سوالات

ذره‌ای در سه بُعد حرکت می‌کند. بردار مکان آن به شکل r = (۴+۲t)i + (۲+۵t-۲t^۲)j + (۲-۲t-t^۲)k با زمان تغییر می‌کند. در چه زمان یا زمان‌هایی بردار سرعت و بردار شتاب ذره بر هم عمودند؟ (همه مقادیر در SI…

ذره‌ای بر مسیر دایره‌ای به شعاع ۲ m تحت شتاب جانب مرکز وابسته به زمان a = kt^2 حرکت می‌کند که در آن k = 4 m/(s^4) است. کدام نمودار، تغییر اندازهٔ سرعت ذره را با زمان نشان می‌دهد؟ (گزینهٔ ۱: خط راست…

گلوله‌ای به جرم ۲۵۰ گرم بر روی خط راست (که آن را محور x می‌نامیم) تحت اثر نیروی F = (۰٫۲۵ N) sin(۰٫۵ x) قرار دارد. x برحسب متر است. اگر سرعت گلوله در نقطه x = ۰ برابر با ۱٫۵۰ m/s باشد، اندازه سرعت آن…

ذره‌ای با شتاب a = −α√V بر مسیر مستقیمی حرکت می‌کند. α عددی مثبت و V سرعت ذره در هر لحظه است. اگر در لحظه t = ۰ سرعت ذره V₀ باشد، بعد از طی چه مسافتی از آغاز حرکت، سرعت آن صفر می‌شود؟

جسمی به جرم ۱kg با سرعت اولیه ۲۰ m/s روی خط مستقیم شروع به حرکت می‌کند. اگر مقاومت هوا به شکل F = -kv² با سرعت رابطه داشته باشد (که در آن k = ۱۰⁻³ kg/m است)، پس از چند ثانیه از آغاز حرکت سرعت جسم به…

دو جسم با جرم‌های m_1 = m و m_2 = 3m توسط فنری با سختی k به هم وصل شده‌اند و روی یک میز افقی بدون اصطکاکی قرار دارند. فنر ابتدا در حالت آزاد خود قرار دارد. کمترین سرعتی که باید به جسم m_1 بدهیم، چقدر…

شکل زیر قطعه چوبی را نشان می‌دهد که از نقطه A رها شده و بر روی مسیر نیم‌دایره‌ای درون سطح یک نیم‌استوانه بدون اصطکاک می‌لغزد. (O مرکز دایره به شعاع R و در بالا قرار دارد؛ A در انتهای چپِ قطر افقی و…

مرکز جرم مخروط توپر یکنواختی با شعاع قاعدهٔ a و ارتفاع h بر روی محور مخروط در چه فاصله‌ای از رأس مخروط قرار دارد؟

تابع انرژی پتانسیل ذره‌ای که در صفحه xy حرکت می‌کند به‌صورت U(x,y) = dfrac a sqrt x^۲+y^۲ است که در آن a = ۵ J m است. در نقطه (۱ m, ۲ m) چه نیرویی برحسب نیوتن بر این ذره وارد می‌شود؟

ذره‌ای به جرم m تحت پتانسیل V(r) = β r^k قرار دارد. β و k مقادیر ثابتی هستند. r فاصلهٔ ذره تا مبدأ مختصات است. اگر L تکانهٔ زاویه‌ای ذره حول مبدأ مختصات باشد، شعاع مدار دایره‌ای مسیر حرکت ذره کدام…

لاگرانژی سیستمی به شکل زیر است، هامیلتونی این سیستم کدام است؟ L=1/2m[r^2+r^2(θ^2-ω_Bθ-ω_0^2)]

لاگرانژی ذره‌ای به جرم m به شکل زیر است. a و b مقادیر ثابتی هستند. حرکت این ذره چگونه است؟ L = 1/2m(x^2 + y^2 + z^2) + ax + b

ردّ تانسور لختی یک مکعب همگن به جرم M و ضلع a در دستگاه مختصاتی که مبدأ آن در مرکز جرم واقع است و محورهای مختصات عمود بر وجوه مکعب‌اند، کدام است؟

۶۲- نمودار مقابل تندی v ذره‌ای را در یک حرکت یک‌بعدی با شتاب ثابت به‌صورت تابعی از موقعیت مکانی x آن، در یکاهای SI، نشان می‌دهد. تندی ذره در موقعیت x = ۰ (برحسب m/s) چقدر است؟ (در شکل، محور قائم v…

