سوالات

فرض کنید تابع f:[0,2π)toR^2 با ضابطهٔ f(t)=(acos t, bsin t) تعریف شده باشد، که در آن a و b اعداد ثابت ناصفری هستند. اگر A=f([0,2π)) آنگاه کدام گزینه در مورد تابع f:[0,2π)→ A درست است؟

فرض کنید X و Y دو فضای متریک و f : X → Y یک تابع باشد. کدام گزینه معادل با پیوستگی تابع f نیست؟

فرض کنید X فضای متریک و Y زیرفضای X باشد. کدام گزینه درست است؟

اگر K زیرمجموعه‌ای شمارا در صفحهٔ R^۲ باشد و R را با R× ۰ یکی بگیریم، کدام گزینه درست است؟

فرض کنید (X,d) یک فضای متریک است که در آن هر مجموعه تک‌عضوی باز است. کدام گزینه درست است؟

فرض کنید A زیرمجموعه‌ای ناتهی از فضای متریک (X,d) است. کدام گزینه نادرست است؟

فرض کنید A مجموعه‌ای در فضای متریک X باشد. با توجه به نمادهای int A = درون A ، A^c = X ∖ A ، ∂ A = مرز A و A = بستار A ، کدام گزینه <u>نادرست</u> است؟

فضاهای متریک X و Y و Z ، تابع f:X → Y و تابع پیوسته و یک به یک g:Y → Z را در نظر بگیرید به‌گونه‌ای که تابع gof پیوسته یکنواخت باشد. از کدام شرط نتیجه می‌گیریم تابع f پیوسته یکنواخت است؟

فرض کنید X یک مجموعه و d_۱ و d_۲ دو متر روی X باشند به‌طوری‌که برای هر x , y ∈ X ، d_۱(x,y) ≤ d_۲(x,y) . در این‌صورت کدام گزینه درباره A ⊆ X درست است؟

فرض کنیم X و Y دو فضای متریک و f : X → Y تابعی پوشا و پیوسته باشد، کدام گزینه درست است؟

فرض کنیم d و ρ دو متریک تعریف شده روی مجموعه X هستند. کدام گزینه با گزاره زیر معادل نیست؟ «تابع همانی f:(X,d)→(X,ρ) یک همسان‌ریختی است.»

فرض کنیم (X,d) یک فضای متریک است و E ⊆ X . کدام زیرمجموعه از X لزوماً بسته نیست؟ (البته B(x,r) گوی به مرکز x و شعاع r است.)

فرض کنیم x_n یک دنباله در یک فضای متریک باشد. کدام گزاره درست است؟

فرض کنید (X,d) یک فضای متریک کامل باشد. کدام گزینه <u>نادرست</u> است؟

فرض کنید f تابعی پیوسته بر فضای متریک همبند X به توی فضای متریک Y باشد. کدام گزینه درست است؟

در فضای اقلیدسی R^n کدام گزینه درست است؟ (منظور از کامل Perfect است.)

فرض کنید (X,d) یک فضای متریک باشد، a∈ X و B_۱(a)= x∈ X: d(x,a)<۱ . کدام گزینه درست است؟

برای زیرمجموعه‌های B= (x,∘):x≥ ۱ و A= (x,۱/x):x≥ ۱ در R^۲ کدام گزینه درست است؟

برای کدام‌یک از مجموعه‌های A و B ، تابع دوسویی پیوسته f : A → B وجود دارد؟

فرض کنید (X,d) یک فضای متریک است به‌طوری که Sup d(x,y) x,y∈ X =+∞ . کدام گزینه درست است؟

دربارهٔ یک فضای متریک (X,d) کدام گزینه نادرست است؟