سوالات

طول، عرض و ارتفاع یک جعبهٔ مستطیلی به‌ترتیب ۱۵ ، ۱۰ و ۸ سانتی‌متر است. اگر سرعت تغییرات آنها برحسب cm/s به‌ترتیب ۳ افزایش، ۰٫۵ کاهش و ۲ افزایش باشد، سرعت تغییرات حجم برحسب (cm^۳)/s و مساحت کل آن…

معادلهٔ خط مماس بر منحنی x^۳+۳xy^۲+xy-y^۳=۱ در نقطهٔ (۰,-۱) کدام است؟

نقطهٔ M بر منحنی قطبی r=cos۲θ ، از θ=۰ حرکت کرده و با سرعت ثابت dx/dt=۰٫۲۵ بر محوری که در قطب به محور قطبی عمود است، نزدیک می‌شود. نقطهٔ M با کدام سرعت در θ=(π)/۶ ، به قطب نزدیک می‌شود؟

ماکزیمم تابع f(x)=frac ۳√((x^۲+۱)^۲(x^۲+۳)) ۳x^۲+۴ ، چه ضریبی از ۳√(۱۶۰) است؟

تعداد نقاطی که تابع f(x)=lvertlvert xrvert-۱rvert در آنها مشتق‌ناپذیر است، کدام‌اند؟

اگر تابع f در x=۳ مشتق‌پذیر باشد، آنگاه lim_(x→۳)(x^۲f(۳)-۹f(x))/(x-۳) ، کدام است؟

فرض کنید I=∑_(n=۱)^(+∞)∫_۰^(۱/n^۲)√(x^۴+cos x^۴+۲) dx و J=∑_(n=۱)^(+∞)∫_۰^(۱/n)sqrt x^۱۰+x+۴ dx . با استفاده از قضیهٔ مقدار میانگین در انتگرال‌ها، کدام مورد برای همگرایی یا واگرایی I و J درست است؟

مختصات نزدیک‌ترین نقطهٔ واقع بر فصل مشترک رویه‌های x-y+۲z=۵ و z^۲=۲x^۲+۲y^۲ ، از مبدأ مختصات، کدام است؟

با استفاده از حدّ مجموع ریمان، مقدار lim_(n→∞)∑_(k=۱)^n(k^۲)/(n^۳+k^۳) ، کدام است؟

مساحت ناحیهٔ بیرون منحنی x^۲+y^۲=۲y و درون منحنی r=۳-sinθ واقع در ربع اول صفحهٔ مختصات، کدام است؟

مقدار ∫_۰^∞frac e^(-۲x)-e^(-۵x) x dx ، کدام است؟

طول منحنی f(x)=∫_۰^x√(sin t) dt در بازهٔ [۰,π] ، کدام است؟

مقدار ∫_۰^۱∫_۰^(√(۱-x^۲))frac e^y √(۱-x^۲-y^۲) dy dx ، کدام است؟

حجم ناحیهٔ محصور به رویهٔ r=۲cosθ و داخل کره‌ای به مرکز مبدأ مختصات و شعاع ۲ ، کدام است؟

مساحت سطح غیرمسطح φ=fracπ۴ محدود به صفحهٔ z=۱ ، در مختصات کروی، کدام است؟

مقدار ∬_Dtan^(-۱) (frac yx) dx dy که در آن، D= (x,y):۰<a^۲≤ x^۲+y^۲≤ b^۲, x/(sqrt۳)≤ y≤sqrt۳x ، کدام است؟

مقدار ∬_S e^z dS که در آن، S بخشی از مخروط z=√(x^۲+y^۲) است که بین صفحات z=a و z=b ، (۰<a<b) قرار گرفته، کدام است؟

فرض کنید C منحنی حاصل از برخورد صفحهٔ y+z=۲ با استوانهٔ x^۲+y^۲=۱ در جهت مثلثاتی باشد. اگر vec F(x,y,z)=(-α y^۲,α x,z^۲cos z) و ∮_Cvec F· dvec r=۲π ، آنگاه مقدار α ، کدام است؟