معادلهٔ مسیر ذره‌ای به جرم m در ۲ بُعد، تحت یک نیروی مرکزی، به شکل r = ae^bθ می‌باشد. a و b مقادیری ثابت و r و θ مختصات مکان ذره در دستگاه مختصات قطبی‌اند. اگر L تکانهٔ زاویه‌ای این ذره باشد و F⃗ =…

در شکل مقابل، گلوله‌ای به جرم m و شعاع R در داخل کرهٔ توخالی دیگری به جرم m و شعاع داخلی ۲R قرار دارد. سامانه را از حالت سکون رها می‌کنیم. اگر همهٔ حرکت‌ها غلتشی باشند (لغزش وجود ندارد)، از کمیت‌های…

آونگی به طول ℓ با گلوله‌ای به جرم m در ظرفی پر از روغن آویزان شده است. در لحظهٔ t=0 آونگ را به اندازهٔ زاویهٔ بسیار کوچک θ=α از حالت قائم منحرف و بدون سرعت اولیه رها می‌کنیم. اگر نیروی مقاوم روغن که…

دو گلوله با جرم‌های یکسان با سرعت‌های V_۱ و V_۲ با هم برخورد ناکشسان کامل انجام می‌دهند. اتلاف انرژی در این برخورد کدام است؟

جرمی با زمان طبق رابطهٔ m(t) = m_0 e^(-α t) تغییر می‌کند. m_0 جرم جسم در لحظهٔ t = 0 است و α مقدار ثابتی است. اگر سرعت جسم در لحظهٔ t = 0 برابر با v_0 باشد، و هیچ نیروی خارجی به جسم وارد نشود، سرعت…

ذره‌ای حرکت نوسانی ساده انجام می‌دهد. اگر در لحظهٔ t_1 مکان آن x_1 و سرعت آن v_1 باشد و در لحظهٔ t_2 مکان آن x_2 و سرعت آن v_2 باشد، دامنهٔ نوسانات این ذره کدام است؟

سیستمی از نوسانگرها با مختصات تعمیم‌یافته x_1 و x_2 و x_3 دارای انرژی جنبشی و پتانسیل به شکل زیر است. بسامدهای نرمال این سیستم کدام است؟ K=1/2(x_1^2+x_2^2+x_3^2)…

مطابق شکل زیر، نیروی افقی و ثابت F بر یک پوستهٔ کروی به جرم m و شعاع R وارد می‌شود. امتداد نیرو از مرکز پوسته می‌گذرد. ضریب اصطکاک ایستایی میان‌پوسته و سطح افقی که بر روی آن قرار گرفته μ_s است.…

دو کرهٔ مشابه بسیار کوچک، هر کدام به جرم m و شعاع ناچیز، به دو سر میلهٔ بسیار سبکی به طول b جوش داده شده و مطابق شکل، حول محوری که از مرکز میله گذشته و با امتداد میله زاویهٔ θ می‌سازد، با سرعت…

لاگرانژی ذره‌ای به شکل L = asqrt ۱-(bx)^۲ است. اگر p تکانهٔ این ذره در راستای x و H هامیلتونی این ذره باشد، آنگاه H^۲ کدام است؟ ( a و b مقادیر ثابتی هستند.)

به ذره‌ای به جرم ۲ کیلوگرم، نیروی F=۴i+۲j (بر حسب نیوتن)، وارد می‌شود. اگر در لحظه t=۰ این ذره در مکان r=۳i+۲j (برحسب متر) و سرعت آن v=i-۲j (برحسب متر بر ثانیه) باشد، فاصله آن تا مبدأ مختصات در لحظه…

ذره‌ای با سرعت وابسته به مکان v=√ax ، بر روی محور x حرکت می‌کند، که در آن a=۲ m/(s^۲) است. اگر در لحظه t=۰ ، این ذره در مبدأ مختصات باشد، سرعت ذره در لحظه t=۵ s چند متر بر ثانیه است؟

ذره‌ای بر روی محور x بین نقاط x_۱=۴ cm و x_۲=۷ cm ، حرکت نوسانی ساده انجام می‌دهد. اگر سرعت این ذره در نقطهٔ وسط x_۱ و x_۲ برابر با ۲ سانتی‌متر بر ثانیه باشد، زمان یک نوسان کامل چند ثانیه است؟

