سوالات

کدام گزینه یک متر روی R تعریف می‌کند؟

دنبالهٔ n _(n=۱)^(∞) با کدام‌یک از مترهای زیر، روی R یک دنبالهٔ کوشی است؟

فرض کنید Q (مجموعهٔ اعداد گویا)، مجهز به متر اقلیدسی باشد و E= xinQ: x^۲<۲ . کدام گزینه درخصوص مجموعهٔ E نسبت به فضای Q نادرست است؟

اگر d متری گسسته روی R باشد، کدام گزینه درباره [۰,۱] با این متر، نادرست است؟

فرض کنید E زیرمجموعه ناتهی از فضای متریک اقلیدسی R باشد. کدام گزینه درست است؟

فرض کنید X فضای متریک و تابع f : X → X پیوسته باشد. کدام گزینه نادرست است؟

فرض کنید X و Y دو فضای متریک باشند که تابع دوسویی f : X → Y پیوسته است. کدام گزینه درست است؟

فرض کنید X یک فضای متریک، A ⊆ X ، A^(∘) مجموعه نقاط درونی A ، A' مجموعه نقاط حدی (انباشتگی) A ، A بستار A و ∂ A مرز A باشد. کدام مورد <u>نادرست</u> است؟

فرض کنید A زیرمجموعه فضای متریک X باشد، کدام مورد درست است؟

فرض کنید (X , d) یک فضای متریک فشرده و A زیرمجموعه ناتهی X است. کدام گزاره نادرست است؟

کدام مورد، گزاره زیر را به‌نحو درست، تکمیل می‌کند؟ «هیچ متری مانند d روی Q (مجموعه اعداد گویا) وجود ندارد، به‌طوری‌که فضای متریک (Q, d) ................. باشد.»

فرض کنید (X , d) یک فضای متریک و x_n دنباله‌ای در X باشد. کدام مورد، با کوشی بودن دنباله x_n معادل است؟

فرض کنید X یک فضای متریک شمارا باشد و X= x_n : ninN . به ازای هر minN قرار می‌دهیم Y_m= x_n : n≥ m . اگر lim_(m→∞)diam(Y_m)=0 ، آنگاه کدام مورد درباره فضای متریک X درست است؟

«فرض کنید X و Y فضاهای متریک باشند. تابع f : X → Y یکنواخت پیوسته است، اگر و تنها اگر بر هر زیرمجموعه .................. از X یکنواخت پیوسته باشد.»

فرض کنید X و Y فضاهای متریک باشند و تابع f: X → Y دارای خاصیت زیر باشد: «دنباله‌ی x_n در X همگرا است، اگر و تنها اگر دنباله‌ی f(x_n) در Y همگرا باشد.» کدام مورد نادرست است؟

فرض کنید (X,d) یک فضای متریک و A⊆ X باشد. گوییم مجموعه A در شرط صدق می‌کند هرگاه ∀ x∈ X ∃ b_1,b_2∈ A ∀ a∈ A: d(x,b_1)≤ d(x,a)≤ d(x,b_2). کدام مورد درست است؟

فرض کنید x_n و y_n دنباله‌هایی کوشی در فضای متریک (X , d) باشند. کدام مورد درست است؟

فرض کنید هر دنباله x_n در فضای متریک X با خاصیت lim_(n→∞) d(x_n, X∖ x_n ) = 0 ، دارای زیر دنباله همگرا است. کدام مورد درست است؟

اگر (X,d) یک فضای متریک باشد و A ⊆ X ، کدام گزینه درست است؟ ( A' مجموعه نقاط حدی A و ∂ A مرز A است.)

فرض کنید X یک فضای متریک باشد و A ⊆ X . گزاره x ∈ A با کدام گزینه معادل است، که در آن A بستار A است؟

فرض کنید X یک فضای متریک باشد و E ⊆ X . (در اینجا E' مجموعه نقاط انباشتگی (حدی) E است.) گزاره‌های زیر را درنظر می‌گیریم: الف ـ اگر E فشرده باشد و E' ∩ E = φ ، آنگاه E متناهی است. ب ـ E' ∖ E درون تهی…

همگرایی دنباله‌ها در فضای متریک (X , d) با کدام متریک d' روی X معادل نیست؟

مجموعهٔ اعداد حقیقی را با متریک زیر درنظر می‌گیریم. کدام مجموعه باز است؟ d(x,y)= max x , y , x≠ y; ۰, x=y

فرض کنید B ⊆ R^n و A . اگر A+B = a+b : a∈ A, b∈ B ، آنگاه کدام گزینه نادرست است؟

فرض کنید (X,d) یک فضای متریک و A و B زیرمجموعه‌های ناتهی، مجزّا و بستهٔ از X باشد. اگر تابع f:X→[۰,۱] با ضابطه f(x)=(d(x,A))/(d(x,A)+d(x,B)) تعریف شود، کدام گزینه نادرست است؟

فرض کنید X و Y فضاهای متریک و f: X → Y تابعی پیوسته و دوسویی باشد. کدام گزینه درست است؟

فرض کنید X و Y فضاهای متریک فشرده و f : X → Y تابعی دوسویی است. کدام گزینه معادل پیوستگی f نیست؟

فرض کنید X,Y,Z فضاهای متریک، g:Y→ Z تابعی پیوسته و یک‌به‌یک، f:X→ Y یک تابع و h=g∘ f یکنواخت‌پیوسته باشد. کدام گزینه پیوستگی یکنواخت f را نتیجه می‌دهد؟

فرض کنید Y= 1/n:ninN ∪ 0 و X=Q مجهز به متر اقلیدسی و تابع f:X→ Y یکنواخت پیوسته باشد. کدام گزینه نادرست است؟

برای تابع f:[0,1]toR کدام گزینه درباره مجموعه G_f = (x,f(x)) : x∈[0,1] درست است؟

فرض کنید (X,d) یک فضای متریک باشد، x ,y ∈ X و A ⊆ X . شرط معـادل بـا اینکـه x ∈ A^(∘) و y ∈ A کدام است؟

فرض کنید A و B دو مجموعه در یک فضای متریک باشند. کدام گزینه معادل با بسته بودن A و باز بودن B است؟

فرض کنید A و B دو زیرمجموعه چگال در فضای متریک (X,d) باشند. کدام گزینه درست است؟

فرض کنید (X,d) یک فضای متریک همبند باشد و x_∘ ∈ X . اگر به ازای هر x ∈ X ، d(x,x_∘) ≠ ۱ ، کدام گزینه دربارهٔ X درست است؟

فرض کنید (X,d) یک فضای متریک باشد و A ⊆ Y ⊆ X . کدام گزینه معادل چگال بودن A در Y است؟

از کدام گزینه کامل بودن (Completeness) فضای متریک X نتیجه <u>نمی‌شود</u>؟

فرض کنید x_n دنباله‌ای در فضای متریک (X,d) باشد و به ازای هر kinN ، E_k= x_n : n≥ k . کدام گزینه نادرست است؟

فرض کنید X فضای متریک فشرده و Y یک فضای متریک باشد و تابع f : X → Y پیوسته باشد. کدام گزینه <u>نادرست</u> است؟

فرض کنید X و Y دو فضای متریک باشند. از کدام گزینه پیوستگی تابع f : X → Y نتیجه <u>نمی‌شود</u>؟

فرض کنید توابع حقیقی f و g بر فضای متریک X پیوسته یکنواخت باشند. کدام گزینه درست است؟