سوالات

فرض کنیم A مجموعه همه توابع یک‌به‌یک و پوشا از [۰،۱] به [۰،۱] باشد. یعنی A = f : [۰،۱] → [۰،۱] یک‌به‌یک و پوشا است f. کدام گزینه در مورد مجموعه A صحیح است؟

در زبان L_<= < شامل یک رابطه دوتایی، فرض کنیم نظریه ترتیب‌های خطی چگال بدون نقاط انتهایی باشد و σ_۱ و σ_۲ دو جمله به‌طوری باشند که DLO∪ σ_۱ و DLO∪ σ_۲ هر دو سازگار باشند. فرض کنیم ساختارهای U_۱ و U_۲…

عبارت‌های زیر را در منطق گزاره‌ها در نظر می‌گیریم: (الف) هر مجموعه ارضاء شدنی (Satisfiable) از فرمول‌ها سازگار است. (ب) برای هر مجموعه از فرمول‌ها مانند Σ و فرمول φ اگر Σ ⊢ φ آنگاه Σ ⊨ φ . کدام گزینه…

فرض کنیم θ یک فرمول بدون سور در زبان منطق مرتبه اول باشد و ψ_1 = ∀ x_1 … ∀ x_n θ و ψ_2 = ∃ x_1 … ∃ x_n θ . فرض کنیم U زیرساخت B و s : V → U یک مقداردهی به متغیرها باشد. چه تعداد از موارد زیر درست…

فرض کنیم A مجموعه همه توابع از ...,۰,۱,۲ = w به w، B مجموعه همه توابع یک‌به‌یک و پوشا از w به w باشند و C=P(w). از مجموعه‌های A و B و C چه تعدادی از آن‌ها با مجموعه P(w)×P(w) هم‌توان (هم‌عدد) هستند؟

مقدار عبارت ∑_(k=0)^5C(6, k)C(7, 5-k) چقدراست؟

از ۱۳۶ دانشجوی یک دانشکده ۷۸ دانشجو علاقه‌مند به زبان فرانسوی، ۳۲ دانشجو علاقه‌مند به زبان آلمانی و ۵۷ دانشجو علاقه‌مند به زبان انگلیسی هستند. همچنین ۱۳ دانشجو علاقه‌مند به هر دو زبان آلمانی و…

یک مثلث متساوی‌الاضلاع که طول هر ضلع آن ۲۷ است را درنظر می‌گیریم. در مرحله اول هر ضلع آن را به سه قسمت مساوی تقسیم نموده و به جای بخش وسطی یک مثلث متساوی‌الاضلاع جدید (مطابق شکل) قرار می‌دهیم. در…

فرض کنید C صفحه شطرنجی خانه‌های هاشور نخورده (شامل ۲۴ خانه) باشد. ضریب x^3 در چند جمله‌ای رخی صفحه C چقدر است؟

فرض کنیم x تعداد رشته‌هایی به طول هشت با ارقام ۰٬۱٬...٬۹ باشد به‌طوری‌که رقمی در آن رشته وجود داشته باشد که حداقل سه بار ظاهر شده است. اگر قرار دهیم y = x / ۱٬۰۰۰٬۰۰۰ در این‌صورت y در کدام بازه قرار…

تابع مولد دنباله ۲, ۳, ۴, ۵,... کدام است؟

تعداد زیردرخت‌های فراگیر گراف مقابل چند است؟

چند مکعب مستطیل ۱×۲×۳ درون یک مکعب ۵×۵×۵ قرار دارد؟

مجموع اعداد ۵ رقمی با ارقام فرد متمایز (مثلاً ۳۱۹۷۵)، یک عدد چند رقمی است؟

فرض کنید k کوچک‌ترین عدد طبیعی است که در هر زیرمجموعه k عضوی از انسان‌ها حداقل ۳ نفر وجود داشته باشند که در یک قاره و یک فصل سال به دنیا آمده‌اند. تعداد قاره‌ها را ۶ فرض کنید. k در چه بازه‌ای قرار…

اگر برای هر n که n ≥ ۲ داشته‌باشیم aₙ = ۵aₙ₋₁ − ۶aₙ₋₂ و نیز a₀ , a₁ توأمان صفر نباشند، lim (n→∞) aₙ/aₙ₋₁ چند است؟

تعداد اعداد ۱۰ رقمی با ارقام ۱ و ۵ که مضرب ۳ باشند، چند است؟

گزاره‌های زیر مفروض‌اند: الف) گراف ۳ منتظمی وجود دارد که تطابق کامل ندارد. ب) گراف ۴ منتظمی وجود دارد که تطابق کامل ندارد. کدام گزاره‌های فوق درست است؟

