)	بازده لازم، یعنی نرخ تنزیل درست برای آن دارایی

SML با $\beta$ روی محور افقی رسم می‌شود. در تعادل، هر دارایی — کارا یا ناکارا، یک سهم منفرد به همان اندازهٔ یک پرتفوی — دقیقاً روی خط قرار می‌گیرد. انحراف از خط همان آلفای جنسن (Jensen's alpha) است:

\alpha_i=E(R_i)^{\text{expected by the analyst}}-\Bigl[r_f+\beta_i\bigl(E(R_M)-r_f\bigr)\Bigr]

آلفای جنسنِ تحقق‌یافته (realized Jensen alpha) برابر $\alpha_{p,t}=R_{p,t}-[r_{f,t}+\beta_p(R_{M,t}-r_{f,t})]$ است: مثبت، صفر یا منفی. این بازده توضیح‌داده‌نشده با بازار، ممکن است پسماند تصادفی هم داشته باشد؛ ریسک غیرسیستماتیک، واریانس پسماند است. عرض از مبدأِ بازده خام در بند ۲.۱ آلفای جنسن نیست؛ رگرسیون جنسن از بازده‌های مازاد استفاده می‌کند.

۲.۳الف APT تک‌عاملی: بازیابی خط قیمت‌گذاری

نظریهٔ قیمت‌گذاری آربیتراژ راس (arbitrage pricing theory, APT) می‌تواند یک یا چند عامل مشترک داشته باشد. در حالت تک‌عاملی:

E(R_i)=a+b_i\lambda,\qquad \lambda=\frac{E(R_B)-E(R_A)}{b_B-b_A},\qquad a=E(R_A)-b_A\lambda

در اینجا $b_i$ مواجهه با عامل، $\lambda$ صرف آن و $a$ عرض از مبدأِ مواجههٔ صفر است. از دو پرتفوی متنوع تعادلی با بارهای متفاوت استفاده کنید. با وجود دارایی بدون ریسک، نبود آربیتراژ $a=r_f$ را نتیجه می‌دهد؛ مقدار عددی آن را نسازید و عامل را الزاماً بازار فرض نکنید.

مثال: $(b_A,E(R_A))=(0.5,0.08)$ و $(b_B,E(R_B))=(1.5,0.16)$ می‌دهند

\lambda=\frac{0.16-0.08}{1.5-0.5}=0.08,\quad a=0.08-0.5(0.08)=0.04,\quad E(R_C)=0.04+0.25(0.08)=0.06=6\%

CAPM مشخصاً بتای بازار و صرف ریسک بازار را تحمیل می‌کند؛ صرف داشتن بار عاملی در APT، این شناسایی را ثابت نمی‌کند.

۲.۴ خط بازار سرمایه — CML

ترکیب دارایی بدون ریسک با پرتفوی بازار، مرزی مستقیم در فضای $(\sigma, E(r))$ می‌سازد:

E(R_p)=r_f+\underbrace{\frac{E(R_M)-r_f}{\sigma_M}}_{\text{Sharpe ratio of the market}}\;\sigma_p

شیب آن قیمت بازاری ریسک (market price of risk) است. برای پرتفویی که وزن $w$ را در بازار و $1-w$ را در دارایی بدون ریسک نگه می‌دارد (که $w>1$ به معنای وام‌گیری با نرخ $r_f$ است — یک پرتفوی اهرمی، leveraged portfolio):

E(R_p)=r_f+w\bigl[E(R_M)-r_f\bigr], \qquad \sigma_p=w\,\sigma_M, \qquad \beta_p=w

چون $\varepsilon$ با تنوع‌بخشی حذف شده است، یک پرتفوی کارا در رابطهٔ $\sigma_p=\beta_p\sigma_M$ صدق می‌کند و CML و SML برای آن بازده مورد انتظار یکسانی می‌دهند. برای هر چیز دیگری — هر دارایی منفرد، هر پرتفوی ناکارا — CML اکیداً بالاتر قرار می‌گیرد و تنها SML معتبر است.

