سوالات

با فرض آنکه p ، q و r حروف گزاره‌ای باشند، کدام‌یک از گزینه‌ها معادل (p ∨ q) ⇒ r نیست؟ (نماد ¬ ، نمایش نقیض است.)

نقیض گزارهٔ زیر کدام است؟ «به ازای هر دو عدد اصلی α و β ، اگر β < α آنگاه یک عدد اصلی مانند γ یافت می‌شود که β < γ < α .»

اگر A زیرمجموعه شمارا و B زیرمجموعه ناشمارایی از R باشند، کدام مجموعه قطعاً <u>ناشماراست</u>؟

به‌ازای a,b ∈ Z ، گوییم aRb اگر b-a مضربی از k باشد. کدام گزینه <u>نادرست</u> است؟

فرض کنید f : A → B که A و B مجموعه‌های نامتناهی هستند و عدد اصلی (کاردینال) A بزرگ‌تر از عدد اصلی B است. کدام گزینه درست است؟

فرض کنید S = ۱, ۲, …, N ، در این‌صورت نسبت تعداد زیرمجموعه‌های غیرتهی با تعداد زوج به تعداد زیرمجموعه‌های غیرتهی با تعداد فرد از S ، کدام است؟

با فرض اینکه x, y ∈ R ، عمل‌های دوتایی و o را با ضابطه‌های زیر تعریف می‌کنیم: x y = x + y + xy x o y = x + y - xy کدام مورد درست است؟

فرض کنید f:AtoR . در موردهای زیر ε و δ مقید به اعداد مثبت هستند، x,a∈ A و binR . کدام گزاره بیان می‌کند که f در هیچ نقطه‌ای از A حد ندارد (یعنی برای هیچ a و هیچ b ، lim_(x→ a)f(x)=b برقرار نیست)؟

فرض کنیم (X,≤) مجموعه‌ای مرتب باشد و برای هر x,y∈ X بازهٔ باز به‌صورت زیر تعریف شود: ∀ x,y∈ X: (x,y)= z∈ X: x≤ z, x≠ z, z≤ y, z≠ y رابطهٔ ~ روی X به‌صورت زیر تعریف می‌شود: ∀ a,b∈ X: (a~ b ⇔ ∃ x,y∈ X…

فرض کنیم f : X → Y یک تابع باشد. کدام مورد با یک‌به‌یک بودن تابع f معادل <u>نیست</u>؟

فرض کنید A مجموعه‌ای شمارا و B مجموعه‌ای با توان پیوستار باشد، یعنی B ≅ R . کدام مورد نادرست است؟

یک عکس خانوادگی را درنظر بگیرید که در آن، قرار است مادربزرگ در وسط یک ردیف از اعضای خانواده باشد. برای یک خانواده ۷ نفری (شامل مادربزرگ)، چند روش مختلف برای قرارگرفتن اعضای خانواده در این عکس وجود…

فرض کنید P(z) یک چندجمله‌ای با ضرایب حقیقی، P(۲-i)=۳-۲i و P(i)=۲ . مقدار P(۲+i)+P(-i) کدام است؟

نقیض گزارهٔ زیر کدام است؟ «هر ریاضی‌دانی در یکی از گرایش‌های علوم ریاضی تخصص دارد.»

فرض کنید R رابطه‌ای در مجموعهٔ A باشد. کدام گزینه معادل پادمتقارن بودن R است؟

فرض کنید f : A → B و g : B → C دو تابع باشند. کدام گزینه <u>نادرست</u> است؟

کدام گزینه نادرست است؟ (در اینجا ℵ_0 اندازهٔ N و c = 2^(ℵ_0) اندازهٔ پیوستار است.)

در اثبات کدام گزینه اصل انتخاب ضروری نیست؟

نقیض گزاره زیر، کدام است؟ «به‌شرط آن‌که X مجموعه‌ای فشرده باشد، پیوسته یکنواخت‌بودن f: X → R ، شرط لازم برای پیوسته بودن f است.»