گزاره‌های زیر مفروض‌اند: الف) اگر مکمل گراف G ناهمبند باشد آن‌گاه G همبند است. ب) یک گراف ساده با دنباله درجات ۱، ۳، ۳، ۴، ۵، ۶، ۶ وجود دارد. ج) U یک رأس درجه فرد در گراف ساده است. یک مسیر از U به یک…

گزاره‌های زیر مفروض‌اند: الف) فرض کنیم G یک گراف n رأسی با عدد رنگی x(G) و عدد استقلال α(G) باشد. در این‌صورت x(G) ≥ n/α(G) . ب) فرض کنیم G گرافی است که حداکثر m رأس از درجه حداکثر n دارد و مابقی…

فرض کنیم G=(V,E) یک گراف همیلتونی باشد و ∅ ≠ S ⊆ V که m= S و k تعداد مؤلفه‌های همبندی G-S باشد. فرض کنیم P دور همیلتونی G باشد و H=(V,E(P)) و a,b,c به‌ترتیب تعداد رأس، تعداد یال و تعداد مؤلفه‌های…

به چند روش می‌توان حروف عبارت NNBCDEOIF را مرتب کرد به‌طوری که فقط دو حرف صدادار کنار هم باشند؟

پنج تاس مختلف که به‌روی وجوه آن‌ها اعداد ۱ تا ۶ نوشته شده است را درنظر می‌گیریم. علی این ۵ تاس را همزمان پرتاب می‌کند و مجموع اعداد ظاهر شده بر روی وجوه بالایی آن‌ها به‌عنوان امتیاز علی درنظر گرفته…

چند عدد ۱۰ رقمی با ارقام ۳، ۵، ۶، ۸ وجود دارد به‌طوری که مجموع رقم‌های آن زوج باشد؟

چند درخت بدون برچسب (بدون شماره) از مرتبه ۸ وجود دارد که درجه هر رأس آن ۱ یا ۳ باشد؟

کدام گزینه زبان منطق گزارهٔ زیر است؟ هیچ عضو مجموعهٔ A، به مجموعه B تعلق ندارد.

فرض کنید R یک رابطه روی مجموعه X باشد و I = (x,x) x ∈ X . کدام گزینه درست است؟

فرض کنید X یک مجموعه و R یک رابطه روی X باشد. کدام گزینه شرط کافی برای بازتابی (انعکاسی) بودن رابطه R است؟

با فرض آنکه هر عدد حقیقی در بازه‌ی (۰,۱] یک بسط اعشاری دارد با این ویژگی که بی‌نهایت رقم ناصفر هستند. تابع f:(0,1]×(0,1]→(0,1] را با ضابطه‌ی زیر در نظر بگیرید: f(0.x_1x_2x_3……

فرض کنید cardN = ℵ₀ و cardR = c که N نمایش اعداد طبیعی و R نمایش اعداد حقیقی است. کدام گزینه نادرست است؟

فرض کنید A یک مجموعه ناتهی و R و S دو رابطه هم‌ارزی روی A باشند و R⁻¹ و S⁻¹ نیز به‌ترتیب رابطه‌های وارون R و S باشند. در آن صورت کدام عبارت صحیح است؟

جدول ارزش‌ها را برای [(p → q) → (r → s)] → u تشکیل داده‌ایم. چه تعداد ۱ در ستون آخر آن دیده می‌شود؟

کدام‌یک از مجموعه‌های زیر شمارای نامتناهی است؟

فرض کنید ‏‏ Z ‏ مجموعه اعداد صحیح باشد. آنگاه مجموعه زیرمجموعه‌های متناهی ‏ Z ‏، ...

گزاره‌های زیر را در نظر می‌گیریم: T(a) = x دارای دم است B × y = x ، y را گاز می‌گیرد L(x , y) = x ، y را دوست دارد C(x) = x یک گربه است D(x) = x یک سگ است در آن‌صورت ترجمه فارسی گزاره زیر به‌صورت…

تعداد گزاره‌های ناهم‌ارز که تنها شامل P_1, P_2, P_3 باشد و از نماد منطقی leftrightarrow استفاده شود کدام است؟

اگر α و β و γ اعداد اصلی (cardinal) باشند، آنگاه:

نقیض گزارهٔ ∀ε ~∃δ ∀ x ~∀ y (x^2+y^2 < ε+δ) کدام است؟ (در اینجا ~ نماد نقیض است و ε و δ مقید به اعداد مثبت هستند و x و y اعداد حقیقی می‌باشند.)

کدام‌یک از جملات زیر در منطق مرتبه اول راست می‌باشد؟

چه تعداد از فرمول‌های گزاره‌ای زیر، قضیه‌ای از منطق گزاره‌ای نیستند؟ الف) (~ A → A) → A ب) A → (~ A → B) ج) ((~ B → ~ A) → A) → ((~ B → A) → B) د) (A → B) → A