۲.۵ از بازده لازم تا قیمت تعادلی

CAPM دارایی‌ها را مستقیماً قیمت‌گذاری نمی‌کند؛ بلکه نرخ تنزیلی را می‌سازد که این کار را انجام می‌دهد:

P_0=\frac{E(P_1)+E(D_1)}{1+E(r)}, \qquad E(r)=r_f+\beta\bigl[E(R_M)-r_f\bigr]

این موضوع، ایستایی‌های مقایسه‌ای را کاملاً روشن می‌کند:

شوک	چه چیزی حرکت می‌کند	اثر
خبر دربارهٔ جریان‌های نقدی یا قیمت آیندهٔ شرکت	فقط صورت کسر	قیمت یک‌باره به اندازهٔ ارزش فعلی خبر جهش می‌کند؛ $E(r)$ بدون تغییر
تغییر در $\beta$ ، $r_f$ یا صرف ریسک بازار	مخرج کسر	بازده لازم تغییر می‌کند و قیمت به‌طور معکوس بازتعیین می‌شود
افزایش $r_f$ با ثابت‌ماندن صرف ریسک	عرض از مبدأ	انتقال موازی به بالای SML
افزایش ریسک‌گریزی / صرف ریسک بازار	شیب	SML حول $r_f$ به سمت بالا دوران می‌کند

۳. طرز به‌کارگیری — نحوهٔ استفاده

الف. محاسبهٔ بازده لازم (تمرین گام‌به‌گام).

۱. $\sigma_M^{2}$ را به دست آورید — اگر انحراف معیار داده شده است، ابتدا $\sigma_M$ را به توان دو برسانید. ۲. $\beta$ را به دست آورید: $\operatorname{Cov}(R_i,R_M)$ را بر $\sigma_M^{2}$ تقسیم کنید؛ یا از $\rho_{iM}\sigma_i/\sigma_M$ استفاده کنید؛ یا اگر تنها کوواریانس سهم‌به‌سهم در دسترس است، رابطهٔ $\operatorname{Cov}(R_i,R_j)=\beta_i\beta_j\sigma_M^{2}$ را وارون کنید؛ برای یک پرتفوی، میانگین موزون بتاها را بگیرید. ۳. صرف ریسک بازار را مشخص کنید. اگر صورت سؤال $E(R_M)$ را داده باشد، صرف ریسک برابر $E(R_M)-r_f$ است؛ اما اگر خودِ «صرف ریسک بازار» را داده باشد، دیگر $r_f$ را کم نکنید. ۴. در رابطهٔ SML جایگذاری کنید. ۵. اگر قیمت خواسته شده است، بازده مورد انتظار را با همان نرخ تنزیل کنید تا قیمت تعادلی به دست آید.

ب. قاعدهٔ تصمیم‌گیری.

موقعیت	آلفا	حکم	اقدام
بالای SML قرار می‌گیرد	$\alpha>0$	بیش از آنچه ریسک اقتضا می‌کند بازده می‌دهد ⇒ کم‌ارزش‌گذاری‌شده (undervalued)	خرید؛ فشار خرید $P_0$ را بالا می‌برد تا $\alpha\to0$
روی SML قرار می‌گیرد	$\alpha=0$	قیمت‌گذاری منصفانه (تعادلی)	نگهداری — این همان تعادلی است که هر دارایی به سمت آن رانده می‌شود
زیر SML قرار می‌گیرد	$\alpha<0$	کمتر از آنچه بتایش اقتضا می‌کند می‌پردازد ⇒ بیش‌ارزش‌گذاری‌شده (overvalued)	فروش / فروش استقراضی؛ فشار فروش $P_0$ را پایین می‌آورد تا $\alpha\to0$

به جهت این تعدیل توجه کنید: این قیمت است که حرکت می‌کند و بازده مورد انتظار همراه آن به روی خط بازمی‌گردد. دارایی‌ای که قیمتش تصحیح شده باشد، بازده مورد انتظار غیرعادی خود را حفظ نمی‌کند.

