سوالات

فرض کنید X یک متغیر تصادفی با تابع توزیع زیر باشد. اگر میانه توزیع X برابر ۱ باشد، مقدار c ، کدام است؟ F(x)= a, x ≤ ∘ ; b-e^(-cx), x > ∘

فرض کنید X یک متغیر تصادفی با شرط E(X^۲)=E(X) باشد. کدام مورد، درست است؟

فرض کنید X یک متغیر تصادفی برنولی باشد، مقدار کوواریانس X با توان دوم خودش، کدام است؟

فرض کنید X یک متغیر تصادفی با توزیع نمایی با میانگین یک باشد، احتمال اینکه فاصلهٔ این متغیر از میانگینش بیشتر از ۲ باشد، کدام است؟

فرض کنید X دارای توزیع دوجمله‌ای با پارامترهای ۵ و 1/2 و Y دارای توزیع دوجمله‌ای با پارامترهای ۶ و 1/2 و مستقل از هم باشند، مقدار P(X=Y) ، کدام است؟

فرض کنید X و Y دو متغیر تصادفی مستقل با تابع احتمال‌های زیر باشند. مقدار P(Y/X ≥ 1) ، کدام است؟ x -1 1 --- --- --- P(X=x) 1/3 2/3 y -2 -1 --- --- --- P(Y=y) 4/5 1/5

سه سکهٔ سالم پرتاب می‌شوند و هر سکه‌ای که شیر آمده باشد دوباره پرتاب می‌شود. اگر Y نمایانگر تعداد شیرها در پرتاب‌های دوم باشد، P(Y = ۲) ، کدام است؟

از بازۀ (-1,1) نقاط X و Y به‌طور تصادفی و مستقل ازهم انتخاب می‌شوند. مقدار E(Max(X,Y)) ، کدام است؟

یک تاس سالم که دارای یک وجه سبز رنگ، دو وجه آبی رنگ و سه وجه قرمز رنگ است را یک‌بار پرتاب می‌کنیم. اگر Y= ۱, وجه آبی رنگ مشاهده شود; ۰, درغیر این‌صورت X= ۱, وجه سبز رنگ مشاهده شود; ۰, درغیر این‌صورت…

فرض کنید S = X + Y + Z بیانگر مجموع سه متغیر تصادفی مستقل یکنواخت روی بازه (۰,۱) باشد. مقدار E(Var(X S)) ، کدام است؟

فرض کنید X_1 , X_2 , … , X_n یک نمونه تصادفی از توزیعی با تابع چگالی احتمال زیر باشد. اگر Y_n = min(X_1 , … , X_n) باشد. توزیع حدی nY_n ، کدام است؟ f(x) = ۲(۱-x), ۰ < x < ۱

اگر تعداد بازدیدهای یک صفحهٔ اینترنتی از فرایند پواسون با نرخ ۲۰۰ بازدید در شبانه‌روز پیروی کند، احتمـال این‌که در یک ساعت دست‌کم یک بازدید از این صفحه صورت گیرد، کدام است؟

فرض کنید X_0, X_1, X_2, … یک زنجیره مارکف با فضای حالت S= 1,2 و ماتریس احتمال انتقال زیر باشد. مقدار E[X_7 X_4 = 2] کدام است؟ P= 1/2, 1/2 ; 3/4, 1/4

یک فروشگاه شیرهای تولیدی سه شرکت A ، B و C را عرضه می‌کند. مشتری‌های فروشگاه مطابق با یک زنجیره مارکوف با ماتریس احتمال انتقال زیر شیر مصرفی خود را تغییر می‌دهند. برای مثال احتمال آن‌که یک مشتری که…

فرض کنید X تعداد نوزادان هر فرد در فرایند شاخه‌ای دارای توزیع زیر باشد. به‌طور متوسط در نسل دهم چند نفر در این جامعه است. P(X=k) = ۰/۶ × ۰/۴^k, k = ۰, ۱, ۲, …

فرض کنید X(t): t ≥ 0 یک زنجیر مارکوف با فضای وضعیت S= 1,2 و ماتریس احتمال‌های انتقال وضعیت مطابق زیر باشد. مقدار P X_2 = 2 X_0 = 2 کدام است؟ P= 0/8, 0/2 ; 0/3, 0/7

فرض کنید X(t): t ≥ 0 یک زنجیر مارکوف با فضای وضعیت S= 1,2,3 و احتمال‌های انتقال وضعیت مطابق شکل زیر باشد. کدام مورد صحیح است؟ (شکل — نمودار انتقال: 1 → 1 با احتمال 1/2 (طوقه)، 1 → 2 با 1/4 ، 1 → 3 با…

واریانس معیار مناسبی برای اندازه‌گیری پراکندگی داده‌های با مقیاس لااقل ........... است و اگر تمام داده‌ها ........... باشند آنگاه واریانس آن‌ها ........... خواهد بود.

