سوالات

تعداد تابع‌های یک‌به‌یک مانند f ، از ۱, ۲, ⋯, ۹ به ۱, ۲, ⋯, ۱۵ ، با شرط f(۱) < f(۲) < f(۳) ، کدام است؟

می‌خواهیم 7^۳ توپ غیرمشابه را در 7^۲ سبد مشابه چنان پخش کنیم، که در هر سبد ۷ توپ قرار گیرد. تعداد حالات ممکن برای این کار را n می‌نامیم. بزرگ‌ترین عدد طبیعی k که n بر 7^k بخش‌پذیر باشد، کدام است؟

یک خانه از گوشه یک جدول ۶×۷ را حذف کرده‌ایم. به چند طریق می‌توان ۲ خانه از ۴۱ خانه باقی‌مانده را انتخاب کرد، به‌طوری‌که نه در یک سطر باشند نه در یک ستون؟

۲۰ مهره سفید غیرمشابه و ۱۰ مهره سیاه غیرمشابه موجود است. به چند طریق می‌توان این ۳۰ مهره را دور یک دایره چید به‌طوری‌که هر مهره سفید با یک مهره سفید و یک مهره سیاه، مجاور باشد؟

کدام درست است؟ الف ـ هر گراف ۱۴ رأسی، فاقد (بدون) یال برشی، حداقل ۱۴ یال دارد. ب ـ هر گراف ۱۴ رأسی با ۴۲ یال، فاقد (بدون) یال برشی است.

یک گراف کامل ۹ رأسی، دارای چند زیرگراف یکریخت (همسان) با گراف زیر است؟ (گراف زیر یک درخت ۷ رأسی است: یک رأس مرکزی با درجهٔ ۳ که از آن سه ساق خارج می‌شود و هر ساق یک مسیر به طول ۲ است؛ یعنی هر ساق یک…

یک گراف مسیر با ۱۵ رأس (و ۱۴ یال) مفروض است. به چند طریق می‌توان ۵ رأس از آن را انتخاب کرد، به‌طوری‌که دوبه‌دو غیرمجاور باشند؟

کدام مورد برای رابطه بازگشتی زیر، همواره درست است؟ a_n = -۴ (a_(n-1) + a_(n-2))

به چند طریق می‌توان ۱۱ پله را با قدم‌های یک و دو پله‌ای طی کرد، به‌طوری‌که اگر اولین قدم یک پله‌ای باشد، آنگاه آخرین قدم، دو پله‌ای باشد؟

یک برنامه‌ریز کامپیوتر تابع f را بر مجموعه‌ی دانشجویان یک کلاس نامعلوم S به روی مجموعه‌ی نمرات G = ۰,۱,۲,...,۲۰ تعریف می‌کند. اگر f : S → G خوش تعریف باشد، کدام گزینه درست است؟

اگر A و B دو مجموعه باشند، حاصل عبارت (A^c∩ B)∪[((A∖ B)∪ B^c)∩(B∖ A)] کدام است؟

رابطه‌ی ~ روی مجموعه‌ی اعداد حقیقی R و به‌کمک مجموعه‌ی A ⊆ R به‌صورت زیر تعریف می‌شود. در کدام گزینه، رابطه‌ی ~ یک رابطه‌ی هم‌ارزی است؟ ∀ x,y ∈ R (x ~ y ⇔ x - y ∈ A)

فرض کنید A و B مجموعه‌های نامتناهی باشند به‌طوری که B ⊇ A . اگر ≅ نماد هم‌عدد بودن (برابری عدد اصلی) دو مجموعه باشد، کدام گزینه درست است؟

فرض کنید عدد اصلی مجموعه X را به X نشان دهیم. تابع f : A → B و گزاره‌های زیر را در نظر می‌گیریم: الف ـ اگر f یک به یک باشد، آنگاه A ≤ B . ب ـ اگر f پوشا باشد، آنگاه A ≥ B . ج ـ اگر f دوسویی باشد…