ج. سایر کاربردهای استاندارد. خروجی $E(r)$ همان هزینهٔ سرمایهٔ سهام عادی (cost of equity) در محاسبهٔ WACC، نرخ تنزیل در ارزش فعلی خالص (NPV)، و همان $r$ در مدل گوردون $P_0=D_1/(r-g)$ است. ارزیابی عملکرد از همین ورودی‌ها به سه شکل استفاده می‌کند:

\text{Sharpe}=\frac{\bar R_p-r_f}{\sigma_p}, \qquad \text{Treynor}=\frac{\bar R_p-r_f}{\beta_p}, \qquad \text{Jensen}=\alpha_p

۴. مثال حل‌شده — نمونهٔ کوچک

فرض کنید $r_f=10\%$ ، $E(R_M)=20\%$ و $\sigma_M=20\%$ ، پس $\sigma_M^{2}=0.04$ و صرف ریسک بازار برابر $20\%-10\%=10\%$ است. سهم $i$ دارای $\operatorname{Cov}(R_i,R_M)=0.048$ و ریسک کل $\sigma_i=30\%$ است.

گام ۱ — بتا.

\beta_i=\frac{0.048}{0.04}=1.2 \qquad\text{(aggressive: it amplifies the market by 20 percent)}

وارسی متقابل از راه ضریب همبستگی: $\rho_{iM}=\dfrac{0.048}{0.30\times0.20}=0.8$ و در واقع $\beta_i=0.8\times\dfrac{0.30}{0.20}=1.2$ .

گام ۲ — چه بخشی از ریسک آن اصلاً قیمت‌گذاری می‌شود.

\sigma_i^{2}=0.09 =\underbrace{(1.2)^{2}(0.04)}_{0.0576\;\text{systematic}} +\underbrace{0.0324}_{\text{unsystematic}}

پس $0.0576/0.09=64\%$ از واریانس این سهم سیستماتیک است (این نسبت دقیقاً برابر $\rho_{iM}^{2}=0.8^{2}$ است) و $36\%$ باقی‌مانده درون یک پرتفوی متنوع محو می‌شود و هیچ بازدهی کسب نمی‌کند.

گام ۳ — بازده لازم، از روی SML.

E(R_i)=10\%+1.2\,(20\%-10\%)=10\%+12\%=22\%

گام ۴ — قیمت تعادلی. اگر انتظار رود ارزش سهم یک سال بعد $1{,}220$ ریال باشد (قیمت به‌علاوهٔ سود تقسیمی)، آنگاه

P_0=\frac{1{,}220}{1+0.22}=1{,}000\ \text{rials}

گام ۵ — قیمت‌گذاری نادرست و تصحیح آن. فرض کنید تحلیلگری در عوض، بازده پایان سال را $1{,}250$ پیش‌بینی کند در حالی که سهم همچنان به قیمت $1{,}000$ معامله می‌شود. بازده مورد انتظار آن برابر $1{,}250/1{,}000-1=25\%$ است، پس

\alpha=25\%-22\%=+3\%>0

سهم بالای SML قرار می‌گیرد و کم‌ارزش‌گذاری‌شده است؛ خرید، قیمت را به $1{,}250/1.22=1{,}024.6$ ریال می‌رساند و در آن نقطه بازده مورد انتظار دوباره $22\%$ و $\alpha=0$ می‌شود.

گام ۶ — خبر خالص، بدون تغییر در ریسک. اگر خبری خوب، بازده مورد انتظار پایان سال را $122$ ریال افزایش دهد در حالی که $\beta$ ، $r_f$ و صرف ریسک دست‌نخورده بمانند، نرخ تنزیل همان $22\%$ می‌ماند و تنها صورت کسر حرکت می‌کند:

\Delta P_0=\frac{122}{1.22}=100\ \text{rials}\quad(1{,}000\to1{,}100)

گام ۷ — سمت CML. سرمایه‌گذاری که $50\%$ از سرمایهٔ خود را با نرخ $r_f$ وام می‌گیرد و $w=1.5$ را در پرتفوی بازار می‌گذارد، به این نتیجه می‌رسد:

E(R_p)=10\%+1.5\,(10\%)=25\%, \qquad \sigma_p=1.5\times20\%=30\%

که دقیقاً روی CML می‌نشیند: $10\%+\dfrac{20\%-10\%}{20\%}\times30\%=25\%$ . توجه کنید که سهم $i$ نیز $\sigma=30\%$ دارد اما انتظار می‌رود تنها $22\%$ بازده بدهد — ریسک کل یکسان، سه واحد درصد بازده کمتر، چون یک‌سوم ریسک آن قیمت‌گذاری نمی‌شود. همین شکاف همان تفاوت میان CML و SML است.

