ریاضی و فیزیک

کنکور ۱۴۰۲، نوبت دوم

  1. ۱اگر جملات یک دنبالۀ هندسی با قدرنسبت r را نصف کنید، دنباله‌ای حسابی با قدرنسبت d خواهید داشت. مقدار r+d کدام است؟
  2. ۲نقاط A(۳,y) و B(-۵,y) روی یک سهمی واقع شده‌اند و عرض رأس سهمی برابر ۱ است. اگر این سهمی، محور x ها را در نقاطی با طول‌های α و β قطع کند و α۲+β۲=۵ باشد…
  3. ۳حاصل‌ضرب دکارتی دو مجموعه و برابری مجموعه‌ها
  4. ۴مطابق با جدول ارزش درستی گزاره‌های زیر، کدام گزارۀ مرکب می‌تواند هم‌ارز منطقی گزارۀ X باشد؟ p q r X د د د ن د د ن ن د ن د د د ن ن ن ن د د ن ن د ن د ن…
  5. ۵اگر α و β ریشه‌های متمایز معادلۀ ax۲-ax-b=۰ و ۴۰β۲+۲۰α۲-۲۰β=۱۷ باشد، اختلاف ریشه‌های این معادله کدام است؟
  6. ۶معادلات گویا و تبدیل به معادلۀ درجۀ دوم با تغییر متغیر، مجموع ریشه‌ها
  7. ۷نقطۀ (۴/۵,۲) رأس یک مستطیل است که دو ضلع آن منطبق بر خطوط ۴x+y=۳ و x-۴y=۵ هستند. بیشترین فاصلۀ وسط قطر از اضلاع کدام است؟
  8. ۸وارون تابع f(x)=√(x-۲√(mx-۱)) در دامنه محدود، خط y=۱۲-x را در نقطه‌ای به عرض ۱۰ قطع می‌کند. مقدار f(m+۴) کدام است؟
  9. ۹مقداری از یک عنصر موجود است. اگر عنصر در هر ساعت ۱/۹ از جرم باقی‌مانده را از دست بدهد، پس از چند دقیقه ۱/۶ از جرم عنصر باقی خواهد ماند؟ (log۳۵ =۱/۴ و…
  10. ۱۰در شکل زیر، مقدار cot α کدام است؟
  11. ۱۱مثلث ABC، با اضلاع √۳ و ۶ و α (زاویه بین آن‌ها) قابل رسم است. اگر مساحت این مثلث ۴/۵ باشد، بیشترین مقدار α چند برابر کمترین مقدار α است؟
  12. ۱۲اگر شکل زیر، قسمتی از نمودار تابع f(x)=a+b sin (cx-۳π/۴) cos (cx-۳π/۴) باشد، اختلاف صفرهای تابع f در بازهٔ [۰,π]، کدام است؟
  13. ۱۳نسبت‌های مثلثاتی مجموع زاویه‌ها و زاویۀ دو برابر
  14. ۱۴تابع f اکیداً نزولی و دامنه آن مجموعه‌ای از مقادیر منفی است. اگر f(m۲-m-۵)<f(-۳+۲m-m۲) باشد، m دارای چند مقدار صحیح است؟
  15. ۱۵حد در بی‌نهایت توابع هموگرافیک و وارون تابع هموگرافیک
  16. ۱۶پیوستگی تابع چندضابطه‌ای شامل جزء صحیح و قدرمطلق
  17. ۱۷تعریف مشتق به صورت حد و مشتق تابع مثلثاتی و خارج‌قسمت
  18. ۱۸خط d موازی محور x ها، قرینۀ سهمی y=x۲+۱ نسبت به محور x ها را در دو نقطه قطع می‌کند و مماس‌های رسم‌شده در این نقاط بر هم عمودند. فاصلۀ خط d از مبدأ مخت…
  19. ۱۹به‌ازای چند مقدار صحیح و منفی k، نقطۀ عطف منحنی y=kx۳+(k+۱)x۲ در ناحیۀ دوم محورهای مختصات قرار دارد؟
  20. ۲۰کمترین فاصله نقاط واقع بر منحنی y=√(x-[x۲]) از خط ۲x-y+۲=۰ کدام است؟
  21. ۲۱۴ وزیر هرکدام با یک معاون به چند طریق می‌توانند روی ۸ صندلی در دو ردیف روبه‌روی هم بنشینند به‌طوری‌که هر وزیر دقیقاً روبه‌روی معاونش قرار بگیرد؟
