سوالات

تعداد سه‌تایی‌های مرتب (x,y,z) از اعداد صحیح که در نامساوی x + y + z ≤ ۶ صدق می‌کنند، کدام است؟

تعداد ۷ نهال چنار، ۴ نهال سپیدار و ۳ نهال سرو باید در یک ردیف با رعایت شرایط زیر کاشته شوند: نهال‌های ابتدا و انتهای ردیف چنار باشند. هیچ دو نهال سرو مجاور هم نباشند. هیچ دو نهال سپیدار مجاور هم…

به چند طریق می‌توان مجموعه ۱،۲،۳،…،۱۳۹۷ را به ۴ زیرمجموعهٔ ناتهی افراز کرد که در هیچ یک، دو عدد متوالی وجود نداشته باشد؟

کدام گزاره درست است؟

فرض کنید A یک مجموعه n عضوی و B یک مجموعه m عضوی (n < m) است. چند تابع یک‌به‌یک از A به B وجود دارد؟

فرض کنید A = ۱,۲,۳,۴ و R = (۱,۱),(۲,۲),(۳,۳),(۴,۴),(۱,۲),(۲,۱) . کدام گزینه برای رابطه دوتایی R نادرست است؟

تابع f:NtimesNtoQ^(+) را با ضابطه f(m,n)=dfrac ۳^m ۴^n تعریف می‌کنیم، که در آن N مجموعه اعداد طبیعی و Q^(+) مجموعه اعداد گویای مثبت است. کدام گزینه درست است؟

فرض کنید f : X → Y پوشا باشد. کدام حالت نمی‌تواند اتفاق بیفتد؟

برای عدد صحیح m > ۰ حاصل ∑_(i=۰)^(m-۱) (-۱)^(m-i) C(m, i) چقدر است؟

چه تعداد از گزاره‌های زیر، با گزاره‌ی ¬ ∀ x ∃ y P(x,y) ، معادل منطقی هستند؟ (a) ∃ x ¬ ∀ y P(x,y) (b) ∃ x ∃ y ¬ P(x,y) (c) ∃ x ¬ ∃ y P(x,y) (d) ∃ x ∀ y ¬ P(x,y)

از دو استدلال زیر کدام معتبر است؟ الف ــ چنین نیست که (همه دانش‌آموزان باهوش و همه معلم‌ها توانمند باشند.) اگر منابع مالی به‌اندازه کافی وجود داشته باشد، آن‌گاه همه معلم‌ها توانمند هستند. بنابراین…

از دو عبارت α ≡ ¬ P → (r ∨ q) β ≡ ¬ r → (¬ p → q) کدام‌یک مستلزم منطقی دیگری است؟ ( X را مستلزم منطقی Y گوییم هرگاه Y ⇒ X .)

کدام مورد بهترین ترجمه برای عبارت زیر در منطق گزاره‌ها است؟ اگر آفتاب طلوع کند «به دوچرخه‌سواری می‌روم فقط اگر دوچرخه خراب باشد.» T : آفتاب طلوع می‌کند D : به دوچرخه‌سواری می‌روم K : دوچرخه خراب است

فرض کنید: A(x) : x یک کاربر است C(x) : x به سرور وصل شده است R(x,y) : x، y را دریافت می‌کند k(x) : x پیام کدگذاری شده است کدام مورد بهترین ترجمه برای عبارت زیر در منطق سورها است؟ «کاربرانی که به سرور…

فرض کنید L = R, C زبان مرتبه اول باشد که در آن R نماد معمولی دوموضعی و C ثابت است. دو L -ساختار M = (Z, <_m, -1) و N = (N, <, ۰) را درنظر می‌گیریم، به‌طوری‌که N مجموعه اعداد صحیح نامنفی، Z مجموعه…

با درنظرگرفتن فرضیات سؤال ۹۶، اگر α ≡ ∀ x (R(x,C) → ∃ y R(y,x)) کدام مورد درست است؟

فرض کنید α یک فرمول در منطق گزاره‌ها شامل سه گزاره اتمی p ، q و r باشد، که در جدول ارزش آن تنها سه سطر با ارزش ۰ مطابق جدول زیر وجود دارد: p q r α :---: :---: :---: :---: ۱ ۰ ۱ ۰ ۱ ۰ ۰ ۰ ۰ ۰ ۱ ۰ در…

فرض کنید رابط گزاره‌ای با جدول ارزش زیر داده شده است. A B A B --- --- --- ۱ ۱ ۰ ۱ ۰ ۱ ۰ ۱ ۱ ۰ ۰ ۱ یک مجموعه از رابط‌های گزاره‌ای را کامل گوییم، هرگاه هر فرمول در منطق گزاره‌ها دارای معادلی باشد که…

فرض کنید زبان مرتبه اول شامل یک نماد معمولی دو موضعی P باشد. سه جمله a، b و c زیر را در نظر بگیرید: (a) ∀ x ∀ y ∀ z (P(x,y) → (P(y,z) → P(x,z))) (b) ∀ x ∀ y (P(x,y) → (P(y,x) → x = y)) (c) ∀ x ∃ y…

کدام مورد، درخصوص مجموعه تمام زیردنباله‌های دنباله ۱/n _(n=۱)^(∞) درست است؟

مجموعه a + b√۲ : a,b ∈ Q با چه تعدادی از مجموعه‌های [۰ , √۲] ، C و N هم‌توان است؟ ( N مجموعه اعداد طبیعی، Q مجموعه اعداد گویا و C مجموعه اعداد مختلط است.)