۵. اشتباه نشود با… — موارد اشتباه‌گرفته‌شده

SML در برابر CML — تمایز کلاسیک

	خط بازار اوراق بهادار (SML)	خط بازار سرمایه (CML)
محور افقی	$\beta$ — فقط ریسک سیستماتیک	$\sigma_p$ — ریسک کل
معادله	$E(R_i)=r_f+\beta_i[E(R_M)-r_f]$	$E(R_p)=r_f+\frac{E(R_M)-r_f}{\sigma_M}\sigma_p$
شیب	صرف ریسک بازار	نسبت شارپ بازار (قیمت بازاری ریسک)
چه چیزی روی آن می‌نشیند	هر دارایی و پرتفوی، در تعادل	فقط پرتفوی‌های کارا (ترکیب‌های $r_f$ و بازار)
نقاط خارج از خط یعنی	قیمت‌گذاری نادرست ( $\alpha\neq0$ )	صرفاً ناکارایی — نه قیمت‌گذاری نادرست
پرتفوی بازار روی آن در کجاست	$\beta=1$	$\sigma=\sigma_M$

خطوط و مدل‌های همسایه

زوج	تفاوت واقعی	آزمونی که آن‌ها را جدا می‌کند
SML در برابر خط مشخصه (characteristic line, SCL)	SML: بازده مورد انتظار در برابر $\beta$ در میان دارایی‌ها؛ SCL: بازده مازاد تحقق‌یافتهٔ یک دارایی، رگرسیون‌شده بر بازده مازاد بازار، در طول زمان	شیب SCL همان $\beta$ و عرض از مبدأ آن $\alpha$ است؛ شیب SML صرف ریسک بازار و عرض از مبدأ آن $r_f$ است
CAPM در برابر APT (نظریهٔ قیمت‌گذاری آربیتراژ)	CAPM: تک‌عاملی، بنا شده بر تعادل و ترجیحات میانگین–واریانس؛ APT: یک یا چند عامل مشترک مشخص، ساختار عاملی و نبود آربیتراژ	CAPM به بتای بازار نیاز دارد؛ قیمت‌گذاری عاملی می‌تواند APT تک‌عاملی باشد
CAPM در برابر مدل سه‌عاملی فاما–فرنچ	عامل‌های اندازه (SMB) و ارزش (HML) را به عامل بازار می‌افزاید	هر اشاره‌ای به اندازه یا نسبت ارزش دفتری به بازار، CAPM را کنار می‌گذارد
CAPM در برابر مدل تک‌شاخصی (single-index/market model)	CAPM یک گزارهٔ تعادلی دربارهٔ بازده‌های مورد انتظار است؛ مدل بازار یک توصیف آماری از بازده‌های تحقق‌یافته است	مدل بازار دارای $\alpha$ و $\varepsilon$ است؛ CAPM آلفای جنسنِ بازده مازاد مورد انتظار را $\alpha=0$ می‌داند، نه عرض از مبدأِ بازده خام را
CAPM در برابر گوردون/DDM	CAPM نرخ تنزیل $r$ را تولید می‌کند؛ گوردون از همان $r$ برای تبدیل سودهای تقسیمی به قیمت استفاده می‌کند	این دو گام‌های پیاپی‌اند، نه رقیب: $P_0=D_1/(r-g)$ با $r$ برگرفته از SML
مرز کارا (efficient frontier) در برابر CML	مرز دارایی‌های ریسکی یک منحنی است؛ افزودن $r_f$ مرز جدید را به خطی مستقیم بدل می‌کند که در پرتفوی بازار بر آن مماس است	CML مستقیم است و از $r_f$ آغاز می‌شود؛ مرز مارکویتز منحنی است و از پرتفوی با حداقل واریانس آغاز می‌شود

