سوالات

فرض کنیم G گرافی است که مجموعه رأس‌های آن زیرمجموعه‌های مجموعه a , b , c هستند و دو رأس X و Y مجاورند اگر و تنها اگر تفاوت X و Y دقیقاً در یک عضو باشد، کدام‌یک از دو عبارت زیر در مورد G ، درست است؟…

کدام‌یک از دو گزاره زیر، صحیح است؟ (الف) هر درخت حداکثر یک تطابق کامل دارد. (ب) فرض کنیم G یک گراف ساده ۲n رأسی است که درجه هر رأس آن حداقل n+۱ است. دراین‌صورت G تطابق کامل دارد.

از یک جدول ۱۰×۱۰ یک خانه گوشه حذف شده است. (بنابراین ۹۹ خانه دارد.) به چند طریق می‌توان یک کاشی ۳×۱ را به‌طور افقی در آن قرار داد؟

معادله زیر چند جواب دارد؟ (متغیرها باید عدد طبیعی باشند.) x_۱ + x_۲ + ⋯ + x_۱۰ = ۲۰۰ ; ∀ i x_i ≥ i , x_i ∈ N ; x_۱۰ ≠ ۲۰

زبان انگلیسی دارای ۲۶ حرف است. به چند طریق می‌توان این ۲۶ حرف متمایز را در یک ردیف چید به‌طوری که هم سمت چپ‌ترین حرف، حرف a نباشد، هم سمت راست‌ترین حرف، حرف z نباشد؟

فرض کنیم m تعداد حالت‌هایی است که می‌توان اعداد ۱, ۲, …, ۱۰ را به هشت مجموعه (بدون برچسب) افراز کرد. کدام گزینه در مورد m ، صحیح است؟

تعداد توابع ارزش‌دهی f: x_۱,…,x_۵ → درست، نادرست که ارزش گزاره زیر را «درست» می‌کند چند است؟ ( ~ x_i یعنی نقیض گزاره اتمی x_i ) (x_۱ ∨ (~ x_۲) ∨ x_۳) ∧ (x_۱ ∨ (~ x_۲) ∨ (~ x_۴)) ∧ (x_۱ ∨ (~ x_۲) ∨ (~…

به چند طریق می‌توان خانه‌های شکل زیر را با ۳ رنگ رنگ‌آمیزی کرد، به طوری که هر دو خانه‌ای که ضلع مجاور دارند، هم‌رنگ نباشند؟, , □, □, □, □ ; □, □, □, □, , ;, , , □, ,

گراف زیر ۵۰ رأس دارد ( ۲۵ رأس روی هر یک از دو دایره شکل) همچنین درجه هر رأس ۳ است. به چند طریق می‌توان ۲۳ رأس از این گراف را انتخاب کرد به‌طوری‌که هیچ دو رأس مجاوری انتخاب نشده باشند؟

k را کوچک‌ترین عدد طبیعی تعریف می‌کنیم به‌طوری‌که در هر مجموعه k عضوی از اعداد طبیعی، چهار عضو متمایز وجود داشته باشد که تفاضل هر دو عضو از این چهار عضو، هم مضرب ۷ و هم‌مضرب ۹ باشد. k چند است؟

چند جمله از جملات a_۱۰۰ الی a_۲۰۰ زوج است؟ (خود جملات a_۱۰۰ و a_۲۰۰ را هم در صورت زوج بودن در نظر بگیرید.) a_۰ = ۵ ; a_۱ = ۲ ; ∀_n ≥ ۲ a_n = a_(n-۱) + a_(n+۲)

فرض کنید A = ۱, ۲, …, ۱۰۰ . هر ۳ عضو متمایز A در چند زیرمجموعه ۸ عضوی از A بهصورت توأماً ظاهر میشوند؟

نقیض گزارهٔ زیر کدام است؟ دنبالهٔ a_n اکیداً صعودی است و به عدد a همگرا است.

