سوالات

با بررسی نتایج یک تحقیق در مورد اینترنت دانش‌آموزان مشخص شد، ۹۶ درصد اینترنت ثابت، ۴۲ درصد اینترنت همراه و ۳۹ درصد هم اینترنت ثابت و هم اینترنت همراه دارند. چند درصد دانش‌آموزان اصلاً اینترنت ندارند؟

فرض کنیم چهار کارتن شبیه به هم برای قرار دادن ظروف در اختیار داریم. با این فرض که ممکن است بعضی کارتن‌ها خالی بمانند به چند روش می‌توان نه ظرف مختلف را در این کارتن‌ها قرار داد؟

فرض کنیم x(G,k) = k(k-1)^3f(k) چند جمله‌ای رنگی گراف زیر باشد. در این‌صورت f(۴) در کدام بازه قرار دارد؟

دو عبارت زیر را در نظر بگیرید (گراف‌ها ساده هستند): (الف) فرض کنیم G یک گراف از مرتبه n ≥ ۱۱ باشد. در این‌صورت حداقل یکی از G یا G̅ غیرمسطح است. (ب) فرض کنیم G یک گراف همبند مسطح از مرتبه n < ۱۲…

شماره دانشجویی زهرا ۶۳۲۸۳۶۳ است. او ارقام شماره دانشجویی و تعداد تکرار هر رقم را می‌داند ولی ترتیب آن‌ها را فراموش کرده است ولی می‌داند که اولین ۶ قبل از اولین ۳ است. چند شماره مختلف با این شرایط…

فرض کنیم A ضریب x^۲ و B ضریب x^۵ در تابع dfrac 1+x^۳ (۱+x)^۳ باشد. A + B چقدر است؟

چند عدد چهار رقمی با ارقام ۹ و ... و ۱ و ۰ وجود دارد به‌طوری‌که ارقام مجاور یکسان نباشند؟ (اولین رقم سمت چپ نمی‌تواند صفر باشد.)

چند دنباله به طول ۷ با نمادهای ۱ و ۰ وجود دارد که شامل سه صفر متوالی باشد؟ (مثلاً اگر شامل چهار صفر متوالی باشد، شامل سه صفر متوالی هم خواهد بود.)

شخصی ۷ دوست دارد. به چند روش او می‌تواند زیرمجموعه‌هایی ۴ عضوی از این دوستانش را در هر ۷ شب متوالی برای شام دعوت کند به‌طوری‌که هر دو نفر از این دوستانش دقیقاً در یک شب با هم دعوت شده باشند؟

تعداد ارزش‌دهی‌های درست و غلط (۰,۱) به s , r , q , p که ارزش گزارهٔ زیر را درست (یک) می‌کند، چند است؟ (p ∨ q) → (r ∨ s)

حداقل چند نفر داشته باشیم تا مطمئن باشیم حداقل ۳ نفر از آنها در یک ماه و در یک روز هفته (مثلاً خرداد و دوشنبه) به‌دنیا آمده‌اند؟

چند عدد ۶ رقمی با ارقام ۵ و ۷ وجود دارد که مضرب ۳ باشد؟

به چند طریق می‌توان ۳ عدد متمایز از مجموعه‌ی ۲۰۲۲, …, ۱۴۰۲, ۱۴۰۱ انتخاب کرد به‌طوری که حاصل‌ضرب ۳ عدد انتخاب‌شده، زوج باشد؟

تعداد توابع ‎ f: 1,2,…,8 → 1,2,…,10 ‎ که ‎ f(2)≤ f(5) ‎ چند است؟

یک جدول ۸×۱۰ داریم که همه خانه‌های آن در ابتدا سفید است. به چند طریق می‌توان ۳ خانه از آن را سیاه کرد به‌طوری‌که هیچ ۲ خانه سیاهی در یک سطر یا در یک ستون واقع نباشد؟

تابع مولد دنباله a_n = ۲n - ۱ , ∀ n ≥ ۰ کدام مورد است؟

دنباله بازگشتی a_0 = -1 ; a_1 = 4 ; a_n = 4(a_(n-1) - a_(n-2)) ∀ n ≥ 2 را درنظر بگیرید، بزرگ‌ترین توان از ۲ که a_۴۳ را عاد می‌کند چند است؟

کدام دنباله یا دنباله‌ها از دنباله‌های زیر به‌ازای همه مقادیر حقیقی a_0, a_1 همگراست؟ (الف) 4a_n = 4a_(n-1) - a_(n-2) (∀ n ≥ 2) (ب) 6a_n = 7a_(n-1) - 2a_(n-2) (∀ n ≥ 2)

به چند طریق می‌توان دو رأس از گراف زیر را انتخاب کرد به طوری که دارای رأس همسایه مشترک باشند؟ ترتیب دو رأس انتخاب شده مهم نیست. (دو رأس را همسایه گوییم هرگاه بین آنها یال باشد.)

فرض کنید Y → X : f تابع باشد و A ⊆ X و B ⊆ Y، کدام گزینه درست است؟

فرض کنید S، R و T رابطه‌هایی دوتایی در مجموعه ناتهی A هستند. کدام گزینه درست است؟

فرض کنید Y → X : f یک تابع با خاصیت زیر باشد: ∀ A, B ⊆ X (A ∩ B = ∅ ⇒ f(A) ∩ f(B) = ∅) کدام گزینه درست است؟

نقیض گزارهٔ زیر کدام است؟ «مجموعه A عضوی دارد که با هیچ عضو مجموعه B برابر نیست.»