معیارهای ریسک که جابه‌جا گرفته می‌شوند

زوج	تفاوت واقعی	آزمونی که آن‌ها را جدا می‌کند
$\beta$ در برابر $\sigma$	ریسک سیستماتیک (مربوط به درون یک پرتفوی) در برابر ریسک کل (تنها برای نگهداری منفرد مربوط است)	دو دارایی می‌توانند $\sigma$ یکسان و $\beta$ های متفاوت داشته باشند؛ تنها $\beta$ وارد SML می‌شود
کوواریانس در برابر همبستگی در برابر بتا	$\operatorname{Cov}$ بی‌کران و وابسته به واحد است؛ $\rho\in[-1,1]$ ؛ $\beta=\operatorname{Cov}/\sigma_M^{2}=\rho\,\sigma_i/\sigma_M$	مخرج آن‌ها را شناسایی می‌کند: $\sigma_i\sigma_M$ به $\rho$ می‌رسد و $\sigma_M^{2}$ به $\beta$
سیستماتیک در برابر غیرسیستماتیک	تنوع‌ناپذیر و پاداش‌دار در برابر تنوع‌پذیر و بدون پاداش	عبارت «قابل حذف با تنوع‌بخشی» در صورت سؤال همیشه به شاخهٔ غیرسیستماتیک اشاره دارد
بازده مورد انتظار بازار در برابر صرف ریسک بازار	$E(R_M)$ در برابر $E(R_M)-r_f$	اگر صورت سؤال بگوید «صرف ریسک بازار ۸ درصد»، مستقیماً $\beta$ را در $8\%$ ضرب کنید؛ یک‌بار دیگر کم‌کردن $r_f$ رایج‌ترین لغزش در CAPM است
شارپ در برابر ترینر در برابر جنسن	بازده مازاد به ازای هر واحد $\sigma$ ، در برابر به ازای هر واحد $\beta$ ، در برابر فاصلهٔ عمودی از SML	شارپ برای کل ثروت سرمایه‌گذار؛ ترینر و جنسن برای یک جزء از پرتفویی که از پیش متنوع شده است

نکتهٔ کنکوری: سه معیار تمایز تقریباً هر پرسش CAPM را حل می‌کند. (۱) مخرج بتا، واریانس بازار است — پیش از تقسیم، $\sigma_M$ را به توان دو برسانید، و اگر آنچه به شما داده‌اند کوواریانس میان دو سهم است، با رابطهٔ $\operatorname{Cov}(R_i,R_j)=\beta_i\beta_j\sigma_M^{2}$ پل بزنید (سهمی با $\beta=1$ جانشین خود بازار است). (۲) بتا میانگین موزون است، واریانس نیست — $\beta$ یک پرتفوی برابر $\sum w_i\beta_i$ است بدون هیچ جملهٔ کوواریانسی، اما $\sigma$ آن هرگز چنین نیست. (۳) خبر صورت کسر را تکان می‌دهد، ریسک مخرج را — اعلانی دربارهٔ جریان‌های نقدی، دارایی را به اندازهٔ ارزش فعلی آن خبر و با همان بازده لازمِ بدون تغییر بازقیمت‌گذاری می‌کند و دارایی دوباره روی SML می‌نشیند؛ تنها تغییر در $\beta$ ، $r_f$ یا صرف ریسک بازار می‌تواند خودِ $E(r)$ را تغییر دهد. با توجه به نمرهٔ منفی، نخست محورها را به‌عنوان ابزار حذف به کار ببرید: هر گزینه‌ای که یک سهم منفرد را روی CML بنشاند، یا یک پرتفوی ناکارا را جایی جز SML قرار دهد، پیش از هر محاسبه‌ای غلط است.

فرمول‌های کلیدی

Beta from covariance with the market

\beta_i=\frac{\operatorname{Cov}(R_i,R_M)}{\sigma_M^{2}}=\rho_{iM}\,\frac{\sigma_i}{\sigma_M}

Single-index (market) model

R_i=\alpha_i+\beta_i R_M+\varepsilon_i,\qquad \operatorname{Cov}(\varepsilon_i,R_M)=0

Decomposition of total risk

\sigma_i^{2}=\beta_i^{2}\sigma_M^{2}+\sigma^{2}(\varepsilon_i)

Covariance between two assets via their betas

\operatorname{Cov}(R_i,R_j)=\beta_i\,\beta_j\,\sigma_M^{2}

Portfolio beta (a weighted average)

