سوالات

با فرض پذیرش اصل انتخاب، کدام مورد نادرست است؟

فرض کنید T یک عملگر خطی روی P_2 ( فضای چند جمله‌ای‌های از درجه حداکثر ۲ ) با ضابطهٔ T(f(x)) = f(x) + (x+1)f'(x) باشد. در این صورت مقادیر ویژهٔ T کدامند؟

فرض کنید g : M_10(C) → C و h : C^2 → C^2 به‌صورت زیر تعریف شده باشند: g(A) = tr(A) + ∑_(i=1)^10(a_i1 + a_1i) و h(z_1, z_2) = (0, z_2 ), که در آن A = [a_ij]_(10× 10) . کدام‌یک از h و g ، روی C تبدیل…

فرض کنید A_(2023 × 1402) یک ماتریس روی C باشد. در این صورت کدام مورد درست است؟

فرض کنید M = A_(n× n), B_(n× n) ; C_(n× n), D_(n× n) یک ماتریس 2n× 2n بلوکی و معکوس‌پذیر باشد که n ≥ 3 و M^(-1) = E_(n× n), F_(n× n) ; G_(n× n), H_(n× n) . در این صورت det(M) det(H) برابر است با:

فرض کنید A ∈ M_4(R) یک ماتریس ناصفر و متقارن باشد که A^2 = A^T . در این‌صورت اگر λ_1, λ_2, …, λ_4 مقادیر ویژه A باشند، حاصل کسر dfrac (tr(A))^2 rank(A)(∑_(i=1)^4 λ_i) کدام است؟

برای سری ∑_(n=2)^(∞) n^((-n)/(log n)) ، کدام مورد درست است؟ (نماد log برای لگاریتم طبیعی است.)

چندجمله‌ای درجه سه P:RtoR با ضابطهٔ P(x)=ax^3+bx^2+cx+d را درنظر می‌گیریم. کدام شرط، دوسویی‌بودن P را ایجاب می‌کند؟

فرض کنید تابع حقیقی f بر [a,b] صعودی باشد. کدام مورد درباره تابع g(x)=∫_a^x f(t) dt بر [a,b] ، نادرست است؟

مجموعه‌های A = bigcup_(n=1)^(∞)[1/(n+1), n/(n+1)] و B = bigcap_(n=1)^(∞)(-1/n, 1/n) را در نظر می‌گیریم. کدام مورد درست است؟

از کدام مورد، پیوستگی یکنواخت تابع f:RtoR نتیجه می‌شود؟

در یک دستگاه ممیز شناور دودویی نرمال‌شده، هر عدد ناصفر حقیقی به‌صورت ∓(0/d_1 d_2 d_3 d_4)_2 × 2^(∓ e) نمایش داده می‌شود، که در آن، e یک عدد سه‌رقمی در مبنای ۲ و ارقام d_i صفر یا یک بوده و d_1 ≠ 0 .…

مرتبهٔ همگرایی روش تکرار ساده با فرمول بازگشتی x_(n+1) = (x_n(x_n^2 + 3R))/(3x_n^2 + R), n ∈ N که در آن x_0 = -R < 0 مفروض می‌باشد، کدام است؟

فرض کنید منحنی y = c_0 + c_1 t + c_2 t^2 چهار نقطه (0,5) ، (1,3) ، (2,3) و (3,1) را به روش کمترین مربعات خطا برازش کند. در این‌صورت، اثر (مجموع عناصر قطری) ماتریس ضرایب در معادلات نرمال، کدام است؟ (…

فرض کنید a+ih _(i=1)^(∞) یک دنباله باشد که در آن، h>0 یک عدد ثابت حقیقی و f(x_i)=f_i ، (iinN) است. اگر بخواهیم مقدار f''(x_i) را با دقت مرتبهٔ h^4 با فرمول frac A_1 f_(i-2)+A_2 f_(i-1)+A_3 f_i+A_2…

برای انجام یک پروژه داده‌کاوی، از دو الگوریتم A و B استفاده می‌شود. میانگین و انحراف‌معیار زمان اجرای این دو الگوریتم به‌ترتیب برای A برابر ۷۵ و ۵ ثانیه و برای B برابر ۸۵ و ۱۰ ثانیه است. درخصوص…

یک رشته از کاراکترهای مختلف را درنظر بگیرید، به‌نحوی که یک کاراکتر خاص قرار است در وسط آنها قرار بگیرد. برای یک رشته‌ی 7 تایی (شامل این کاراکتر خاص)، چند روش مختلف برای قرار گرفتن کاراکترها در این…

در یک کامپیوتر شامل d فایل داده، احتمال خراب شدن هر فایل مستقل از سایر فایل‌ها، یکسان است. می‌دانیم هر شوک واردشده به کامپیوتر، دقیقاً یک فایل از d فایل را خراب می‌کند. اگر احتمال خراب نشدن دو فایلی…

