سوالات

کوچک‌ترین مقدار n ، به‌طوری‌که گزاره زیر همیشه درست باشد، کدام است؟ «در هر زیرمجموعه n عضوی از 1, 2, …, 100 ، چهار عدد متمایز وجود دارند، به‌طوری‌که مجموع مربعات آنها مضرب چهار است.»

تعداد مسیرهای به‌طول ۲ در گراف Q_3 (شکل روبه‌رو)، کدام است؟

به چند طریق، می‌توان ۱۰ کتاب متمایز را در سه ردیف از یک قفسه کتاب چید، به‌طوری‌که در هر قفسه، حداقل ۱ کتاب باشد؟ (ترتیب کتاب‌ها در هر ردیف، مهم است.)

فرض کنید a_n = An + B جواب رابطه بازگشتی a_(n+1) - 2a_n = n - 3 باشد. مقدار A + B کدام است؟

به چند طریق، می‌توان جدولی 2 × n را با بلوک‌های 1 × 2 و 2 × 2 پوشاند؟

اگر n ≥ k ≥ 0 ، آنگاه حاصل ∑_(r=k)^nC(n, r)C(r, k) کدام است؟

گراف دوری C_20 را درنظر بگیرید. به چند طریق، می‌توان دو مسیر متمایز به طول ۵ انتخاب کرد، به‌طوری‌که حداقل در یک یال اشتراک داشته باشند؟ (ترتیب دو مسیر انتخابی، مهم نیست.)

کدام گزینه، صورت منطقی تعریف تابع بی‌کران f : X → R است؟ ( M را مقید به اعداد مثبت می‌گیریم.)

رابطه همارزی E را روی Z_9 = 0,1,2,…,8 بهصورت a E b ⇔ a^2 ≡ b^2 mod 9 تعریف میکنیم. از دو گزاره زیر کدام درست است؟ الف) مجموعه تمام ردههای همارزی E عبارتست از: [0],[2],[3],[6],[8] ب) مجموعه تمام…

کدام گزینه نادرست است؟ (گنگ به معنی اصم است.)

فرض کنید X_i _(i ∈ I) خانواده‌ای ناتهی از مجموعه‌های ناتهی باشد. مجموعهٔ ∏_(i ∈ I) X_i ، برابر کدام است؟

عدد اصلی مجموعهٔ A = bigcup_(n=1)^(∞) N^n برابر کدام است؟ ( ℵ_0 نمایش عدد اصلی N و ℵ نمایش عدد اصلی R است.)

کدام استدلال معتبر است؟ الف) بعضی اعداد گویا، عدد طبیعی نیستند. تمام اعداد طبیعی، عدد صحیح هستند. بنابراین: بعضی اعداد گویا عدد صحیح نیستند. ب) تمام اعداد اول، مثبت هستند. بعضی اعداد منفی، مثبت…

فرض کنیم: α ≡ ¬ p → (q → r) β ≡ q → (p ∨ r) اگر ⇒ نماد استلزام منطقی در منطق گزاره‌ها باشد، کدام گزینه در مورد α و β درست است؟

فرض کنیم: تو در کنکور موفق می‌شوی: p تو تمام تمرین‌ها را حل می‌کنی: q تو در جلسه تمرکز داری: r کدام گزینه بهترین ترجمه برای عبارت زیر است؟ «تو در کنکور موفق می‌شوی فقط اگر تمام تمرین‌ها را حل کنی و…

فرض کنیم: J(x) : x جنگل است A(x) : x حیوان است B(x,y) : x متعلق به y است S(x,y) : x قوی‌تر از y است کدام گزینه بهترین ترجمه برای عبارت زیر است؟ «هر جنگل حیوانی دارد که از تمام حیوانات آن جنگل قوی‌تر…

کدام‌یک از فرمول‌های زیر، راستگو (همیشه درست) نیست؟

فرض کنیم، زبان شامل نماد محمولی دو موضعی A و نماد تابعی یک موضعی f باشد. تعبیری را در نظر می‌گیریم که در آن دامنه مجموعه اعداد طبیعی، A رابطه‌ی < و f تابع 2x است. از دو دنباله‌ی s = ⟨ s_1, s_2, s_3…

[توجه به برش: بالای صورت سؤال بریده شده و بخش دیده‌شده از وسط جمله آغاز می‌شود.] ... که در آن دامنه A ، Z ، رابطه ≤ و f تابع x-۱ باشد. کدام‌یک از دو فرمول زیر در این تعبیر، درست هستند؟ α = ∃ x_2 ∀…

کدام یک از دو عبارت زیر منطقاً معتبر (logically valid) هستند؟ ( A نماد محمولی دو موضعی دلخواه است.) الف) ∀ x ∃ y A(x,y) → ∃ y A(y,y) ب) ∃ x ∃ y A(x,y) → ∃ y A(y,y)

فرض کنیم رابط منطقی دوتایی با جدول ارزش زیر باشد. A B A B --- --- --- T T F T F T F T T F F T از دو مورد زیر کدام درست است؟ الف) ¬ A ≡ A A ب) A ∨ B ≡ ((A A) (B B))

استدلال زیر در سیستم استنتاج طبیعی را در نظر بگیرید: ((([P∧ R])/P ∧ E [P→ Q])/Q→ E ([P∧ R])/R ∧ E)/(((Q∧ R)/((P∧ R)→(Q∧ R))→ I)/((P→ Q)→((P∧ R)→(Q∧ R)))→ I) ∧ I چند مورد استفاده اشتباه از قوانین در…

از دو مجموعه زیر کدام شمارا است؟ الف) مجموعه تمام زیردنباله‌های دنباله ۱/n _(n=۱)^(∞) . ب) مجموعه a + b√۲ a, b ∈ Q . ( Q مجموعه اعداد گویا است.)