\beta_p=\sum_{i=1}^{n} w_i\,\beta_i,\qquad \beta_M=1,\quad \beta_{r_f}=0

Security market line (CAPM)

E(R_i)=r_f+\beta_i\bigl[E(R_M)-r_f\bigr]

Jensen's alpha (distance from the SML)

\alpha_i=E(R_i)-\Bigl[r_f+\beta_i\bigl(E(R_M)-r_f\bigr)\Bigr]

Capital market line

E(R_p)=r_f+\frac{E(R_M)-r_f}{\sigma_M}\,\sigma_p

Leveraged portfolio on the CML (weight w in the market)

E(R_p)=r_f+w\bigl[E(R_M)-r_f\bigr],\qquad \sigma_p=w\,\sigma_M,\qquad \beta_p=w

Equilibrium price from the CAPM required return

P_0=\frac{E(P_1)+E(D_1)}{1+E(r)}

Repricing after cash-flow news (discount rate unchanged)

\Delta P_0=\frac{\Delta\bigl[E(P_1)+E(D_1)\bigr]}{1+E(r)}

Performance measures built on CAPM

\text{Sharpe}=\frac{\bar R_p-r_f}{\sigma_p},\qquad \text{Treynor}=\frac{\bar R_p-r_f}{\beta_p},\qquad \text{Jensen}=\alpha_p

One-factor APT pricing and line recovery

E(R_i)=a+b_i\lambda,\qquad\lambda=\frac{E(R_B)-E(R_A)}{b_B-b_A},\qquad a=E(R_A)-b_A\lambda

Realized Jensen alpha

\alpha_{p,t}=R_{p,t}-[r_{f,t}+\beta_p(R_{M,t}-r_{f,t})]

#capm#beta#security-market-line#capital-market-line#systematic-risk#equilibrium-price#jensens-alpha

کارت‌های مرتبط

فرمولمدیریت مالی

ارزش زمانی پول و بازده مرکب

کل دستگاه ارزش زمانی پول — مرکب کردن و تنزیل، چهار ضریب بهره، همهٔ الگوهای اقساط/عایدی دائمی/رشد، نرخ اسمی در برابر نرخ مؤثر، و بازده مرکب (هندسی) چنددوره‌ای همراه با نامساوی میانگین حسابی–هندسی که بر آن حاکم است.

time-value-of-moneypresent-valueannuity-factorsgrowing-perpetuity

فرمولمدیریت مالی

تنزیل سود تقسیمی و مدل رشد گوردون (Dividend Discount & the Gordon Growth Model)

ارزش هر سهم را برابر ارزش فعلی جریان سودهای تقسیمی مورد انتظار آن می‌گیرد و — تحت فرض رشد ثابت و دائمی — این جریان را در فرمول گوردون P0 = D1/(ke - g) خلاصه می‌کند؛ همراه با قاعدهٔ زمان‌بندی، اتحادهای نرخ رشد ضمنی و رشد پایدار، و بسط‌های چندمرحله‌ای.

gordon-growth-modeldividend-discount-modelstock-valuationrequired-rate-of-return

مفهوممدیریت مالی

ساختار سرمایه، اهرم، سپر مالیاتی و سیاست تقسیم سود

چگونه ترکیب بدهی/سهام ممتاز/حقوق صاحبان سهام و هزینه‌های ثابت آن، ریسک، هزینهٔ سرمایهٔ پس از مالیات و ارزش شرکت را تعیین می‌کند — قضایای مودیلیانی و میلر، سپر مالیاتی بهره، نظریهٔ توازن در برابر سلسله‌مراتب تأمین مالی، و تصمیم پرداخت از سود نقدی تا تجزیهٔ سهام. دوپونت با ضریب حقوق مالکانه بازده سازگار دارایی و حقوق مالکانه را پیوند می‌دهد؛ نگهداشت سود و سیاست تأمین مالی ثابت، بازده حقوق مالکانه را به رشد مرتبط می‌کنند. تفکیک رشد داخلیِ بدون تأمین مالی خارجی از رشد پایدار با اهرم ثابت، و تفسیر شکاف کل منابع در برابر شکاف سهام جدید با مخرج‌های بازده سازگار. تطبیق نرخ تنزیل پروژه با ریسک و شناخت تعهدات ثابت اجارهٔ تأمین مالی. هزینهٔ انتشار سهام ممتاز خالص وجوه را کاهش می‌دهد؛ رابطهٔ تغییرات سود انباشته، سود نقدی را از سود پس از بهره و مالیات بازیابی می‌کند.