با اعداد ۱ تا ۵ چند عدد حداکثر ۱۰ رقمی می‌توانیم بسازیم؟

از این دو استدلال کدام معتبر است؟ a ـ تمام اعداد حقیقی، عدد منفی هستند. بعضی اعداد حقیقی مثبت هستند. بنابراین: بعضی اعداد منفی، مثبت هستند. b ـ هیچ عدد منفی، عدد مثبت نیست. بعضی اعداد مثبت، عدد طبیعی…

کدام مورد معادلِ عبارت زیر است؟ چنین نیست که (پذیرفته شدن علی در دانشگاه شرط لازم برای موفقیت علی است.)

فرض کنید B(x) : x باهوش است A(x) : x آدم است کدام مورد معادل عبارت زیر است: چنین نیست که (تمام آدم‌ها باهوش هستند.)

فرض کنید S(x) : x ورزشکار است. M(x) : x مربی است. E(x, y) : x مورد اعتماد y است. کدام مورد بهترین ترجمه برای عبارت زیر است: «هرکسی مورداعتماد ورزشکاران است، مورداعتماد حداقل یک مربی است.»

فرض کنیم مدل M به‌صورت زیر تعریف شده است: دامنه‌ی M مجموعه‌ی ۰,۱,۲,۳,۴ است. نماد تابعی یک موضعی f به‌صورت به‌علاوه‌یک به پیمانه‌ی ۵ تغییر می‌شود. یعنی f(n) = n+۱ mod ۵ نماد رابطه‌ای دو موضعی R(x,y)…

فرض کنیم مدل M به‌صورت زیر تعریف شده است: دامنه M مجموعه α, β, γ است. ثابت C به α و ثابت d به β تعبیر می‌شود. نماد رابطه‌ای یک موضعی R به‌صورت R = α, γ است. نماد رابطه‌ای دو موضعی S به‌صورت S = (α…

فرض کنیم مدل M به‌صورت زیر تعریف شده است: دامنه M مجموعه ۰, ۱, ۲ است. ثابت C به صفر تغییر می‌شود. نماد تابعی یک موضعی f به‌صورت f(۲) = ۰, f(۱) = ۲, f(۰) = ۱ است. نماد رابطه‌ای دو موضعی R به‌صورت R =…

مثال زیر از استنتاج طبیعی برای سورها را درنظربگیرید:, 1. ∀ x P(x,x);, 2. P(u,u) (∀ E, 1);, 3. ∃ z P(u,z) (∃ I, 2);, 4. ∀ y ∃ z P(y,z) (?, 1-3);, 5. ∀ x P(x,x)→∀ y ∃ z P(y,z) (→ I, 1-4) به‌جای ؟ کدام…

…دیگر ارزش نادرست دارد: در به‌دست آوردن فرم نرمال عطفی (CNF) این فرمول از روی جدول ارزش، از دو عبارت زیر کدام ظاهر می‌شود؟ A B C α - - - - T T F T T F F T F T T T F F T T الف ــ (¬ A) ∨ (¬ B) ∨ (¬ C)…

دو عبارت زیر را درنظربگیرید: الف ــ قضیه ناتمامیت گودل نشان می‌دهد که هیچ سیستم استنتاجی کامل برای منطق مرتبه اول کلاسیک وجود ندارد. ب ــ اگر سیستم استنتاجی ناسازگار باشد می‌توان هر فرمولی را در آن…

مجموعه A را متعدی گوئیم هرگاه از x ∈ y ∈ A نتیجه شود x ∈ A . دو شرط زیر را در مورد مجموعه A در نظر بگیرید: الف) bigcup A ⊆ A ب) A ⊆ P(A) از این دو شرط کدام معادل متعدی بودن A است.