فرض کنید F : P(A) → P(A) یک تابع صعودی باشد، یعنی از X ⊆ Y ⊆ A نتیجه شود F(X) ⊆ F(Y) . اگر B = bigcap X ⊆ A : F(X) ⊆ X و C = bigcup X ⊆ A : X ⊆ F(X) ، آنگاه از دو تساوی زیر، کدام برقرار است؟ «الف»…

فرض کنید تابع φ : C(R) → C(R) با ضابطهٔ φ(f) = f^() تعریف شود که در آن برای هر x ∈ R ، f^()(x) = (x^۳ - x) f(x). کدام گزینه درباره تابع φ ، درست است؟

فرض کنید CardN = ℵ_∘ و CardR = c ، کدام گزینه، <u>نادرست</u> است؟

در بین ۳۳ دانشجوی یک کلاس، ۱۷ نفر در امتحان میان‌ترم نمره A گرفته‌اند، تعداد ۱۴ نفر در امتحان پایان‌ترم نمره A گرفته‌اند و ۱۱ نفر در هیچ‌کدام از این امتحانات نمره A نگرفته‌اند. چند نفر در هر دو…

برای دنبالهٔ a_n از اعداد حقیقی، کدام‌یک از گزاره‌های زیر با هم معادل (هم‌ارز) هستند؟ (اندیس‌ها مقید به اعداد طبیعی و ε مقید به اعداد حقیقی مثبت است.) الف) ∀ ε ∃ N ∀ n (n > N ∧ a_n - a_N < ε) ب) ∀ ε…

فرض کنید f : X → Y تابعی مفروض باشد. رابطهٔ هم‌ارزی R را در X به‌صورت زیر تعریف می‌کنیم: xRx' یعنی f(x) = f(x') . مجموعهٔ دسته‌های هم‌ارزی در X با کدام مجموعه هم‌عدد است؟

فرض کنید A_k= xinR: -1≤ [kx]≤ k ، A=bigcap_(k=1)^(∞)A_k و B=bigcup_(k=1)^(∞)A_k . [.] نماد جزء صحیح است و R مجموعهٔ اعداد حقیقی. کدام گزینه درست است؟

اگر A= A_α _(α∈ I) خانواده‌ای از مجموعه‌ها باشد، تعریف می‌کنیم bigcup A=bigcup_(α∈ I)A_α . کدام‌یک از گزاره‌های زیر درست است؟ ( P نماد مجموعهٔ توانی است.) (الف) به‌ازای هر A ، P(bigcup A)=A (ب) اگر…

تابع انتخاب برای مجموعهٔ X تابعی مانند F:(p(X)- φ ) → X است به‌طوری که برای هر φ ≠ A ⊆ X ، F(A) ∈ A . گزاره‌های زیر را درنظر می‌گیریم: (الف) یک تابع انتخاب برای N (مجموعهٔ اعداد طبیعی) وجود دارد. (ب)…

نقیض گزارهٔ زیر کدام است؟ «اگر عددی نامنفی باشد و از هر عدد مثبت کوچکتر باشد، آنگاه آن عدد صفر است.»

فرض کنید A شمارای نامتناهی باشد و B توان پیوستار (قوت متصله) داشته باشد. کدام گزینه درست است؟ (هرگاه مجموعه‌ای با R هم عدد باشد گوئیم توان پیوستار دارد.)

فرض کنید A ، B ، C و D مجموعه‌های دلخواه باشند. کدام گزینه نادرست است؟ ( ≅ نماد هم عدد بودن در مجموعه‌ها است.)

فرض کنید A یک مجموعهٔ نامتناهی و B یک مجموعهٔ نامتناهی شمارا باشد. کدام گزینه درست است؟ (البته فرض بر آنست که اصل انتخاب را پذیرفته‌ایم.)

با ارقام 1,2,…,n ، چند عدد k رقمی (k<n) که دارای ارقام تکراری باشند می‌توان ساخت؟