فرض کنید P= (x,y) : y=√۱۰ x subseteqR^۲ ، رابطه S را روی R^۲ به‌صورت زیر تعریف می‌کنیم: (x,y) S (z,w) ≡ (x-z, y-w)∈ P . کدام گزینه درست است؟

کدام یک از گزاره‌های زیر درست است؟ (الف) اگر B خانواده‌ای از مجموعه‌ها باشد و A ∈ B ، آنگاه P(A) ∈ P(P(bigcup B)) . (ب) برای هر مجموعه دلخواه A ، bigcup P(A) = A . ( P نماد مجموعهٔ توانی است.)

برای مجموعه‌های A و B تعریف‌های زیر را در نظر می‌گیریم. A ≅ B : A و B هم عدد (هم‌ارز) هستند، یعنی بین آنها یک دو سویی وجود دارد. A < B : A با زیرمجموعه‌ای از B هم عدد است ولی B با هیچ زیرمجموعه‌ای از…

فرض کنید A = (0,1) ∩ Q و B = (0,1) ∩ Q^c ، که Q و Q^c به‌ترتیب مجموعهٔ اعداد گویا و مجموعهٔ اعداد گنگ (اصم) است. اگر F(A) و F(B) به‌ترتیب خانوادهٔ تمام زیرمجموعه‌های متناهی A و B باشند، با فرض پذیرش…

فرض کنید A مجموعه‌ای در R باشد. با توجه به نمادهای درون int A = A ، A^c = R∖ A ، مرز ∂ A = A و بستار A = A ، کدام گزینه نادرست است؟

در بسط (x+y+z+u)^5 ضریب x^2 z^2 u کدام است؟

کدام‌یک از استدلال‌های زیر معتبر است؟ ( ∴ نماد نتیجه‌گیری است.) (الف) ¬ a ∧ (a → b) ∴ b (ب) p → q q → r ∴ p → r

فرض کنیم زبانی، شامل شش ثابت c_۱, c_۲, …, c_۶ ، نمادهای محمولی دو موضعی O_۱, O_۲ ، نمادهای محمولی یک‌موضعی F_۱, F_۲ باشد. با فرض متمایز بودن b_i ‌ها، تعبیر زیر را در نظر می‌گیریم: I(C_i) = b_i ۱ ≤ i…

در استدلال زیر در سیستم استنتاج طبیعی، (∃ x A(x) → ∀ x B(x) (A(x))/(∃ x A(x)))/(((∀ x B(x))/(B(x)))/((A(x)→ B(x))/(∀ x (A(x)→ B(x))))) کدام گزینه در مورد قانون‌های معرفی سور عمومی (forallI) و معرفی…

دو فرمول زیر در منطق گزاره‌ها را درنظر بگیرید: α ≡ ¬ A_1 ∧ A_2 ∧ (¬ A_2 ∨ A_3) ∧ (A_1 ∨ ¬ A_2 ∨ A_3) β ≡ A_2 ∧ (¬ A_3 ∨ A_1) ∧ (¬ A_1 ∨ A_3) ∧ (¬ A_1) ∧ (¬ A_2 ∨ A_3) برای کدام فرمول یک ارزش‌دهی به…

یک اثبات در منطق گزاره‌ها را شهودی می‌گوییم هرگاه در آن از قانون حذف دو نقیض ( p ∨ ¬ p ) استفاده نشده باشد. درغیراین‌صورت اثبات در منطق کلاسیک خواهد بود. کدام گزینه در مورد فرمول p → ¬¬ p در منطق…

کدام گزینه در مورد فرمول زیر در منطق محمولات درست است؟ ∀ x(∀ x (P(x) → ¬ Q(x)) → (Q(x) → ¬ P(x)))

مدل‌ها در منطق محمولات معمولاً ناتهی درنظر گرفته می‌شوند. فرض کنیم این شرط را در نظر نگیریم و اجازه دهیم مدل‌ها تهی نیز باشند. فرمول زیر در منطق محمولات بگیرید: ¬∃ x (P(x)) ∧ ∀ x P(x) این فرمول:

کدام گزینه بهترین ترجمه در منطق محمولات برای عبارت زیر است؟(نمادهای مناسب به‌طور طبیعی و یکنواخت تعریف می‌شوند). ـ هر کلاس دانش‌آموزی دارد که نسبت به همه دانش‌آموزان دیگر آن کلاس نمره بهتری می‌گیرد.