بر اساس پژوهش صورت‌گرفته در مقالات حوزه یادگیری ماشینی، در آن‌ها حداقل یکی از الگوریتم‌های مبتنی‌بر شبکه‌های عصبی مصنوعی یا الگوریتم‌های مبتنی‌بر آمار بیزی استفاده شده است. اگر a درصد از مقالات از…

یک برنامه کامپیوتری به زبان پایتون، در معرض سه نوع خطای متداول A ، B و C است. احتمال اینکه این برنامه در معرض خطاهای A و B و نه C قرار گیرد، 0.12 است. احتمال اینکه این برنامه هر سه خطا را داشته باشد…

فرض کنید برای درون‌یابی تابع f(x) = e^(-x) از پنج نقطهٔ x = ± x_0, 0, ± x_1 در بازهٔ [-1, 1] استفاده کنیم. کوچک‌ترین کرانِ بالای قابلِ اثبات برای خطای مطلقِ درون‌یابی در هر نقطهٔ x ∈ [-1, 1] ، از بین…

فرض کنید یک الگوریتم با زمان اجرای f(n) برای تعیین میانه اعضای یک آرایه n عضوی موجود است. به کمک این الگوریتم بهترین زمان اجرای الگوریتم مرتب‌سازی سریع، چقدر است؟

کدام مورد، درخصوص پیمایش BFS یک گراف همبند n راسی با شروع از راس v درست است؟

در مورد ادغام i لیست مرتب با مجموع تعداد اعضای n ، کدام مورد درست است؟

کدام مورد، درخصوص الگوریتم دایکسترا برای یافتن کوتاه‌ترین مسیر از گره v به سایر گره‌ها برای یک گراف n راسی و شامل m یال، درست نیست؟

زمان اجرای دو برنامه A و B در بدترین حالت به‌ترتیب از 150 nlg n و n^2 بیشتر نیستند. کدام مورد، درست است؟

ماتریس وزن‌ها برای یک گراف در زیر داده شده است، وزن درخت فراگیر با کمترین وزن در این گراف چقدر است؟ 0, 18, 9, 3, 7, 12 ; 18, 0, 14, 20, 13, 18 ; 9, 14, 0, 25, 16, 4 ; 3, 20, 25, 0, 5, 22 ; 7, 13, 16…

بهترین الگوریتم برای یافتن کوتاه‌ترین مسیرها بین تمام جفت رئوس (all pair shortest path) در یک گراف داده شده کدام است؟

اگر n اندازه ورودی الگوریتم و c و d اعداد ثابت باشند، مرتبه تابع بازگشتی زیر چیست؟ T(1) = c ; T(n) = 2T(n-1) + d,, n ≥ 2

حداقل مرتبه زمانی الگوریتمی که در یک گراف داده شده با n رأس و تعداد یال دلخواه، تمام مسیرهای ممکن بین دو رأس i و j را به‌دست می‌آورد، چیست؟

زمان بدترین حالت برای یافتن عنصر مینیمم در یک درخت جستجوی دودویی (binary search tree) چیست؟

کدام مورد درخصوص یک درخت جستجوی دودویی برای n عدد صحیح است؟

آرایه A شامل n عنصر مرتب (از اندیس 1 تا n ) و k عنصر نامرتب (از اندیس n+1 تا n+k ) است و k مستقل از n و بسیار کمتر از آن می‌باشد. کدام‌یک از الگوریتم‌های زیر برای مرتب‌سازی این آرایه به کمترین تعداد…

در الگوریتم کروسکال برای گراف زیر، کدام یال انتخاب نخواهد شد؟ گراف یک گراف کامل K_5 روی پنج رأس است. رئوس را T (بالا)، UL (بالا-چپ)، UR (بالا-راست)، BL (پایین-چپ)، BR (پایین-راست) بنامید. وزن یال‌ها…

کدام‌یک درخصوص الگوریتم دایکسترا (Dijkstra) نادرست است؟ ۱) برچسب قطعی رأس‌ها در طول الگوریتم به‌ترتیب غیرنزولی است. ۲) برای گراف با n رأس، زمان اجرا O(n^2) است. ۳) فقط برای گراف‌هایی که دور جهت‌دار…

حاصل جمع مجموع اعضای همه زیرمجموعه‌های A = 1, 2, 3, 4 چند است؟

کدام مورد درخصوص درخت جستجوی دودویی بهینه نادرست است؟

با استفاده از درخت فضای حالت، کدام روش‌ها به‌ترتیب برای حل سه مسئله زیر مناسب است؟ مسئله n وزیر در صفحه شطرنج n × n رنگ‌آمیزی گراف مجموع زیرمجموعه‌ها (Subset Sum)

اگر f(n) تابعی از n باشد، چند مورد (موارد) صحیح‌اند؟ I - f(n) + O(f(n)) ∈ Θ(f(n)) II - f(n) ∈ Ω(√(f(n))) III - f(n) + f^2(n) + √(f(n)) ∈ Θ(f(n))

کدام کدها نمی‌توانند طبق الگوریتم هافمن، به‌عنوان بخشی از کدگذاری برای کاراکترها همزمان تولید شوند؟