دو عبارت زیر را در نظر بگیرید: الف ــ کاردینال مجموعه اعداد حقیقی بین ۰ و ۱ با کاردینال مجموعه اعداد حقیقی برابر است. ب ــ کاردینال بازه (۰ ,۱) با کاردینال [۰ ,۱] برابر است. از این دو عبارت کدام درست…

فرض کنیم V_(∘) = φ ، V_(α+1) = P(V_α) و اگر β اوردینال حدی باشد V_β = bigcup_(α<β) V_α . دو عبارت زیر را در نظر بگیرید: الف ــ عدد طبیعی ۲ به‌عنوان یک اوردینال برابر V_2 است. ب ــ عدد طبیعی ۳…

فرض کنیم V_۰ = φ ، V_(α+1) = P(V_α) و اگر β اوردینال حدی باشد V_β = bigcup_(α<β) V_α . دو عبارت زیر را در نظر بگیرید: الف ــ عدد طبیعی n به‌عنوان یک اوردینال عضو V_(n+1) است. ب ــ ω = ۰, ۱, ۲, ... ∈…

می‌دانیم ω کوچک‌ترین اوردینال نامتناهی است. دو عبارت زیر را در نظر بگیرید: الف ـ ω + ۳ = ω ب ـ ۳ + ω = ω از این دو عبارت کدام درست است؟

دو عبارت زیر را در نظر بگیرید: الف ــ یک تابع دوسوئی (یک به یک و پوشا) بین مجموعه تمام زیرمجموعه‌های متناهی N و خود N وجود دارد. ب ــ اگر B subsetneq A و A نامتناهی باشد آنگاه هیچ تابع دوسوئی بین A و…

دو عبارت زیر را در نظر بگیرید: الف ــ با استفاده از اصل تصریح (Axiom Schema of Comprehension) در نظریه مجموعه‌ها می‌توان ثابت کرد که اشتراک دو مجموعه یک مجموعه است. ب ــ اصل نظم (Regularity) نتیجه…

۱۰۸- تابع f:(۰,۱)×(۰,۱)→(۰,۱) تعریف شده براساس بسط اعشاری نامتناهی منحصربه‌فرد اعداد حقیقی بین صفر و یک با ضابطه زیر تعریف شده است: کدام‌یک در مورد این تابع درست است؟ f(۰/a_۱ a_۲ …, ۰/b_۱ b_۲…

فرض کنیم A مجموعه همه توابع از مجموعه اعداد گویا Q به مجموعه ۰،۱،۲ ، یعنی مجموعه همه توابع f:Q→ ۰،۱،۲ ، باشد. دو عبارت زیر را در نظر بگیرید: الف ــ A با مجموعه اعداد گویا Q هم توان است. ب ــ A با…

فرض کنید ω^((ω)) مجموعهٔ توابع f:ω→ω باشد که در آن‌ها مجموعهٔ supp(f)= n f(n)≠ ۰ متناهی است. برای تابع ناصفر f∈ω^((ω)) قرار می‌دهیم s(f)=max(supp(f)) . سه تابع زیر را در نظر بگیرید: f(n)= ۴۲, n=۵…

اگر R یک رابطه روی مجموعه A= a ,b ,c با ماتریس متناظر M(R)= ۰, ۱, ۱; ۰, ۱, ۰; ۱, ۰, ۱ باشد، آنگاه رابطه R∘ R کدام خواص زیر را دارد؟

دنبالهٔ (a_n) با رابطهٔ بازگشتی a_n = b_n a_(n-1) به‌ازای n ≥ ۲ (با معلوم‌بودن a_۱ ) تعریف شده است. جملهٔ عمومی a_n کدام است؟

تعداد جواب‌های صحیح نامنفی دستگاه زیر کدام است؟ x_۱ + x_۲ + x_۳ = ۵ ; x_۱ + x_۲ + x_۳ + x_۴ + x_۵ = ۲۰

گزاره ~ p ⇒ (~ q ⇒ r) هم‌ارز کدام گزاره زیر است؟

در یک امتحان دانشجو باید به ۸ سوال از ده سوال پاسخ دهد، ولی شرطی گذاشته شده است که باید دست‌کم به چهار سوال از پنج سوال اول پاسخ دهد. این دانشجو به چند طریق می‌تواند به سوالات داده شده پاسخ دهد؟