کدام گزینه بهترین ترجمه برای عبارت زیر در منطق گزاره‌ها است؟ ـ برای آن که جواد عضو این باشگاه شود لازم است که تلاش زیادی کند، فقط اگر اتفاق خاصی نیفتد. جواد عضو این باشگاه می‌شود: M جواد تلاش زیادی…

زبان مرتبهٔ اول L = C, f_1, f_2, f_3, R ، شامل ثابت C ، نماد تابعی یک‌موضعی f_1 ، نمادهای تابعی دوموضعی f_3, f_2 و نماد رابطه‌ای دوتایی R را درنظر می‌گیریم. فرض کنیم M = ⟨ Z; 0, s, +, ×, < ⟩ یک…

فرض کنیم α = 1 + ω و β = ω^2 + 1 . کدام‌یک از این دو اوردینال حدی است؟

فرض کنیم A= 3n ninN ، B= 3n+1 ninN و C= 3n+2 ninN . اعضای مجموعهٔ X=A∪ B∪ C را این گونه مرتب می‌کنیم که اعضای مجموعه‌های A و B و C ترتیب طبیعی خود را خواهند داشت، هر عضو A از هر عضو B کوچک‌تر است و…

رابطه ترتیب جزئی R بر X را خوش‌بنیاد گوییم هرگاه هر زیرمجموعه ناتهی X دارای یک عضو مینیمال باشد. دو عبارت زیر را در نظر بگیرید: الف) رابطه ترتیب جزئی بر N وجود دارد که خوش‌بنیاد نباشد. ب) رابطه ترتیب…

کدام‌یک از دو مجموعه A = R × R و B = Q × R با R هم‌توان‌اند؟

دو عبارت زیر را در نظر بگیرید: (الف) A > B اگر و تنها اگر A با زیرمجموعه سره‌ای از B هم‌توان باشد. (ب) اگر A < B و B ≤ C آن‌گاه A < C . کدام‌یک از این دو عبارت صحیح است؟

دو اصل زیر را در نظریه مجموعه‌ها در نظر بگیرید: الف) مجموعه‌ای وجود دارد که هیچ عضوی ندارد. ب) مجموعه‌ای وجود دارد. برای اثبات (الف) با فرض (ب) در نظریه مجموعه‌ها از چه اصولی استفاده می‌شود؟

فرض کنیم S_۲ = P(P(N)) ، S_۱ = P(N) ، S_۰ = N و ... = P(X) . ( P(X) مجموعهٔ توانی X است.) همچنین فرض کنید می‌دانیم که S_n ‌ها همگی مجموعه هستند. برای اثبات این مطلب که مجموعه‌ای که X = bigcup_(n ∈ N)…

دنباله (V_α) که α اوردینال است به‌صورت بازگشتی بر α تعریف می‌شود: V_۰ = ∅ V_(α+1) = P(V_α) V_δ = bigcup_(α<δ) V_α ( δ حدی) کدام‌یک از دو مجموعه V_(ω+1) , V_ω شمارا است؟ (با دانستن اصل انتخاب)

اوردینال α را یک کاردینال گوییم هرگاه با هیچ اوردینال کوچک‌تر از خودش هم‌توان نباشد. فرض کنیم β = ω^ω و α = ω·ω . کدام‌یک از این دو اوردینال، کاردینال هستند؟

کدام گزاره درست است؟ (الف) فرض کنیم α اوردینال دلخواهی باشد. در این صورت برای هر دو اوردینال β,β' < ω^α داریم ω^α > β' + β . (ب) برای هر اوردینال α اوردینال حدی β وجود دارد که β > α .

تعداد کل رشته‌های به طول n با نمادهای ۴ و ۳ و ۲ و ۱ و ۰ به‌طوری‌که مجموع تعداد ۰‌ها و ۱‌های ظاهر شده زوج باشد چقدر است؟