فرض کنید R رابطه‌ای روی مجموعهٔ ناتهی X باشد به‌گونه‌ای که R ∪ R^(-1) = X^2 . سه خاصیت انعکاسی، تقارنی و تعدی را درنظر می‌گیریم. رابطهٔ R ضرورتاً چند تا از این خاصیت‌ها را دارد؟

به چند طریق می‌توان ۲۰ ورزشکار را به ۵ گروه دونفره و ۲ گروه پنج نفره تقسیم نمود؟

کدام موارد قضیه هستند؟ (الف) ((p ∧ q) ⇒ r) ⇔ ((p ⇒ r) ∧ (q ⇒ r)) (ب) ((p ∨ q) ⇒ r) ⇔ ((p ⇒ r) ∨ (q ⇒ r))

موارد زیر مفروض است: p= هوا سرد است. q= باران می‌بارد. r= نیاز به پوشیدن کلاه است. s= نیاز به پوشیدن بارانی است. کدام گزینه بیان‌گر گزاره زیر است؟ «اگر نه هوا سرد باشد نه باران ببارد، نه نیاز به…

برای یک مجموعهٔ x، منظور از P(x)، مجموعهٔ توانی x است. A و B دو مجموعهٔ دلخواه هستند. کدام گزینه ممکن است نادرست باشد؟

اعضای مجموعه‌ی ۰ ∪ℕ را به‌طور استقرایی چنین تعریف می‌کنیم: ∘ = ∅ n = (n-1) ∪ n-1 (∀ n ∈ N) در این‌صورت ۱ و ۲ به‌ترتیب چند عضوی هستند؟

اثبات کدام یک از گزاره‌های زیر نیازمند اصل انتخاب است؟ (الف) برای هر مجموعه‌ی x، رابطه‌ی ترتیب کلی ≤ روی x وجود دارد به‌طوری که برای هر y ⊆ x با y ≠ ∅ ، مجموعه‌ی y دارای بزرگ‌ترین عضو است. (ب) فرض…

A یک مجموعه سازگار و غیر ماکسیمال از گزاره‌هاست. چند تا از گزاره‌های زیر الزاماً درست است؟ (الف) گزاره‌ای مانند P وجود دارد که P ∉ A و مجموعه A ∪ P سازگار است. (ب) برای هر گزاره مانند P ، یکی از دو…

چه تعدادی از عبارت‌های زیر به‌عنوان فرمولی در منطق مرتبه اول درست هستند؟ الف) ∀ x[p(x) → Q(x)] ∧ ∀ x p(x) → ∀ x Q(x) ب) ∀ x ∃ y p(x,y) → ∃ y p(y,y) ج) ∀ y[p(x) → Q(x,y)] → [p(x) → ∀ y Q(x,y)]

کدام گزینه در مورد استدلال زیر درست است؟ فرض ۱: همه پدرها مرد هستند. فرض ۲: بعضی مردها مهربان هستند. حکم: بعضی پدرها مهربان هستند.

فرض کنید: H: خوشحال بودن من C: دقیق‌بودن منشی من T: پیداکردن شغل بهتر کدام گزینه بهترین ترجمه برای گزاره مرکب زیر با نمادهای فوق است؟ «من خوشحال می‌شوم فقط اگر منشی من دقیق باشد، اما اگر منشی من دقیق…

«هر کسی که از همهٔ بسکتبالیست‌ها بلندقدتر است از همهٔ فوتبالیست‌ها بلندقدتر است.»

کدام گزینه در مورد دو استدلال زیر درست است؟ (الف) مقدمه‌ها: ¬(s∧ t) ، ¬ w→ t . نتیجه: ∴ s→ w . (ب) مقدمه‌ها: ¬(¬ p∨ q) ، ¬ z→¬ s ، (p∧¬ q)→ s ، ¬ z∨ r . نتیجه: ∴ r .

فرض کنیم A و B دو مجموعه باشند و a ∈ A و b ∈ B . با توجه به تعریف زوج مرتب (a,b) در نظریهٔ مجموعه‌ها کدام گزینه در مورد عبارت‌های زیر درست است؟ (الف) (a,b) ∈ P(P(A ∪ B)) (ب) a,b ∈ bigcup (a,b)

فرض کنیم X یک مجموعه استقرائی باشد، تعریف می‌کنیم: A_1 = x ∈ X : x ⊆ X A_2 = x ∈ X : x متعدی است کدام گزینه صحیح است؟

فرض کنیم γ اوردینال ناصفر باشد که برای هر β < γ و α داشته باشیم α+β < γ . کدام یک از عبارت‌های زیر درست است؟ (الف) برای هر α < γ داریم α + γ = γ . (ب) γ اوردینال تالی است.

فرض کنیم P یک نماد محمولی یک‌موضعی باشد. بخش زیر از یک استنتاج در سیستم استنتاج طبیعی را در نظر بگیرید. کدام گزینه درست است؟ ⋮ ; hline P(y), z = y ⊢ P(z) ; hline P(y) ⊢ z = y → P(z) ; hline P(y) ⊢ ∀…