اگر S ، سطح کره به مرکز مبدأ مختصات و شعاع ۱ باشد، مقدار انتگرال زیر، کدام است؟ ∬_S(x(۲x+۳e^(z^۲))-y(e^(x^۲)+y)+z(۲z+cos۲y)) dσ

برای سری ∑_(n=۱)^(∞)(-۱)^(n-۱)frac ۲^nsin^۲n(x) n ، کدام مورد درست است؟

فرض کنید z_۱ ، z_۲ و z_۳ اعداد مختلط با اندازهٔ یک باشند، به‌طوری که z_۱+z_۲+z_۳=۰ . مقدار Re((z_۱)/(z_۲)+(z_۱)/(z_۳)+(z_۲)/(z_۳)) کدام است؟

فرض کنید A(-۱,۲,۱) رأس یک مثلث و B(۳,۴,۳) و C(۰,۱,۰) دو نقطه از دو ضلع زاویهٔ BAC باشند. اندازهٔ این زاویه کدام است؟

مقدار lim_(n→∞)sin^۲(πsqrt n^۲۰۰+n^۱۰۰+۱ ) ، (n∈mathbb N) ، کدام است؟

مقدار lim_(x→۲)frac x-۳ ۱+۳^(۱/(x-۲)) کدام است؟

کدام تابع با f(x)=coth^(-۱)x برابر است؟

مقدار lim_(n→∞)frac ۳√(۱+۱/n)+۳√(۱+۲/n)+⋯+۳√(۱+n/n) n^۲ ، (n∈mathbb N) ، کدام است؟

اگر d کوتاه‌ترین فاصلهٔ نقطهٔ (۰,b) از منحنی x^۲-۴y=۰ باشد، آنگاه کدام مورد نادرست است؟

فرض کنید x=∫_۰^yfrac dt sqrt ۴+۹t^۲ و y=f(x) تابعی پیوسته و حداقل ۲ مرتبه مشتق‌پذیر بوده و y(x)≠۰ . حاصل frac f^′′(x) f(x) کدام است؟

مقدار B=∬_(mathbb R^۲)e^(-(lvert xrvert+lvert yrvert)) dx dy و C=∬_(mathbb R^۲)e^(-lvert x+yrvert) dx dy ، کدام‌اند؟

اگر حجم جسم حاصل از دوران ناحیهٔ محصور به منحنی y=۳x+۳ و محورهای مختصات، حول خط x=c<۰ برابر ۷π باشد، مقدار c کدام است؟

کدام مورد برای سری ∑_(n=۳)^(∞)frac ۱ n(ln n)^۲ ، درست است؟

اگر f(x)=lim_(n→+∞)frac x^۴ n ∑_(k=۱)^ntan^(-۱)(frac kx^۴ ۴n ) ، آنگاه f′(x) کدام است؟

معادلهٔ صفحهٔ مماس بر رویهٔ f(x,y,z)=x^۲+y^۲+z-۹ در نقطهٔ (۱,۲,۴) ، کدام است؟

طول مارپیچ لگاریتمی r=e^(-aθ) ، (۰≤θ<∞,a>۰) ، کدام است؟

مساحت ناحیهٔ مشترک منحنی‌های r=۱+cosθ و r=۱-cosθ ، کدام است؟

فرض کنید طول قوس منحنی f(x)=x^۲ در بازهٔ [۰,۲] برابر A باشد. مساحت قسمتی از رویهٔ z=x^۲ ، ۰≤ y≤۳ که توسط صفحهٔ z=۴ بریده می‌شود، چند برابر A است؟

کار انجام‌شده توسط نیروی vec F(x,y)=x^۲hat i+۸xyhat j روی قسمتی از منحنی x^۲-۴y^۲+۴=۰ در بازهٔ ۰≤ x≤۲sqrt۲ در جهت مثلثاتی، کدام است؟

حجم ناحیهٔ محصور به رویهٔ y=sin۲x و صفحهٔ z=۳ در ۱/۸ اول فضا (x,y,z≥۰) ، کدام است؟

بیشترین انحنای منحنی y^۲-x^۲=۴ در بازهٔ [-۲,۱] ، کدام است؟

سری تیلور تابع f(x)=۱/(x^۲) حول نقطهٔ x=-۱ کدام است؟