  22. ۲۲در یک گروه ۱۵۰ نفری دانش‌آموزی، ۴۰ نفر فقط بلیت فیلم «الف» و ۷۵ نفر فقط بلیت فیلم «ب» را خریداری کرده‌اند. اگر P(A) و P(B) به‌ترتیب احتمال خرید بلیت ف…
  23. ۲۳اعداد ۹ تا ۱۹ دراختیار است. دو عدد دلخواه از بین این اعداد را حذف نموده و با مقدار اختلاف آن دو عدد جایگزین می‌شود. این روند تا جایی ادامه می‌یابد که…
  24. ۲۴یک دستگاه طوری طراحی شده که به تصادف یکی از دو حرف A یا B را از ورودی می‌گیرد و پس از طی سه مرحله حرفی را در خروجی چاپ می‌کند. در هر مرحله حرف ورودی ب…
  25. ۲۵در یک لوزی هر ضلع واسطۀ هندسی دو قطر لوزی است. اندازۀ زاویۀ کوچک‌تر در هر مثلث حاصل از رسم قطرهای این لوزی چند درجه است؟
  26. ۲۶تشابه مثلث‌ها و تساوی زاویه‌ها در مثلث ساخته‌شده از سه خط
  27. ۲۷در یک مستطیل، خط‌هایی از دو رأس مقابل بر یک قطر عمود می‌شوند و آن قطر به سه قسمت طوری تقسیم می‌شود که قسمت وسط دو برابر هریک از قسمت‌های کناری است. مس…
  28. ۲۸در مثلث ABC، میانه‌های رسم‌شده از رأس‌های B و C بر هم عمودند. اگر طول میانه رسم‌شده از رأس C برابر ۴/۵ و مساحت این مثلث برابر ۱۸ باشد، نسبت طول میانه…
  29. ۲۹یک پنج‌ضلعی در یک دایره محاط شده است. هر ضلع این پنج‌ضلعی، وتر رو به یک زاویه محاطی است. مجموع این زوایای محاطی کدام است؟
  30. ۳۰در شکل زیر، از نقطه A دو مماس رسم شده است. شعاع دایره کدام است؟
  31. ۳۱در بین مثلث‌هایی با مساحت ۳۰ واحد مربع که در ضلعی به اندازۀ ۱۵ واحد مشترک هستند، کم‌ترین مقدار محیط کدام است؟
  32. ۳۲در شکل زیر، اگر DAC=۳BAD باشد، طول ضلع AC کدام است؟
  33. ۳۳ویژگی‌های لگاریتم و محاسبۀ دترمینان ماتریس ۲ در ۲
  34. ۳۴نمودار سهمی با مختصات رأس (-۱,-۱)، از نقطه (۱,۱) می‌گذرد. اگر از دو سر وتری که از کانون بر محور سهمی عمود است، دو خط موازی با محور سهمی بر خط هادی عم…
  35. ۳۵فرض کنید a و b بردارهای ناصفری هستند که ضرب داخلی آن‌ها، -۳/۵ حاصل‌ضرب اندازه‌های دو بردار است. مساحت مثلثی را که توسط بردارهای (a/(|a|)-۲b/(|b|)) و (…
  36. ۳۶خط d به معادلۀ y-x=۰، عمودمنصف خط‌المرکزین دو دایره است که شعاع یکی ۲ برابر دیگری است. اگر خط d بر دایرۀ کوچک‌تر به معادلۀ x۲+y۲+۶x-۲y=-۲ مماس باشد،…
  37. ۳۷با قرار دادن عدد سه رقمی ۳(a۰a) بین دو رقم مشابه a، عدد جدید ساخته می‌شود. حداکثر چند عدد اول می‌تواند a را بشمارد؟
  38. ۳۸مجموع ارقام کوچک‌ترین عدد طبیعی سه رقمی x که در معادلۀ ۶۳x + ۷۷y = ۲۷۳ صدق می‌کند، کدام است؟
  39. ۳۹حداقل چند زوج مرتب با مؤلفه‌هایی از اعداد طبیعی انتخاب کنیم تا به‌طور قطع، لااقل در دو جفت انتخاب‌شده، هرکدام از مجموع مؤلفه‌های اول و مجموع مؤلفه‌های…
  40. ۴۰حاصل‌ضرب درجۀ رأس‌های گراف G، ۴۸ است. اگر تعداد رأس‌ها با درجۀ رأس یک حداقل باشد، حاصل Δ(G)+q(G) کدام است؟