capital-structurefinancial-leverageinterest-tax-shieldpecking-order-theory

سوالات تمرینی · 8/22

مدیریت سرمایه‌گذاری و ریسکمتوسطمدل CAPM، بتا و تعادل بازارکنکور ارشد مدیریت ۱۴۰۵ — سؤال ۲۰۲

انحراف‌معیار بازده بازار ۲۰ درصد و کوواریانس بین بازده‌های دو سهم A و B برابر ۸ درصد است. اگر بتای سهم A یک باشد، بتای سهم B چقدر است؟

مدیریت سرمایه‌گذاری و ریسکمتوسطمدل CAPM، بتا و تعادل بازارکنکور ارشد مدیریت ۱۴۰۵ — سؤال ۲۱۰

قیمت تعادلی دارایی A در بازار ۱٬۰۰۰ ریال و نرخ بازده مورد انتظار آن طبق CAPM، ۴۰ درصد است. با انتشار خبر خوب که انتظار می‌رود قیمت A در یک سال بعد ۴۲۰ ریال بیش از پیش‌بینی قبلی باشد، قیمت تعادلی هر…

مدیریت سرمایه‌گذاری و ریسکمتوسطمدل CAPM، بتا و تعادل بازارکنکور ارشد مدیریت ۱۴۰۴ — سؤال ۱۹۶

بازده موردانتظار سبد سرمایه‌گذاری «الف» با بتای ۱/۲، معادل ۴۲ درصد است. اگر بازده موردانتظار سبد بازار ۴۰ درصد باشد، با کاهش بتای این سبد به ۰/۸، میزان کاهش در بازده موردانتظار آن چند درصد خواهد شد؟

مدیریت سرمایه‌گذاری و ریسکآسانمدل CAPM، بتا و تعادل بازارکنکور ارشد مدیریت ۱۴۰۴ — سؤال ۱۹۸

طبق نظریه بازار سرمایه، کدام ریسک در بازار قیمت‌گذاری می‌شود؟

مدیریت سرمایه‌گذاری و ریسکمتوسطمعیارهای ریسک و بازدهکنکور ارشد مدیریت ۱۴۰۴ — سؤال ۱۹۹

کدام معیار عملکرد، نیاز به مقایسه با مقدار دیگری ندارد؟

مدیریت سرمایه‌گذاری و ریسکمتوسطمدل CAPM، بتا و تعادل بازارکنکور ارشد مدیریت ۱۴۰۴ — سؤال ۲۰۲

انحراف‌معیار سبد سرمایه‌گذاری A، ۱/۵ برابر انحراف‌معیار سبد بازار (M) است. اگر بتای سبد A، ۰/۳ باشد، نسبت واریانس غیرسیستماتیک به کل واریانس سبد A، چند درصد است؟

مدیریت سرمایه‌گذاری و ریسکمتوسطمدل CAPM، بتا و تعادل بازارکنکور ارشد مدیریت ۱۴۰۴ — سؤال ۲۰۳

انحراف‌معیار بازده سبد سرمایه‌گذاری بازار (M)، ۲۰ درصد است و سه دارایی زیر روی خط بازار اوراق بهادار (SML) قرار دارند. ترتیب صعودی این دارایی‌ها براساس «نسبت واریانس غیرسیستماتیک به کل واریانس» کدام…

مدیریت سرمایه‌گذاری و ریسکمتوسطمدل CAPM، بتا و تعادل بازارکنکور ارشد مدیریت ۱۴۰۴ — سؤال ۲۰۵

مقدار شاخص شارپ سبد سرمایه‌گذاری P برابر یک، واریانس غیرسیستماتیک ۳۰ و واریانس کل آن ۴۰ درصد است. همبستگی بازده این سبد با سبد بازار (M)، چند درصد است؟

همهٔ 22 سؤال →