میانگین ۲۰ دادهٔ عددی برابر با ۱۲ شده است. اگر ۵ دادهٔ عددی جدید با میانگین ۱۰ به این داده‌ها افزوده شوند، مقدار میانگین ۲۵ دادهٔ ادغام شده چقدر است؟

فرض کنید پیشامدهای B_1,…,B_n توأما مجزا باشند و B=bigcup_(j=1)^nB_j ، اگر برای هر j=1,…,n داشته باشیم P(B_j)>0 و P(A B_j)=p ، آن‌گاه گزینه صحیح در مورد P(A B) کدام است؟

فرض کنید A , B , C سه پیشامد مستقل و A ⊂ B ⊂ C . دراین‌صورت:

یک کمیته شامل 6n نفر که نصف آن مرد و نصف دیگر زن است. یک مرد به تصادف انتخاب می‌شود. او از بین 6n-1 نفر باقی‌مانده n نفر را برای تشکیل کمیته‌ای ویژه انتخاب می‌کند. اگر n فرد انتخابی جنسیت یکسان داشته…

اگر X یک متغیر تصادفی با تکیه‌گاه S= ۲,۷ و امید ریاضی E[X]=۴ باشد، واریانس این متغیر برابر کدام است؟

تابع چگالی متغیر تصادفی X به‌صورت زیر است. امید ریاضی X کدام است؟ f(x)= cx^۲,, ۱≤ x≤ ۲; ۰,, در غیر این‌صورت

فرض کنید X دارای توزیع یکنواخت روی بازه [-۱,۱] است. قرار دهید Y = dfrac ۱ X^۲ . تابع چگالی احتمال Y کدام است؟

اگر برای متغیر تصادفی X داشته باشیم E(t^X) = (۳-۲t)^(-۱) ، مقدار P(X=۱) کدام است؟

فرض کنید طول عمر یک لپ‌تاپ متغیری تصادفی با توزیع نمایی و با میانگین ۱۰ سال است. اگر فردی این لپ‌تاپ را ۷ سال پیش خریده باشد احتمال اینکه لپ‌تاپ او ۵ سال دیگر نیز کار کند، چقدر است؟

فرض کنید متغیر تصادفی پیوسته X دارای تابع چگالی احتمال زیر باشد. f(x)= x^2, 0<x<1 ; 2/3, 1≤ x<2 مقدار P sqrt 1 , 5X >X چقدر است؟

فرض کنید F(x) تابع توزیع متغیر تصادفی پیوسته X باشد. مقدار frac EF(X) √(Var(F(X))) کدام است؟

در تابع چگالی زیر مقدار a کدام است؟ f(x,y) = ax^۳ ; ۰ < x < y < ۱

فرض کنید X و Y دو متغیر تصادفی مستقل باشند. فرض کنید f_X(x)=λ_1 e^(-λ_1 x), x>۰ , f_Y(y)=λ_2 e^(-λ_2 y) , y>۰ P(X<Y) کدام است؟

فرض کنید X و Y متغیرهای تصادفی با تابع چگالی احتمال توأم زیر باشند. f_(X,Y)(x,y)= e^(-(x+y)), x>∘, y>∘ ; ∘, سایر نقاط تابع چگالی احتمال توأم U = X - Y و Z = X + Y کدام است؟

فرض کنید X_n دنباله‌ای از متغیرهای تصادفی و هم توزیع با توزیع مشترک پواسون با میانگین یک باشد. اگر Y_n = frac ∑_(i=1)^n X_i √n - √n و دنبالهٔ Y_n در توزیع به متغیر تصادفی Y همگرا باشد، آنگاه توزیع Y…

فرض کنید X و Y دو متغیر تصادفی باشند. تحت کدام‌یک از شرایط زیر X+Y و X-Y <u>ناهمبسته</u> هستند؟

فرض کنید X ~ U(0,1) و N X ~ Pois(2) ، مقدار E(X^N) کدام است؟

فرض کنید W_1 ، W_2 و W_3 متغیرهای تصادفی مستقل و هم‌توزیع با توزیع مشترک یکنواخت روی بازهٔ (۰,۱) باشند. اگر Y = W_1 - ۳W_2 + ۲W_3 ، آنگاه یک کران بالا برای P( Y ≥ ۲) چقدر است؟

فرض کنید X_n : n = 0,1,… یک زنجیر مارکوف با فضای وضعیت (فضای حالت) S باشد. کدام گزینه درست است؟

وضعیت j در یک زنجیر مارکوف را بازگشتی گویند، هرگاه:

در زنجیر مارکوف قدم زدن تصادفی ساده متقارن، مقدار احتمال P X_۸ = ۱ X_۰ = ۱ کدام است؟

فرض کنید N_۱(t): t ≥ ۰ و N_۲(t): t ≥ ۰ فرایندهای پواسون همگن مستقلی با نرخ‌های λ_۱ و λ_۲ باشند. برای هر t > ۰ مقدار احتمال P N_۱(t) = ۱ N_۱(t) + N_۲(t) = ۲ چقدر است؟