فرض کنیم A مجموعه همه توابع مانند f : N → ۰,۱ باشد. در این صورت مجموعه A با کدام‌یک از دو مجموعه زیر، هم‌توان (هم‌عدد) است؟ الف) بازه [۰,۱] ب) مجموعه تمام زیرمجموعه‌های مجموعه اعداد گویا

فرض کنیم A یک مجموعه و P(A) مجموعه توانی A باشد. اگر f : A → P(A) یک تابع باشد، کدام مورد صحیح است؟ الف) برای هر x ∈ A ، f(x) ⊆ A . ب) هیچ x ∈ A ای وجود ندارد که f(x) = x ∈ A x ∉ f(x) .

فرض کنیم A = 1, …, 10 و R رابطه شمردن (عاد کردن) بر A باشد. کدام گزینه در مورد زیرمجموعه B = 2, 5, 6 در مجموعه مرتب جزئی (A, R^(-1) - I_A) صحیح است؟ ( I_A یعنی رابطه همانی بر A )

کدام مورد (موارد) صحیح است؟ الف) اگر α و β اوردینال باشند و β subsetneq α آنگاه β ∈ α . ب) اگر α اوردینال باشد آنگاه α ∪ α یک اوردینال است.

p و q و r را سه جمله در زبان محمولات درجهٔ ۱ در نظر می‌گیریم، کدام استنتاج صحیح است؟

کدام مورد زیر، اوردینال حدی است؟ الف) ω + 1 ب) ω + 2

فرض کنیم (A , <) یک مجموعه مرتب خطی ناتهی باشد بهطوری که: I) برای هر a ∈ A یک b ∈ A هست که a < b . II) هر زیرمجموعه ناتهی A دارای کوچکترین عضو است. در اینصورت (A , <) ، با کدام مورد همواره یکریخت…

فرض کنیم F : P(A) → P(A) یک تابع است که از X ⊆ Y ⊆ A نتیجه شود F(X) ⊆ F(Y) . فرض کنیم T = X ⊆ A F(X) ⊆ X . کدام مجموعه عضو T است؟ الف) bigcap T ب) F(bigcap T)

کدام مورد، با ۲^(ℵ_۰) برابر است؟ الف) ۳^(ℵ_۰) ب) ℵ_۰^(ℵ_۰)

فرض کنیم f(x) = dfrac ۱ + x^۳ (۱ + x)^۳ تابع مولد دنباله‌ی a_۰, a_۱, a_۲, … باشد. در این‌صورت a_۹ کدام است؟

فرض کنیم A = ∑_(i=۰)^۱۰ ۲^iC(۱۰, i) . در این‌صورت مقدار dfrac A ۱۰^۴ ، در کدام بازه قرار دارد؟

شخصی ۵ کودک A و B و C و D و E و شش جایزه ۱, ۲, …, ۶ دارد که می‌خواهد این جوایز را به کودکان هدیه دهد ولی فقط می‌توان به ۳ کودک هدیه داد. هر جایزه را می‌توان به حداکثر یک کودک هدیه داد و هر کودک حداقل…

فرض کنیم x تعداد اعداد صحیح مثبت کوچک‌تر مساوی ۱۰۰۰۰۰۰ می‌باشد که نه مربع کامل و نه مکعب کامل است. x کدام است؟

یک گروه ۱۲ نفری شامل ۴ مرد و ۸ زن مفروض است. اگر 8! × A روش‌های مختلفی باشد که می‌توان این ۱۲ نفر را به‌صورت خطی در یک سطر آرایش داد به‌طوری‌که هر زن کنار یک زن باشد ولی هیچ زنی کنار دو زن نباشد، A…

فرض کنیم سکه‌های ۱، ۲ و ۱۰ تومانی و پول کاغذی ۵ و ۱۰ تومانی به مقدار کافی از هر کدام در اختیار داریم. اگر A تعداد حالت‌های مختلفی باشد که می‌توان یک صورت‌حساب ۱۵ تومانی را با این سکه‌ها و پول‌های…

فرض کنیم C صفحه شطرنجی زیر شامل خانه‌های هاشور <ins>نخورده</ins> باشد. اگر a ضریب x^6 در چندجمله‌ای رخی صفحه C باشد، کدام گزینه صحیح است؟

از دو عبارت زیر، کدام صحیح است؟ (الف) ۱۰ عدد دورقمی متمایز مفروض است. همواره می‌توان زیرمجموعه‌های مجزای A و B از این اعداد پیدا کرد به‌طوری‌که مجموع اعضای A با مجموع اعضای B برابر باشد. (ب) هر…