کارت‌های مفهوم و فرمول کنکور ارشد ریاضی

مرتبهٔ یک تکرار را نخستین مشتق ناصفرِ تابع تکرار در نقطهٔ ثابت تعیین می‌کند — و همین است که نیوتن را در ریشهٔ ساده درجه‌دو، در ریشهٔ مکرر تنها خطی، و تکرار سینوسی را صرفاً مماسی می‌سازد.

هر ماتریسی به شکل $A=U\Sigma V^{T}$ با $U,V$ متعامد و مقادیر منفردِ نامنفیِ نزولی تجزیه می‌شود، و از روی همین تجزیه رتبه، چهار زیرفضای بنیادی، $\lVert A\rVert_2$، $\kappa_2(A)$، شبه‌وارون و بهترین تقریب با رتبهٔ پایین خوانده می‌شوند — اما این تجزیه نسبت به علامت مقادیر ویژه نابیناست.

سرنوشت یک نقطهٔ تعادل را در حالت هذلولوی از ژاکوبین آن بخوانید و در حالت غیرهذلولوی از تابع لیاپانوف/چتایف یا تحویل به خمینهٔ مرکزی؛ هر پرسش کیفی دربارهٔ $X'=AX$ را از طیف به‌همراه ساختار جردنِ $A$ نتیجه بگیرید؛ و رفتار بلندمدتِ معادلات خطیِ ناخودگردان را با فرمول آبل–لیوویل، نامساوی‌های لانداو و ضرایب فلوکه تعیین کنید.

در یک مدل یکنواخت متناهی هر احتمال نسبت دو شمارش است، پس تمام کار انتخاب یک فضای نمونهٔ سازگار (مرتب در برابر نامرتب، با جای‌گذاری در برابر بدون جای‌گذاری) و سپس بهره‌گیری از تقارن یا قاعدهٔ زنجیره‌ای ترتیبی است.

شرطی‌کردن، اندازه را محدود و بازبهنجار می‌کند: در فضای محدودشده می‌شمارد (نسبتی از شمارش‌ها، ک.م.م برای پیشامدهای بخش‌پذیری)، روی اجتماع قطعه‌های مجزا میانگین می‌گیرد — و هرگز جمع نمی‌کند —، شاخه‌های فوق‌هندسی یا برنولی را با قانون احتمال کل می‌آمیزد، با بیز وارون می‌کند، هرگاه استقلال با شمول برخورد کند به P(A)=0 یا P(C)=1 فرومی‌ریزد، و «یک موفقیتِ دیگر» را به نسبت گشتاوری E[Θ^{k+1}]/E[Θ^{k}] تبدیل می‌کند.

یک توزیع پیوسته کاملاً با تابع توزیع تجمعی‌اش تعیین می‌شود: اصول موضوعهٔ تابع توزیع به همراه $\int f=1$ هر ثابت مجهولی را مشخص می‌کنند، هر پیشامدی مانند $\{g(X)>h(X)\}$ به اجتماعی از بازه‌ها فرو می‌کاهد که کافی است چگالی را روی آن انتگرال بگیرید، و به‌محض آنکه توزیع را یکنواخت یا نمایی تشخیص دهید، رابطهٔ حفظ‌شده (نسبت طول، تابع بقای $e^{-\lambda t}$، میانهٔ $\ln 2/\lambda$، بی‌حافظگی) سؤال را در یک گام تمام می‌کند.

یک فضای احتمال $(\Omega,\mathcal{F},P)$ حامل یک اندازهٔ شمارا-جمعی روی یک $\sigma$-جبر از پیشامدهاست: جمع‌پذیری تنها برای پیشامدهای دوبه‌دو جدا از هم یک *تساوی* است، در حالی که پیوستگی $P$، نامساوی بول و اصل شمول و طرد برای پیشامدهای دلخواه برقرارند.

هر مساحت مسطح همان $\iint_D dA$ است که به یکی از سه روش ساده می‌شود — برش عمودی/افقی، انتگرال مرزی گرین $\tfrac12\oint(x\,dy-y\,dx)$، یا جاروب قطبی $\tfrac12\int r^2\,d\theta$ — و تمام دشواری یک سؤال کنکوری در تعیین بازهٔ پارامتری است که در آن مرز دقیقاً یک بار پیموده می‌شود.

همه چیز در دوران به فاصله تا محور $\rho$ برمی‌گردد: یک خم رویه‌ای به مساحت $2\pi\int\rho\,ds$ می‌روبد و یک ناحیه با واشرها در امتداد محور یا با پوسته‌ها در عرض آن حجم می‌سازد — با بازهٔ پارامتری‌ای که جسم را دقیقاً یک بار بپیماید.

یک رابطهٔ هم‌ارزی روی $X$ دقیقاً همان دادهٔ یک افراز از $X$ است، و همواره رابطهٔ «هم‌مقدار بودن» برای یک نگاشت است — پس مجموعهٔ خارج‌قسمتی آن در تناظر یک‌به‌یکِ استاندارد با برد آن نگاشت قرار دارد.

در یک فرمول سوردار، ارزش درستی تنها با سه چیز تعیین می‌شود — «ترتیب» پیشوند سورها، «ادات ربطی» که هر سور را محافظت می‌کند ($\forall\dots\Rightarrow$ در برابر $\exists\dots\wedge$)، و اینکه کدام متغیرها آزادند — بنابراین پرسش‌های هم‌ارزی به‌صورت مکانیکی حل می‌شوند، نه با شهود.