ذره‌ای به جرم یک کیلوگرم بر روی محور x حرکت می‌کند. به این ذره نیروی وابسته به مکان F=-A/(x^۳) وارد می‌شود. x فاصله ذره از مبدأ مختصات است و A=۴ Ncdotm^۳ . اگر این ذره از نقطه x=۶ m از حال سکون رها…

گلوله‌ای به جرم m_۱=M با سرعت v_0 به گلوله دیگری به جرم m_۲=α M که در همان جهت با سرعت (v_0)/(α) در حرکت است، برخورد می‌کند. ( α یک عدد ثابت بزرگ‌تر از یک است.) اگر گلولهٔ اول، بعد از برخورد، ساکن…

جسمی به جرم m از ارتفاع h ، نسبت به سطح زمین، بدون سرعت اولیه، رها می‌شود. اگر مقاومت هوا F=-mkv باشد ( k یک ثابت مثبت و v سرعت جسم در هر لحظه است.)، مکان ذره در هر لحظه کدام است؟

میله یکنواختی به طول L و جرم M ، از یک سر به محور افقی بدون اصطکاکی لولا شده است و می‌تواند در صفحه قائم آزادانه حول این محور بچرخد. گلوله‌ای به جرم m=M/۳ به طور افقی با سرعت v به وسط میله شلیک…

ذره‌ای به جرم m در یک بعد در انرژی پتانسیل U=a/(x^۲)-b/x حرکت می‌کند ( a و b ثابت‌های مثبت هستند). بسامد زاویه‌ای نوسان‌های کوچک، حول نقطهٔ تعادل، کدام است؟

انرژی جنبشی ذره‌ای در مختصات کروی به شکل T=۱/۲mb^۲dotθ^۲+۱/۲mb^۲sin^۲θ dotφ^۲ است ( b مقدار ثابتی است). انرژی پتانسیل ذره نیز U(θ,φ) است. هامیلتونی ذره کدام است؟ ( p_θ و p_φ مؤلفه‌های تکانه ذره…

ذره‌ای در یک نیروی مرکزی حرکت می‌کند. معادله مسیر آن ۱/r=Acosθ+B است. ( A و B مقادیر ثابتی هستند.) شکل نیروی مرکزی کدام است؟ ( α ، β و γ مقادیر ثابتی هستند.)

ذره‌ای به جرم m بر سطح داخلی مخروط وارونی با زاویه‌ی رأس α ، مطابق شکل، حرکت می‌کند. لاگرانژی این ذره کدام است؟ ( ρ فاصله شعاعی تا محور z و φ زاویه سمتی چرخش حول محور z است.) در شکل، رأس مخروط در…

سیاره‌ای به جرم m بر روی مسیر بیضوی به دور یک ستاره سنگین می‌چرخد. قطر بزرگ بیضی برابر با ۲a است. نزدیک‌ترین فاصله بین سیاره و ستاره، برابر با a/۶ است. اگر سرعت سیاره در نقطه حضیض (نزدیک‌ترین فاصله…

معادله حرکت یک نوسانگر میرا x(t)=Ae^(-(ω)/۲t)cos(dfrac √۳ ۲ ω t) است. نسبت دامنه حرکت بعد از گذشت یک زمان تناوب از آغاز حرکت، به دامنه حرکت در لحظه t=۰ ، کدام است؟ ( A و ω مقادیر ثابتی هستند.)

مجموعه‌ای متشکل از N ذره هر یک به جرم m_i و بردار مکان r_i در نظر بگیرید. اگر R بردار مکان مرکز جرم و M جرم کل مجموعه باشد، کدام رابطه درست است؟ (r_ij=r_j-r_i)

در مسئلهٔ نوسانگر یک بعدی میرا با معادله حرکت x+۲gammax+ω^۲x=۰ که γ و ω دو ضریب مثبت هستند، در چه شرایطی حالت فوق‌میرا وجود دارد؟

دو مهرهٔ یکسان هر یک به جرم m مقید به حرکت روی یک حلقهٔ افقی هستند. دو فنر یکسان سبک با ثابت فنر k دو مهره را به یکدیگر وصل می‌کنند و مطابق شکل زیر به دور حلقه پیچیده شده‌اند. از اصطکاک میان سطوح…