فرض کنید A = N^N مجموعه همه توابع از N به N باشد. رابطه R = (f,g) ∈ N^N × N^N f(∘) = g(∘) را بر A در نظر بگیرید. اگر A/R مجموعه همه کلاس‌های هم‌ارزی رابطه R بر A باشد، کدام مورد برای مجموعه A/R درست…

فرض کنید N_e مجموعه اعداد طبیعی زوج و G : N → N_e^N با ضابطه G(n) = f_n چنان تعریف شود، که f_n : N → N_e و f_n(m) = ۲n . کدام مورد درست است؟ ( N_e^N یعنی مجموعه همه توابع از N به N_e )

فرض کنید A = X ⊆ N X ≃ N ( ≃ نماد هم‌توانی است). مجموعه A با کدام‌یک از مجموعه‌های زیر، هم‌توان است؟

فرض کنید A = N - 1 . رابطه R را بر A بهصورت: n R m ⇔ m n (عدد m ، عدد n را عاد میکند.) تعریف میکنیم. کدام مورد برای ترتیب جزئی (A,R) ، درست است؟ الف ـ هر زنجیر، کران بالا دارد. ب ـ (A, R) دارای عضو…

از دو عبارت زیر، کدام معادل اصل انتخاب، است؟ الف ـ هر تابع پوشا دارای وارون راست است. ب ـ اگر A_α : α ∈ I خانواده‌ای از مجموعه‌های ناتهی باشد، آنگاه ∏_(α ∈ I) A_α ، ناتهی است.

تمام اعضای مجموعه P(P(P(P(∅)))) را فهرست می‌کنیم ( P نشان‌دهنده مجموعه توانی است). اگر x تعداد اوردینال‌ها و y تعداد مجموعه‌های متعددی که اوردینال نیست در این فهرست باشند، آنگاه کدام مورد درست است؟

فرض کنید C مجموعه‌ای ناتهی از اوردینال‌ها باشد. از دو گزاره زیر، کدام مورد درست است؟ الف ـ bigcap C ، کوچک‌ترین اوردینال در مجموعه C است. ب ـ bigcup C ، کوچک‌ترین عضو در کلاس α ∈ Ord : ∀ β ∈ C (α >…

از دو اوردینال زیر، کدام اوردینال با ω+ω+ω ، برابر است؟ الف ـ ω· ۳ ب ـ ۳·ω

به چند طریق می‌توان از ۶۴ خانه یک جدول ۸×۸ سه خانه انتخاب کرد، به‌طوری‌که یکی از این سه‌خانه با هر دو خانه انتخاب شده دیگر ضلع مجاور داشته باشد؟

فرض کنید t تعداد حالت‌های قرار گرفتن ۵ شیء متمایز در ۳ ظرف متمایز، باشد به‌طوری که هیچ ظرفی خالی نمانده و ترتیب اشیاء در ظرف‌ها مهم باشد. هم‌چنین s تعداد حالت‌های قرار گرفتن ۵ شیء متمایز در ۳ ظرف…

فرض کنید t تعداد جایگشت‌های حروف کلمه AAABBCCCDD باشد، که در آن کلمه AB ظاهر نشده است. مقدار t/۲۴۰ در کدام بازه، قرار دارد؟

فرض کنید t تعداد رشته‌های به طول ۸ با نمادهای (حروف) ۰،۱ باشد، به‌طوری که حــداقل در یکــی از دو شرط زیر صدق کند: الف ــ با ۰۰۰ شروع می‌شود. ب ــ با ۱۱۱ تمام می‌شود. اگر t = x × 2^y ، به‌طوری‌که x و…

فرض کنید A تعداد عضوهای مجموعه‌ A = X ⊆ ۱,۲,…,۲۰ : X ≥ ۲, X ∩ ۱,۲,۳ ≠ ∅ باشد. مقدار dfrac A +۳ ۲^۱۷ در کدام بازه، قرار دارد؟

از دو گزاره زیر، کدام گزاره درست است؟ الف ـ اگر G گرافی با n ≥ 3 رأس و C(n-1, 2)+2 یال باشد، آنگاه G همیلتونی است. ب ـ هر گراف ۳-منتظم شش رأسی، همیلتونی است.

از دو گزاره زیر، کدام گزاره درست است؟ الف ـ گراف مسطح با ۷ رأس و ۱۳ یال، وجود دارد. ب ـ گراف مسطح با ۸ رأس و ۲۰ یال، وجود دارد.

از دو گزاره زیر، کدام گزاره درست است؟ الف ـ گراف G با ۸ رأس و ۱۷ یال و عدد رنگی χ(G) = 2 ، وجود دارد. ب ـ اگر گراف G حداکثر دو دور فرد داشته باشد، آنگاه رأس‌های آن را می‌توان با حداکثر ۳ رنگ، رنگ کرد…

فرض کنید C(x) = 1 + 2x^3 + 8x^4 + 22x^5 + 52x^6 + ⋯ تابع مولد دنباله c_n _(n=0)^(∞) باشد. اگر این دنباله در رابطه بازگشتی c_n = a c_(n-1) + b c_(n-2) + c c_(n-3) , n ≥ 3 صدق کند، کدام مورد درست است؟

فرض کنید dfrac 1 (1+3x)^1۰ = ∑_(i=۰)^(∞) a_i x^i . اگر t = (a_۴)/۷۱۵ . کدام مورد درست است؟

مجموع اعداد طبیعی ۳ رقمی مضرب ۷ را n و مجموع اعداد طبیعی ۳ رقمی مضرب ۳ را k مینامیم. کدام مورد درست است؟ (اعداد ۳ رقمی از ۱۰۰ شروع میشوند.)