اجتماع یعنی $\exists$ و اشتراک یعنی $\forall$: از همین یک فرهنگِ ترجمه، قوانین دمورگان، خاصیت کرانی‌بودن $\bigcup$ و $\bigcap$، تله‌های $\in$ در برابر $\subseteq$ در مجموعهٔ توانی، و حسابرسی نقاط انتهایی که تعیین می‌کند اجتماع یا اشتراک نامتناهیِ بازه‌ها باز درمی‌آید یا بسته، همگی نتیجه می‌شوند.

برای جواب‌های یک معادلهٔ دیفرانسیل خطی، ورونسکین از فرمول آبل $W=W(x_0)e^{-\int a_{n-1}}$ پیروی می‌کند (هم‌ارز با $\det\varphi(t)=\det\varphi(t_0)e^{\int\operatorname{tr}A}$)، پس یا به‌طور یکسان صفر است یا هرگز صفر نمی‌شود — و همین اتحاد، جواب دوم گم‌شده را با کاهش مرتبه به دست می‌دهد، ماتریس اساسی دستگاه‌های با ضرایب متغیر را می‌سازد و موتور روش تغییر پارامترهاست.

$G/N$ دقیقاً وقتی گروه است که $N\trianglelefteq G$؛ مرتبهٔ آن $[G:N]$ است، زیرگروه‌هایش دقیقاً همان زیرگروه‌های $G$ شامل $N$ هستند، و شناسایی آن یعنی تطبیق مرتبه و سپس یک ناوردا — معمولاً «آیا هم‌مجموعه‌ای با مرتبهٔ کامل وجود دارد؟».

انتگرال سطحیِ نوشته‌شده به شکل $P\,dy\,dz+Q\,dz\,dx+R\,dx\,dy$ *همان* شار $\iint_S\mathbf{F}\cdot\mathbf{n}\,dS$ است و دقیقاً با یکی از سه راهکار محاسبه می‌شود — قضیهٔ گاوس روی سطح بسته، تصویر علامت‌دار روی یک صفحهٔ مختصات برای تکه‌سطح باز، یا میان‌بُر کره $\mathbf{n}=\mathbf{r}/a$ — و همیشه ابتدا باید $\operatorname{div}\mathbf{F}$ تعیین شود، زیرا میدانی با دیورژانس صفر از یک سطح بسته بدون هیچ محاسبه‌ای شار $0$ می‌دهد.

هر قید مجاورت، جدایی، ترتیب یا موقعیت روی یک چیدمان با یکی از چهار بازپارامترسازی برداشته می‌شود — چسباندن اشیا در یک بلوک، جای‌دادن آن‌ها در فاصله‌ها، چسباندن هر شیء به همراهی که ناچار می‌کند، یا شمارش متمم — و پس از آن پاسخ صرفاً یک فاکتوریل یا ضریب دوجمله‌ای است.

دو پرچم را تعیین کنید — ترتیب مهم است؟ تکرار مجاز است؟ — تا میان $n^{k}$، $P(n,k)$، $\binom{n}{k}$ و $\binom{n+k-1}{k}$ یکی را برگزینید، و هر شرط منفی یا وجودی را به متمم تبدیل کنید: $\lvert S\rvert=\lvert U\rvert-\lvert U\setminus S\rvert$، که نمونهٔ شاخص آن شمارش $n^{k}-\frac{n!}{(n-k)!}$ کلمهٔ دارای نماد تکراری است.

یک نگاشت خطی با مقادیرش روی یک پایه تعیین می‌شود، در پایه‌های انتخابی با ماتریسی کدگذاری می‌شود که تنها تا تشابه تغییر می‌کند، و از راه قضیهٔ رتبه–پوچی به هسته و تصویرش گره می‌خورد — موتور محرک هر پرسش کنکوری دربارهٔ یک‌به‌یکی، رتبه، پوچ‌توانی و عملگرهای مربع–صفر.

هر روش تک‌گامی حل معادلهٔ دیفرانسیل، در واقع یک قاعدهٔ انتگرال‌گیری عددی برای انتگرال‌دهنده‌ای ناشناخته است: اویلر از شیب نقطهٔ چپ استفاده می‌کند، هون آن را با شیب در نقطهٔ راستِ پیش‌بینی‌شده با اویلر میانگین می‌گیرد (مرتبهٔ ۲)، RK4 چهار مرحله را به سبک سیمپسون وزن‌دهی می‌کند (مرتبهٔ ۴) و خطای سراسری همواره یک توان $h$ پایین‌تر از خطای هر گام است.

برای یک دستگاه صفحه‌ای $X'=AX$، تنها اثر و دترمینان $A$ نوع مبدأ (زین، گره، مارپیچ یا مرکز) و پایداری آن را تعیین می‌کنند — پایداری مجانبی دقیقاً معادل $\operatorname{tr}A<0$ به همراه $\det A>0$ است.

فشردگی، همبندی، کامل‌بودن و چگالی چهار ویژگی سراسری مستقل از یکدیگر برای زیرمجموعه‌های $\mathbb{R}^{n}$ هستند — تنها استلزامی که کنکور می‌تواند بر آن تکیه کند این است: همبند با بیش از یک نقطه $\Rightarrow$ بدون نقطهٔ منزوی $\Rightarrow$ ناشمارا.

مسیر کامل حل عددی $f(x)=0$: مکان‌یابی ریشه‌ها با یکنوایی و قضیهٔ مقدار میانی، محصورسازی آن‌ها، و سپس تکرار با روش تنصیف ($p=1$)، نقطهٔ ثابت، نیوتن ($p=2$، اما $p=1$ در ریشهٔ مکرر) یا روش وتری ($p=(1+\sqrt5)/2$) — همراه با فرض‌های دقیق، کران‌های خطا و تعداد گام‌هایی که هر یک به همراه دارد.